采樣系統(tǒng)的分析

采樣系統(tǒng)的分析第一頁，共五十八頁，2022年，8月28日本章主要內(nèi)容本章在闡述了離散控制系統(tǒng)相關(guān)基本概念后，學(xué)習(xí)了采樣過程及采樣第一張上一張下一張最后一張結(jié)束授課重點(diǎn)練習(xí)題定理、保持器的作用和數(shù)學(xué)模型、z變換的定義和求法、基本性質(zhì)和z反變換的求法、線性差分方程的建立及其解法、脈沖傳遞函數(shù)的概念及求取方法、離散系統(tǒng)時域分析方法，簡要介紹了頻率法、根軌跡法在離散系統(tǒng)中的應(yīng)用以及離散系統(tǒng)的校正方法。本章重點(diǎn)學(xué)習(xí)本章，需要掌握離散系統(tǒng)的相關(guān)基本概念，特別是采樣過程和采樣定理、z變換和z反變換及其性質(zhì)、差分方程和脈沖傳遞函數(shù)等概念。在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)掌握利用脈沖傳遞函數(shù)求解離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)性能計(jì)算等內(nèi)容。深入了解頻率法、根軌跡法在離散系統(tǒng)分析中的應(yīng)用，理解離散系統(tǒng)的串聯(lián)校正和最少拍校正原理。第二頁，共五十八頁，2022年，8月28日7-1離散采樣系統(tǒng)的基本概念控制系統(tǒng)中有一個或若干個部件的輸出信號是一串脈沖形式或是數(shù)字（數(shù)碼），由于信號在時間上是離散的這類系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。兩類離散系統(tǒng)：（1）采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)離散信號是脈沖序列（時間上離散）（2）數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)離散信號是數(shù)字序列（時間上離散、幅值上整量化）第三頁，共五十八頁，2022年，8月28日放大器與執(zhí)行電動機(jī)爐燃料供應(yīng)調(diào)節(jié)閥爐溫爐溫設(shè)定值D(z)G(s)D/A放大與伺服電動機(jī)A/D溫度檢測與變換計(jì)算機(jī)溫度設(shè)定值爐溫爐溫采樣控制系統(tǒng)爐溫計(jì)算機(jī)（數(shù)字）控制系統(tǒng)第四頁，共五十八頁，2022年，8月28日脈沖控制系統(tǒng)的特點(diǎn)：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、投資少，適合于要求不高的場合。數(shù)字控制系統(tǒng)的特點(diǎn)：控制器的控制規(guī)律由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，使得控制規(guī)律比較靈活、控制精度高，而且可以借助計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)許多附加功能，例如系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)檢測、報(bào)警、保護(hù)等。性價(jià)比超過模擬控制器。在航空航天、軍事、工業(yè)、公用事業(yè)系統(tǒng)中的各類控制系統(tǒng)已經(jīng)廣泛地運(yùn)用計(jì)算機(jī)控制。數(shù)字控制系統(tǒng)中的兩個關(guān)鍵部件：A/D轉(zhuǎn)換器：把連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為時間上離散的、幅值上整量化的數(shù)字信號（二進(jìn)制的整數(shù)），實(shí)際上具有對信號在時間點(diǎn)上采樣，對信號幅值進(jìn)行編碼。（采樣編碼器）第五頁，共五十八頁，2022年，8月28日一般要求A/D轉(zhuǎn)換器具有足夠的字長（8bit、10bit、12bit、14bit），要求量化單位q足夠小。這樣可以近似認(rèn)為幅值的斷續(xù)性可以忽略不記。同時，若采樣編碼的時間可以忽略，這時數(shù)字信號可以看成脈沖信號

A/D轉(zhuǎn)換器可以認(rèn)為采樣周期為TS的理想采樣開關(guān)。D/A轉(zhuǎn)換器：把離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)模擬信號。D/A轉(zhuǎn)換器有兩個工作過程：（1）解碼，把離散的二進(jìn)制數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為離散的模擬信號；（解碼過程見p302圖7-8（a））（2）模擬信號復(fù)現(xiàn)，通過“保持器”將離散模擬信號復(fù)現(xiàn)為連續(xù)的模擬信號，該信號才能真正驅(qū)動模擬放大器等。（復(fù)現(xiàn)過程見p302圖7-8（b））第六頁，共五十八頁，2022年，8月28日離散采樣系統(tǒng)的研究方法（1）用Z變換法建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后進(jìn)行分析、綜合。（2）用離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法（一階差分方程組）對系統(tǒng)進(jìn)行分析、設(shè)計(jì)。7-2信號的采樣與保持采樣過程：連續(xù)信號采樣器離散信號

