電路理論第6章含耦合電感電路

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含耦合電感電路1湖北工業(yè)大學(xué)本章知識要點(diǎn)：※耦合電感的伏安關(guān)系與同名端;

※耦合電感器的串聯(lián)和并聯(lián);※

T形去耦等效電路;

※

含耦合電感器復(fù)雜電路的分析;※空心變壓器;

※理想變壓器;華中科技大學(xué)出版社2湖北工業(yè)大學(xué)6.1耦合電感的伏安關(guān)系與同名端6.1.1耦合電感的概念兩個(gè)靠近的線圈，當(dāng)一個(gè)線圈有電流通過時(shí)，該電流產(chǎn)生的磁通不僅通過本線圈，還部分或全部地通過相鄰線圈。一個(gè)線圈電流產(chǎn)生的磁通與另一線圈交鏈的現(xiàn)象，稱為兩個(gè)線圈的磁耦合。具有磁耦合的線圈稱為耦合線圈或互感線圈。圖6-1兩個(gè)線圈的磁耦合華中科技大學(xué)出版社3湖北工業(yè)大學(xué)如圖6-1所示，電流的方向與它產(chǎn)生的磁通鏈的方向滿足右手螺旋關(guān)系，參考方向按這一關(guān)系設(shè)定。若線圈周圍沒有鐵磁物質(zhì)，則各磁通鏈與產(chǎn)生該磁通鏈的電流成正比，即（6-1a）（6-1b）圖6-1兩個(gè)線圈的磁耦合1.L1、L2、M12、M21均為正常數(shù)，單位為亨利（H）。L1、L2為自感;M12、M21稱為互感。2.M12=M21，因此當(dāng)只有兩個(gè)線圈耦合時(shí)，可略去下標(biāo)，表示為M=M12=M21。華中科技大學(xué)出版社4湖北工業(yè)大學(xué)6.1.2耦合電感的伏安關(guān)系如圖6-2（a）所示的具有磁耦合的兩個(gè)線圈1和2

，由于兩個(gè)線圈之間存在磁耦合，每個(gè)線圈中的磁鏈將由本線圈的電流產(chǎn)生的磁鏈和另一線圈的電流產(chǎn)生的磁鏈兩部分組成。若選定線圈中各磁鏈的參考方向與產(chǎn)生該磁鏈的線圈電流的參考方向符合右手螺旋法則，則各線圈的總磁鏈在如圖6-2（a）電流參考方向下可表示為：Ψ1=Ψ11

+Ψ12Ψ2=Ψ22

+Ψ21圖6-2(a)耦合線圈的伏安關(guān)系華中科技大學(xué)出版社5湖北工業(yè)大學(xué)當(dāng)線圈繞向和電流的參考方向如圖6-2(b)所示時(shí)，每個(gè)線圈中的自磁鏈和互磁鏈的參考方向均不一致。因此，耦合線圈中的總磁鏈可表示為Ψ1=Ψ11±Ψ12Ψ2=Ψ22±Ψ21（6-2a）（6-2b）圖6-2(b)耦合線圈的伏安關(guān)系如果線圈周圍無鐵磁物質(zhì)，則各磁鏈?zhǔn)钱a(chǎn)生該磁鏈電流的線性函數(shù)，故有(6-3a)(6-3b)華中科技大學(xué)出版社6湖北工業(yè)大學(xué)當(dāng)耦合線圈的線圈電流變化時(shí)，線圈中的自磁鏈和互磁鏈將隨之變化。由電磁感應(yīng)定律可知，各線圈的兩端將會產(chǎn)生感應(yīng)電壓。若設(shè)各線圈的電流與電壓取關(guān)聯(lián)參考方向，則有（6-4a）（6-4b）上式即為耦合電感的伏安關(guān)系式?？梢?，耦合電感中每一線圈的感應(yīng)電壓由自感電壓和互感電壓兩部分組成。當(dāng)線圈的電流與電壓取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，自感電壓前的符號總為正；而互感電壓前的符號可正可負(fù)，當(dāng)互磁鏈與自磁鏈的參考方向一致時(shí)，取正號；反之，取負(fù)號。華中科技大學(xué)出版社7湖北工業(yè)大學(xué)6.1.3耦合線圈的同名端同名端:指耦合線圈中的這樣一對端鈕，當(dāng)線圈電流同時(shí)流入（或流出）該對端鈕時(shí)，各線圈中的自磁鏈與互磁鏈的參考方向一致。同名端通常用標(biāo)志“·”（或“*”）表示。耦合電感標(biāo)有“·”的兩個(gè)端鈕為同名端，余下的一對無標(biāo)志符的端鈕也是一對同名端。注意：耦合線圈的同名端只取決于線圈的繞向和線圈間的相對位置，而與線圈中電流的方向無關(guān)。華中科技大學(xué)出版社8湖北工業(yè)大學(xué)判定方法：1.互感電壓的正極性端與產(chǎn)生該互感電壓的線圈電流的流入端

