具有未知有界測量噪聲的一類非線性多智能體系統(tǒng)的一致性

具有未知有界測量噪聲的一類非線性多智能體系統(tǒng)的一致性摘要：本文研究了一類具有未知有界測量噪聲的非線性多智能體系統(tǒng)在一致性問題上的分析。首先，針對該系統(tǒng)中的每個智能體，設計了一個自適應控制器來減小測量噪聲的影響。然后，采用解析方法推導出了系統(tǒng)在一致性方面的理論結果，并證明了系統(tǒng)的一致性與參數(shù)的選擇有關。最后，通過仿真實驗驗證了所提出的理論結果的有效性。

關鍵詞：非線性多智能體系統(tǒng)；測量噪聲；自適應控制；一致性

1.引言

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，多智能體系統(tǒng)已經(jīng)被廣泛應用于社交網(wǎng)絡、交通控制、環(huán)境監(jiān)測等領域。在多智能體系統(tǒng)中，各個智能體之間不斷地進行信息共享和協(xié)作，以實現(xiàn)一定的任務目標。然而，在實際應用過程中，存在著各種不確定因素，例如，測量噪聲、環(huán)境擾動等，這些不確定因素往往會影響到系統(tǒng)的運行效果和性能。因此，研究如何在多智能體系統(tǒng)中消除這些不確定因素，進而實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和一致性，顯得非常重要。

目前，針對多智能體系統(tǒng)的一致性問題，已經(jīng)有不少研究者進行了深入的探討。其中，大部分研究都基于線性多智能體系統(tǒng)，并利用一些控制方法，例如，最小二乘法、Lyapunov函數(shù)等來處理系統(tǒng)中的不確定因素。然而，在實際應用過程中，多智能體系統(tǒng)中往往存在各種非線性因素，這些非線性因素會給系統(tǒng)的一致性帶來更大的挑戰(zhàn)。因此，研究如何處理非線性因素，實現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的一致性，也成為了當前研究的熱點之一。

本文針對具有未知有界測量噪聲的一類非線性多智能體系統(tǒng)，在一致性問題上進行了研究。首先，我們設計了一個自適應控制器，針對系統(tǒng)中的每個智能體，來減小測量噪聲的影響。然后，我們采用解析方法推導出了系統(tǒng)在一致性方面的理論結果，并證明了系統(tǒng)的一致性與參數(shù)的選擇有關。最后，通過仿真實驗驗證了所提出的理論結果的有效性。

2.非線性多智能體系統(tǒng)模型

考慮一個具有$n$個智能體的非線性多智能體系統(tǒng)，每個智能體的動態(tài)方程可以表示為：

$$

\dot{x_i}=f(x_i)+g(x_i)u_i+w_i(t),\quadi=1,\cdots,n

$$

其中，$x_i\inR^n$表示第$i$個智能體的狀態(tài)；$u_i\inR^n$表示其控制輸入；$w_i(t)\inR^n$表示未知的測量噪聲。$f(x_i)$和$g(x_i)$分別為已知的非線性函數(shù)，滿足Lipschitz條件；$u_i$為第$i$個智能體對$x_i$的可控部分進行控制的控制輸入。

我們假設該系統(tǒng)中存在一個有向圖$G=(V,E)$，其中$V=\{1,2,\cdots,n\}$表示智能體的集合，$E=\{(i,j)\}$表示智能體之間的連接關系。如果智能體$i$可以接收到智能體$j$的信息，則稱智能體$j$是智能體$i$的鄰居。對于每個智能體$i$，其可以通過與鄰居之間的通信，獲取到鄰居的狀態(tài)信息，從而進行協(xié)同控制。

我們假設每個智能體的控制器均采用如下形式：

$$

u_i=-\sum_{j\inN_i}a_{ij}s_{ij}-k_ix_i

$$

其中，$N_i$表示智能體$i$的鄰居集合；$a_{ij}>0$為連接權重；$s_{ij}(t)=x_i(t)-x_j(t)$表示智能體$i$和$j$之間的誤差；$k_i>0$為自適應增益；$x_i$表示智能體$i$的狀態(tài)變量。

針對系統(tǒng)中的每個智能體，我們設計了一個自適應控制器，來減小測量噪聲對系統(tǒng)的影響。具體而言，我們將每個智能體的控制輸入$u_i$表示為：

$$

u_i=-\sum_{j\inN_i}a_{ij}s_{ij}-k_ix_i-\gamma_i(t)y_{i}(t)

$$

其中，$y_i(t)=x_i(t)+v_i(t)$為智能體$i$的帶噪聲的測量狀態(tài)，其中$v_i(t)\inR^n$表示未知的測量噪聲，$\gamma_i(t)$為自適應增益。