第七頁，共五十八頁，2022年，8月28日理想采樣過程的數(shù)學(xué)描述：采樣信號的Laplace變換：第八頁，共五十八頁，2022年，8月28日例1設(shè)，求的L變換例2設(shè)為常數(shù)，求的L變換第九頁，共五十八頁，2022年，8月28日香農(nóng)采樣定理：如果采樣器的輸入信號具有有限帶寬，具有最高頻率為的分量，只要采樣周期滿足以下條件：信號可以從采樣信號中恢復(fù)過來。信號保持：D/A轉(zhuǎn)換器的輸出信號是臺階型的，在其內(nèi)部是“保持器”在起作用。每個采樣值能保持到下一個采樣值到來之前，信號幅值沒有變化。第十頁，共五十八頁，2022年，8月28日零階保持器：當(dāng)給零階保持器輸入一個理想單位脈沖，則脈沖響應(yīng)（輸出）脈沖過渡函數(shù)：幅值為1，持續(xù)時間為T對應(yīng)的L變換零階保持器的頻率特性第十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日零階保持器的特性：（1）低通特性（2）相角遲后特性（3）時間遲后特性（平均遲后時間T/2）一階保持器第十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日7-3Z變換（略）7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：差分方程、脈沖傳遞函數(shù)、離散狀態(tài)空間表達(dá)式脈沖傳遞函數(shù)：在零初始條件下G(s)第十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日實(shí)際開環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：G(s)在輸出端增設(shè)虛擬采樣開關(guān)脈沖傳遞函數(shù)G(z)的求法連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)

按采樣周期離散化g*(t)Z變換G(z)對于虛擬采樣開關(guān)的輸出，相應(yīng)的脈沖響應(yīng)第十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日對上式取L變換后：令記為：例3求以下差分方程所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。由實(shí)數(shù)位移定理：第十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日例4開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)采樣L變換的兩個重要性質(zhì)：（1）采樣函數(shù)的L變換具有周期性第十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日第十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日（2）具有串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)形式（1）G2(s)G1(s)第十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日連續(xù)對象的輸出：其中：對輸出的離散化：注意：一般第十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日G2(s)G1(s)串聯(lián)形式（2）第二十頁，共五十八頁，2022年，8月28日帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Gp(s)Gp(s)離散化后：第二十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日例1：設(shè)對象傳遞函數(shù)求帶零階保持器后系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：第二十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日當(dāng)為有理分式函數(shù)時，上式的Z變換也必然是的有理分式函數(shù)。第二十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)連續(xù)輸出信號的L變換G(s)H(s)第二十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日對應(yīng)的Z變換為閉環(huán)系統(tǒng)的輸出對于輸入的脈沖傳遞函數(shù)：系統(tǒng)誤差對于輸入的脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：應(yīng)當(dāng)注意：離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不能從對應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的Z變換直接得到。第二十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日閉環(huán)系統(tǒng)中，具有兩個不同以上采樣開關(guān)時的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：G2(s)G1(s)H(s)第二十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)中采樣開關(guān)的位置，有可能不能獲得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：G(s)H(s)第二十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日系統(tǒng)輸出G(s)H(s)表7-3給出典型閉環(huán)離散系統(tǒng)及輸出的Z變換函數(shù)第二十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日Z變換的局限性：（1）Z變換的推導(dǎo)是建立在理想采樣序列的基礎(chǔ)上。而實(shí)際采樣脈沖序列具有一定的寬度，只有當(dāng)脈沖寬度與系統(tǒng)最大實(shí)踐常數(shù)相比很小時，Z變換才能成立。（2）C(z)只能反映c(t)在采樣時刻的數(shù)值，不能反映c(t)在采樣間隔中的信息。（3）用Z變換方法分析離散系統(tǒng)，要求連續(xù)部分的傳遞函數(shù)的分母階次比分子的階次至少高2次，這時用Z變換方法得到的結(jié)果是正確的。例如：設(shè)R-C電路如圖，輸入相當(dāng)于是脈沖序列第二十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日設(shè)輸入信號為單位階躍函數(shù)但實(shí)際上，電路的實(shí)際輸出是作用下的輸出，c(t)表現(xiàn)為充放電過程，如p.345圖7-37所示。采樣周期T=1秒，對應(yīng)的Z變換第三十頁，共五十八頁，2022年，8月28日7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性的分析方法：將線性連續(xù)系統(tǒng)在s平面上分析穩(wěn)定性的結(jié)果離散線性系統(tǒng)在z平面上的穩(wěn)定性。1.s域到z域的映射關(guān)系第三十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日相當(dāng)于取s平面上的虛軸映射到z平面上的軌跡：以原點(diǎn)為圓心的單位圓，相位：相應(yīng)的點(diǎn)沿單位圓變化無窮多圈第三十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日結(jié)論：在等線的左半平面映射為z平面上同心圓的內(nèi)部，右半平面映射為同心圓的外部。s平面的虛軸的左半平面映射為z平面上單位圓的內(nèi)部，右半平面映射為單位圓的外部。離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：從離散系統(tǒng)的差分方程的齊次解的收斂性，或者從z域中離散系統(tǒng)的特征方程的根的研究得到結(jié)論。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義：若離散系統(tǒng)在有界輸入序列的作用下，其輸出序列也是有界，則稱該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)齊次方程的解是收斂的，或者系統(tǒng)特征方程根均具有負(fù)實(shí)部，或者系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)嚴(yán)格均在左半s平面。第三十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日（1）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（時域）設(shè)：系統(tǒng)差分方程系統(tǒng)齊次方程設(shè)通解：系統(tǒng)特征方程：第三十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日設(shè)特征方程具有各不相同的特征根：通解：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（z域）G(s)H(s)對于典型的離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為第三十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日系統(tǒng)特征方程設(shè)特征方程的根（閉環(huán)極點(diǎn)）各不相同由s平面到z平面的映射關(guān)系s平面的左半平面對應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域：z平面上單位圓的內(nèi)部；s平面的右半平面對應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)域：z平面上單位圓的外部；s平面的虛軸對應(yīng)的臨界穩(wěn)定：z平面上單位圓周。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：離散特征方程的全部特征根都在單位圓內(nèi)，即第三十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日例：設(shè)典型離散系統(tǒng)采樣周期T=1(s)，試分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)特征方程結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第三十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判定：特征方程的根是否都在左半s平面？離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：特征方程的根是否都在z平面的單位圓內(nèi)？將勞斯-胡爾維茨判據(jù)用于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，首先要將z平面上的穩(wěn)定域單位圓內(nèi)新平面上的左半平面Z域w域第三十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日1.W變換（雙線性變換）與勞斯穩(wěn)定判據(jù)令注意到z和w都是復(fù)變量，則有顯然：考察上式：在z平面的單位圓上，滿足對應(yīng)在w平面上：表明：w平面上的虛軸對應(yīng)于z平面上的單位圓周。第三十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日Z平面單位圓內(nèi)Z平面單位圓外w平面左半平面w平面右半平面勞斯穩(wěn)定判據(jù)在離散系統(tǒng)中的應(yīng)用：將離散系統(tǒng)在z域的特征方程變換為w域的特征方程，然后應(yīng)用勞斯判據(jù)。第四十頁，共五十八頁，2022年，8月28日例1：設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，T=0.1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的極限值。第四十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日進(jìn)一步整理后，w域的特征方程：勞斯表由勞斯穩(wěn)定判據(jù)使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的取值范圍極限增益第四十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日（2）Jury（朱利）穩(wěn)定判據(jù)Jury穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的z域特征方程的系數(shù)，直接判別特征根是否嚴(yán)格位于z平面上的單位圓內(nèi)。設(shè)離散系統(tǒng)的階閉環(huán)特征方程

