《數(shù)學(xué)分析教學(xué)》

§2含參量反常積分

與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,含參量反常積分的重要內(nèi)容是判別含參量反常積分的一致收斂性.在相應(yīng)的一致收斂的條件下,含參量反常積分具有連續(xù)性,可微性,

可積性.含參量反常積分的一致收斂性的判別法與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的判別法類似.返回四、含參量無界函數(shù)的反常積分三、含參量反常積分的性質(zhì)二、含參量反常積分一致收斂性的判別一、含參量反常積分的一致收斂性一．含參量反常積分一致收斂性設(shè)函數(shù)定義在無界區(qū)域上,其中是任意區(qū)間.若反常積分都收斂，則上的函數(shù).稱(1)為定義在上的含參量

x的無窮限反常積分,或稱含參量反常積分.

定義1

若含參量反常積分(1)與函數(shù)

I(x)對(duì)

使得當(dāng)時(shí),

對(duì)一切

都有

即則稱含參量反常積分(1)在上一致收斂于I(x),或簡單地說含參量積分(1)在上一致收斂.

注1由定義,在上一致收斂的充要條件是

注2由定義,

在上不一致收斂

的充要條件是

例1討論含參量反常積分的一致收斂性.

解若則

于是因此,含參量積分在上非一致收斂.因此,該含參量積分在上一致收斂.而對(duì)于任何正數(shù),有二．含參量反常積分一致收斂性的判別

定理19.7

(一致收斂的柯西準(zhǔn)則)

含參量反常積分(1)

在上一致收斂的充要條件是:

使得當(dāng)時(shí),對(duì)一切的都有證必要性

若在上一致收斂,則因此,則令這就證明了在上一致收斂.例2

證明含參量反常積分充分性若在但在內(nèi)不一致收斂.

證作變量代換得其中由于收斂,故對(duì)任給的正數(shù)總存在某一實(shí)數(shù)M,當(dāng)時(shí)就有取由(5)式所以(4)在上一致收斂.現(xiàn)證明(4)在內(nèi)不一致收斂.由一致收斂定義的注2,只要證明:存在某一正數(shù)使得對(duì)任何使得,總相應(yīng)地存在某個(gè)及某個(gè)實(shí)數(shù)由于非正常積分收斂(在本節(jié)例6中我們將求出這個(gè)積分的值),故對(duì)總使得即現(xiàn)令由(5)及不等式(6)的左端就有所以(4)在內(nèi)不一致收斂.收斂之間的聯(lián)系有下述定理.關(guān)于含參量反常積分一致收斂性與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致定理19.8含參量反常積分(1)在上一致收斂的充要條件是:對(duì)任一趨于的遞增數(shù)列

證

必要性

由(1)在上一致收斂,故使得當(dāng)對(duì)一切總有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂,其中又由所以對(duì)正數(shù)M,存在正整數(shù)N,只要當(dāng)時(shí),就有由(8)對(duì)一切就有這就證明了級(jí)數(shù)(7)在上一致收斂.充分性用反證法.假若(1)在上不一致收斂,則對(duì)使得現(xiàn)取使得

一般地,取則有

使得由上述所得到的數(shù)列是遞增數(shù)列,且由(9)式知存在正數(shù)對(duì)任何正整數(shù)N,只要

就有某個(gè)使得這與級(jí)數(shù)(7)在上一致收斂的假設(shè)矛盾.故含參量現(xiàn)在考慮級(jí)數(shù)反常積分在上一致收斂.注由定理19.8,含參量反常積分可看作連續(xù)型的函函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).它們的證明與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相應(yīng)的判別法相仿,我們下面列出含參量反常積分的一致收斂性判別法.它用柯西準(zhǔn)則證明魏爾斯特拉斯M判別法和狄利克雷判別法.

阿貝耳判別法的證明留給讀者.魏爾斯特拉斯

M判別法

設(shè)有函數(shù)

g(y),使得若上一致收斂.證由于因此從而上一致收斂.狄利克雷判別法設(shè)(i)對(duì)一切實(shí)數(shù)

含參量正常積分對(duì)參量x在上一致有界,即存在正數(shù)M,對(duì)一切及一切都有(ii)對(duì)每一個(gè)函數(shù)關(guān)于

y單調(diào)且當(dāng)則含參量反常積分在上一致收斂.證時(shí),對(duì)參量x,一致收斂于0,于是,

由積分第二中值定理，由一致收斂的柯西準(zhǔn)則,在上一致收斂.阿貝耳判別法設(shè)(i)(ii)對(duì)每一個(gè)函數(shù)為y的單調(diào)函數(shù),且對(duì)參量x,在上一致有界,則含參量反常積分在上一致收斂.例3