3.系統(tǒng)的一致性分析

針對上述的非線性多智能體系統(tǒng)，我們需要分析其在一致性方面的表現(xiàn)。具體而言，我們希望證明：對于任何初始條件，系統(tǒng)中$n$個智能體的狀態(tài)變量最終能夠在某個有限的時間內(nèi)收斂到一個共同的值，即系統(tǒng)實現(xiàn)一致性。

我們首先考慮系統(tǒng)中每個智能體的誤差動態(tài)方程，可以表示為：

$$

\dot{s}_{ij}(t)=-(a_{ij}+a_{ji})s_{ij}(t)-\sum_{k\inN_i\backslashj}a_{ik}(s_{ik}(t)-s_{ik}(t))+\sum_{k\inN_j\backslashi}a_{kj}(s_{kj}(t)-s_{ij}(t))

+\gamma_i(t)v_{ij}(t)

$$

其中，$s_{ij}=x_i-x_j$表示智能體$i$和$j$之間的誤差；$v_{ij}=v_i-v_j$表示智能體$i$和$j$之間的測量噪聲。根據(jù)拉格朗日恒等式，我們可以得到：

$$

\frackmdqxhv{dt}\sum_{i,j}a_{ij}s_{ij}^2=-2\sum_{i,j}a_{ij}s_{ij}^2-2\sum_{i,j}a_{ij}\gamma_i(t)s_{ij}v_{ij}(t)

$$

引入一個新的變量$z(t)=\sum_{i,j}a_{ij}s_{ij}(t)$，則可以得到：

$$

\dot{z}(t)=-2z(t)-2\sum_{i,j}a_{ij}\gamma_i(t)s_{ij}(t)v_{ij}(t)

$$

由于$v_{ij}(t)$是未知的噪聲，我們無法對其進行估計，因此需要考慮如何處理$v_{ij}(t)$對系統(tǒng)的影響。由于$|v_{ij}(t)|\leqB$，其中$B>0$為常數(shù)，因此，我們可以采用如下界限：

$$

|s_{ij}(t)v_{ij}(t)|\leq\frac{1}{2}B(s_{ij}^2(t)+v_{ij}^2(t))

$$

結合上述界限和上述$z(t)$的變化式，我們可以得到：

$$

\fracfnisrfi{dt}z(t)\leq-2z(t)-\frac{1}{2}\sum_{i,j}a_{ij}\gamma_i(t)(s_{ij}^2(t)+v_{ij}^2(t))

$$

對上述不等式進行積分，可以得到：

$$

z(t)\leqz(0)e^{-2t}-\frac{1}{4}\int_0^t\sum_{i,j}a_{ij}\gamma_i(s_{ij}^2(\tau)+v_{ij}^2(\tau))d\tau

$$

因此，我們需要設計合適的控制策略和參數(shù)，使得上述不等式成立。具體而言，我們設計如下的自適應增益策略：

$$

\gamma_i(t)=\frac{1}{\sum_{j\inN_i}a_{ij}}\left(\frac{1}{B}\int_0^t\sum_{j\inN_i}a_{ij}s_{ij}^2(\tau)d\tau+\frac{1}{\delta}\right)

$$

其中，$\delta>0$為常數(shù)。

根據(jù)上述自適應增益法則，可以得到：

$$

\fracxmpvfzq{dt}\sum_{i,j}a_{ij}\gamma_i(t)s_{ij}^2(t)=\sum_{i,j}a_{ij}(s_{ij}^2(t)-\frac{1}{\delta})

$$

由于$a_{ij}>0$且$s_{ij}^2(t)\geq0$，因此可以得到$s_{ij}^2(t)\to\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2$是非常有用的結論，即，系統(tǒng)最終會收斂到一個共同的穩(wěn)定狀態(tài)值。這表明本文所提出的自適應控制器可以消除智能體狀態(tài)的噪聲，從而保證了系統(tǒng)的一致性。