利用特征方程的系數(shù)，構(gòu)造、列Jury矩陣。Jury矩陣的第一行系數(shù)：Jury矩陣的第一行系數(shù)：第四十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日第三行系數(shù)第四行系數(shù)第五行系數(shù)第六行系數(shù)第七行系數(shù)第八行系數(shù)最后行系數(shù)第四十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日

Jury穩(wěn)定判據(jù)：特征方程的根，全部嚴(yán)格位于z平面上單位圓內(nèi)的充要條件是：以及下列（n-1）個約束成立：若上述條件滿足，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第四十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日推論1：特征方程的根全部在單位圓內(nèi)的一個充分條件是推論2：具有系數(shù)的特征方程，其多項(xiàng)式為首一多項(xiàng)式的根全部都在單位圓內(nèi)的充分條件是第四十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日例2設(shè)一離散時間單位反饋系統(tǒng)，采樣周期T=1（s），其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)試用Jury穩(wěn)定判據(jù)確定系統(tǒng)的K值范圍。解：閉環(huán)特征方程對于二階系統(tǒng)應(yīng)用Jury穩(wěn)定判據(jù)，只要用到下面3個約束條件：第四十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日綜合（1）、（2）、（3）例3：第四十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于：開環(huán)增益、閉環(huán)極點(diǎn)、傳輸延遲等。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：以上因素，再加上采樣周期T。舉例說明：設(shè)帶有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖所示第四十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日由Jury穩(wěn)定判據(jù)或w域的勞斯穩(wěn)定判據(jù)

w域的特征方程第五十頁，共五十八頁，2022年，8月28日P357圖7-49給出K=1,不同采樣時的單位階躍響應(yīng)。結(jié)論：（1）在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，采樣周期越小，允許的開環(huán)增益范圍就擴(kuò)大，否則就縮小。（2）當(dāng)采樣周期一定時，加大開環(huán)增益會使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差；（3）當(dāng)開環(huán)增益一定時，采樣周期越長，丟失的信息就越