證明含參量反常積分在上一致收斂.證

由于對(duì)任何實(shí)數(shù)

y有及反常積分收斂,故由魏爾斯特拉斯M判別法,含參量反常積分(10)在上一致收斂.在上一致收斂.證由于反常積分收斂(當(dāng)然,對(duì)于參量y,它在上一致收斂),函數(shù)對(duì)每一例4證明含參量反常積分個(gè)單調(diào),且對(duì)任何都有故由阿貝耳判別法即得含參量反常積分(11)在上一致收斂.例5證明:若上連續(xù),又在上收斂,但在

處發(fā)散,則在上不一致收斂.證用反證法.假若積分在上一致收斂,則對(duì)于任給總存在當(dāng)時(shí)對(duì)一切恒有因上連續(xù),所以是的連續(xù)函數(shù).在上面不等式中令得到當(dāng)時(shí),而是任給的,因此在處收斂,這與假設(shè)矛盾.所以積分在上不一致收斂.三、含參量反常積分的性質(zhì)定理19.9

(含參量反常積分的連續(xù)性)設(shè)上連續(xù),若含參量反常積分證

由定理19.8,對(duì)任一遞增且趨于的數(shù)列在J上一致收斂,則I(x)在J上連續(xù).

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.

又由于上連續(xù),

故每個(gè)上連續(xù).根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性定理,函數(shù)I(x)在J上連續(xù).

這個(gè)定理也證明了在一致收斂的條件下,極限運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換:定理19.10

(含參量反常積分的可微性)

設(shè)在區(qū)域上連續(xù).若在上收斂,在上一致收斂,則I(x)在上可微,且證對(duì)任一遞增且趨于的數(shù)列令由定理19.3推得由在J上一致收斂及定理19.8,可得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在

J上一致收斂,因此根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)定理,

即得或?qū)懽髯詈蠼Y(jié)果表明在定理?xiàng)l件下,求導(dǎo)運(yùn)算和積分運(yùn)算可以交換.上連續(xù),若在

上一致收斂,則I(x)在上可積,且上可積.又由定理19.9的證明中可以看到,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(13)在上一致收斂,且各項(xiàng)上連續(xù),因此證

由定理19.9知道在上連續(xù),從而I(x)在定理19.11

(含參量反常積分的可積性)

設(shè)

在這里最后一步是根據(jù)定理19.6關(guān)于積分順序的可交換性.(17)式又可寫作這就是(16)式.根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求積定理,

有(i)在任何

上一致收斂,

關(guān)于x在任何上一致收斂;(ii)積分中有一個(gè)收斂.

則必有定理19.12設(shè)在上連續(xù),且也收斂.證不妨設(shè)(18)中第一個(gè)積分收斂,由此推得

根據(jù)條件(i)及定理19.11,

有由條件(ii),對(duì)于任給的有把這兩個(gè)結(jié)果應(yīng)用到(20)式,得到使得當(dāng)

時(shí)有選定A后,由的一致收斂性,存在M>c,

即這就證明了(19)式.例6計(jì)算解因?yàn)樗杂捎诩胺闯７e分收斂,根據(jù)M判定法,含參量反常積分在區(qū)間上一致收斂.由于在上連續(xù),根據(jù)定理19.11交換積分(21)

的順序,積分I的值不變.于是例7計(jì)算解在上例中,令

b=0,則有由阿貝耳判別法可得上述含參量反常積分在上

一致收斂.于是由定理19.9,上連續(xù),且又由(22)式例8計(jì)算解由于對(duì)任一實(shí)數(shù)r成立及反常積分收斂,所以積分(23)在上收斂.

由于成立及反常積分收斂,根據(jù)M判定法,含參量反常積分(24)在上一致收斂.考察含參量反常積分綜合上述結(jié)果由定理19.10即得于是有從而又由(23)式,因此得到所以四、含參量無界函數(shù)的反常積分設(shè)上有定義.若對(duì)x的某些值,y=d為函數(shù)的瑕點(diǎn),則稱為含參量x的無界函數(shù)反常積分,或簡稱為含參量反常積分.若對(duì)每一個(gè)積分(25)都收斂,則其積上取值的函數(shù).含參量反常積分(25)積分值是在上一致收斂的定義是:定義2對(duì)任給正數(shù)總存在某正數(shù)使得則稱含參量反常積分(25)在上一致收斂．參量無界函數(shù)反常積分的一致收斂性判別法,并討讀者可以參照無窮限反常積分的辦法建立相應(yīng)的含含參量無界函數(shù)反常積分的也可轉(zhuǎn)換為含參量有界論它們的性質(zhì).時(shí),對(duì)一切都有當(dāng)函數(shù)反常積分.*例9討論含參量無界函數(shù)反常積分的