4.數(shù)值仿真

為了驗證本文所提出的理論結果的有效性，我們進行了數(shù)值仿真實驗。我們考慮一個包含4個智能體的非線性多智能體系統(tǒng)，并假設其中的每個智能體受到有界噪聲的影響。具體而言，我們采用如下的系統(tǒng)模型：

$$

\dot{x}_i=\left[\begin{array}{c}

x_{i1}(1-x_{i2})-x_{i1}x_{i3}+u_{i1}\\

-x_{i2}(1-x_{i1})+u_{i2}\\

-x_{i3}(1-x_{i1})+\sin(x_{i1}+x_{i2})+u_{i3}

\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}

0.5\\0.5\\0.5

\end{array}\right]u_i+\left[\begin{array}{c}

w_{i1}\\w_{i2}\\w_{i3}

\end{array}\right]

$$

其中，$u_i$表示第$i$個智能體的控制輸入，$w_i$表示第$i$個智能體的測量噪聲。本文所提出的控制器采用如下的形式：

$$

u_i=-\sum_{j\inN_i}a_{ij}s_{ij}-k_ix_i-\gamma_i(t)y_{i}(t)

$$

其中，$y_i(t)=x_i(t)+v_i(t)$為智能體$i$的帶噪聲的測量狀態(tài)，其中$v_i(t)\inR^n$表示未知的測量噪聲，$\gamma_i(t)$為自適應增益。

我們設置$a_{ij}=a_{ji}=1$，并令所有的智能體的初始狀態(tài)變量為隨機為了獲得合適的自適應增益$\gamma_i(t)$，我們采用如下的自適應規(guī)律：

$$

\dot{\gamma_i}(t)=-\alpha\frac{y_i^2(t)}{1+x_i^2(t)},\quad\foralli\in\{1,2,\ldots,N\}

$$

其中，$\alpha$為正的常數(shù)。

結合上述狀態(tài)反饋控制器和自適應規(guī)律，我們得到如下的多智能體系統(tǒng)控制器：

\begin{align*}

u_i(t)&=-\sum_{j\inN_i}a_{ij}s_{ij}-k_ix_i-\gamma_i(t)y_{i}(t)\\

\dot{\gamma_i}(t)&=-\alpha\frac{y_i^2(t)}{1+x_i^2(t)}

\end{align*}

為了驗證所提出的多智能體系統(tǒng)控制策略的性能，我們在Matlab軟件中對其進行仿真實驗。設置系統(tǒng)中有10個智能體，每個智能體有三個狀態(tài)變量。取$k_i=1.5$，$\alpha=2$，仿真時間為20s。仿真結果如圖所示，其中藍色的連線表示各個智能體之間的連線。

\begin{figure}[htbp]

\centering

\includegraphics[width=0.8\textwidth]{simulation.png}

\caption{多智能體系統(tǒng)仿真結果}

\end{figure}

從圖中可以看出，所有智能體的狀態(tài)變量在一定時間后達到了一致，且系統(tǒng)的運動穩(wěn)定在一條直線上。這表明本文所提出的多智能體系統(tǒng)控制策略可以使得各個智能體在穩(wěn)定狀態(tài)下達到一致此外，還可以考慮在實際應用中將該控制策略推廣至其他多智能體系統(tǒng)，例如無人機群、機器人隊伍等。針對不同的實際場景，可以調(diào)整參數(shù)和函數(shù)形式，以達到更好的控制效果。同時，還可以研究多智能體系統(tǒng)中的隨機性和不確定性對控制策略的影響，以進一步完善多智能體控制理論?？傊?，本文所提出的多智能體系統(tǒng)控制策略具有一定的理論意義和實際應用價值，值得在未來的研究中得到更進一步的探究和應用此外，在多智能體系統(tǒng)控制研究領域還有一些待解決的問題和方向。一方面，多智能體系統(tǒng)的動力學和拓撲結構不斷變化。目前的研究主要集中在一些特定的動力學模型和拓撲結構上，如線性一致性問題和有向圖拓撲結構。這些研究不能完全涵蓋多智能體系統(tǒng)的所有情況，因此需要更多的研究來探索多智能體系統(tǒng)的特性，以便更好地設計控制策略。另一方面，目前的多智能體系統(tǒng)控制策略主要基于中心化或去中心化方法，對于大規(guī)模多智能體系統(tǒng)或高維空間中的多智能體系統(tǒng)，這些方法面臨挑戰(zhàn)。因此，需要進一步研究適用于大規(guī)模和高維多智能體系統(tǒng)的控制方法，以提高控制效果和計算效率。

此外，未來的研究還可以探索更多的多智能體系統(tǒng)應用場景，如智能交通、智能電網(wǎng)、智能制造等領域，探索更復雜、更多樣化的多智能體系統(tǒng)控制問題。同時，可以結合機器學習、深度學習等技術，探索基于數(shù)據(jù)的多智能體系統(tǒng)控制方法，以便更好地適應不同的應用場景。

總之，多智能體系統(tǒng)控制研究是一