遞推數(shù)列通項(xiàng)公式

遞推數(shù)列通項(xiàng)公式第一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日1.｛an｝的前項(xiàng)和Sn=2n2－1，求通項(xiàng)an公式法（利用an與Sn的關(guān)系或利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式）an=S1

(n=1)Sn－Sn－1(n≥2)解：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遺漏n=1的情形哦！當(dāng)n=1時(shí),a1=1不滿足上式因此an=1

(n=1)4n

－2(n≥2,)第二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求通項(xiàng)公式的基本方法是：

注意：要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。例．已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式。（1）（2）第三頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例．已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式。（1）（2）解：（1），當(dāng)時(shí)

由于也適合于此等式∴（2），當(dāng)時(shí)

由于不適合于此等式∴第四頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日2.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan=3n+1,求通項(xiàng)an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范圍∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）

nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1時(shí),a1=9（n≥2）兩式相減得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）第五頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型1第六頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型1求法：累加法第七頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型1求法：累加法例1第八頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日3.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項(xiàng)an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2－a1=1a3－a2=2a4－a3=3???an－an－1=n－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+???+(a2－a1)+

a1

=(n－1)+(n

－2)+???+2+1+1演練：累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)n個(gè)等式相加得a1=1

4.已知{an}中,a1=1,

an=3n－1+an－1(n≥2),求通項(xiàng)an

練一練an+1－

an=n(n∈N*)第九頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型2第十頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型2求法：累乘法第十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型2求法：累乘法例2第十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日演練：累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)6.已知{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,求{an}的通項(xiàng)公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法與累加法有些相似，但它是n個(gè)等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan第十三頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型3第十四頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型3第十五頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例3類型3第十六頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型4第十七頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型4第十八頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例4類型4第十九頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例第二十頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型5第二十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型5第二十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例5類型5第二十三頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型6第二十四頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型6第二十五頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例7類型6第二十六頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型7其它類型第二十七頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日類型7其它類型求法：按題中指明方向求解.第二十八頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例8類型7其它類型求法：按題中指明方向求解.第二十九頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日待定系數(shù)法：∴第三十頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)：由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(5)an+1=pan+q（p,q為常數(shù)）第三十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例9，已知數(shù)列的遞推關(guān)系為，且，，求通項(xiàng)公式。解：∵∴令則數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列∴∴∴

……

兩邊分別相加得：

∴第三十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日例10，已知，，且，求。解：∵∴即

令，則數(shù)列是公差為-2的等差數(shù)列因此∴∴第三十三頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日常見的拆項(xiàng)公式第三十四頁(yè)，共三十五頁(yè)，2022年，8月28日2.已知{an}中,an+1=an+(n∈N*),a1=1,求通項(xiàng)an1.已知{an}中,a1a2a3···an=n2+n(n∈N*),求通項(xiàng)an4.已知{an}中,a1=3,且an+1=an2(n∈N*),則{an}的通項(xiàng)公式an=______