為同名端。利用同名端的概念,圖6-2所示的耦合電感可分別用圖6-3所示的電路符號表示圖6-3耦合電感的電路符號華中科技大學(xué)出版社9湖北工業(yè)大學(xué)2.同名端的實(shí)驗(yàn)判定如圖6-4，當(dāng)開關(guān)S閉合時(shí)，將從線圈1的A端流入，且。如果電壓表正向偏轉(zhuǎn)，表示線圈2中的互感電壓

，則可判圖6-4同名端的判定定電壓表的正極所接C與

的流入端A為同名端；反之，如果電壓表反向偏轉(zhuǎn)，C與A為異名端。動畫演示：互感線圈的同名端華中科技大學(xué)出版社10湖北工業(yè)大學(xué)耦合電感的伏安關(guān)系式具體規(guī)則是：若耦合電感的線圈電壓與電流的參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，該線圈的自感電壓前取正號，否則取負(fù)號；若耦合電感線圈的線圈電壓的正極性端與在該線圈中產(chǎn)生互感電壓的另一線圈的電流的流入端為同名端時(shí)，該線圈的互感電壓前取正號，否則取負(fù)號。例6-1試寫出圖6-5所示耦合電感的伏安關(guān)系。圖6-5例6-1電路圖華中科技大學(xué)出版社11湖北工業(yè)大學(xué)耦合電感的受控源形式由于耦合電感中的互感電壓反映了耦合電感線圈間的耦合關(guān)系，為了在電路模型中以較明顯的方式將這種耦合關(guān)系表示出來，各線圈中的互感電壓可用CCVS表示。若用受控源表示互感電壓，則圖6-3(a)和(b)所示耦合電感可分別用圖6-6(a)和(b)所示的電路模型表示。圖6-6用受控源表示互感電壓時(shí)耦合電感的電路模型華中科技大學(xué)出版社12湖北工業(yè)大學(xué)正弦穩(wěn)態(tài)電路中，式(6-4)所述的耦合電感伏安關(guān)系的相量形式為：(6-5a)(6-5b)、式中，稱為自感阻抗，稱為互感阻抗。若用受控源表示互感電壓，圖6-3去耦等效電路可用圖6-7所示電路模型表示。、圖6-7用受控源表示互感電壓時(shí)耦合電感的向量模型華中科技大學(xué)出版社13湖北工業(yè)大學(xué)6.1.4耦合系數(shù)K耦合系數(shù)K來表示互感線圈之間耦合的緊密程度。注：1.所以耦合系數(shù)為2.當(dāng)K=1時(shí)，是無漏磁通的理想情況，稱為全耦合。3.當(dāng)兩個(gè)線圈互相垂直放置時(shí)，因兩線圈間沒有磁耦合，互感磁鏈為零，所以K=0。華中科技大學(xué)出版社14湖北工業(yè)大學(xué)例6-2圖6-8所示電路，已知。試求，解：由于BC處開路，所以電感

所在支路無電流，故有圖6-8例6-2電路圖此題不是正弦穩(wěn)態(tài)電路，故不能用相量法。華中科技大學(xué)出版社15湖北工業(yè)大學(xué)例6-3在圖6-9所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，。求電流解:

此題應(yīng)先解出代入數(shù)據(jù)，則圖6-9例6-3電路圖華中科技大學(xué)出版社16湖北工業(yè)大學(xué)華中科技大學(xué)出版社17湖北工業(yè)大學(xué)6.2耦合電感器的串聯(lián)和并聯(lián)6.2.1耦合電感器的串聯(lián)1.串聯(lián)順接圖6-10所示為兩個(gè)有耦合的實(shí)際線圈的串聯(lián)電路，電流均從兩個(gè)線圈的同名端流出（流進(jìn)），這種接法稱為順接。圖6-10(b)為其受控源去耦等效電路。圖6-10耦合電感順接及其去耦等效電路華中科技大學(xué)出版社18湖北工業(yè)大學(xué)順接時(shí)，電壓電流關(guān)系為在正弦穩(wěn)態(tài)的情況下,應(yīng)用相量法可得:稱為順接時(shí)的串聯(lián)等效電感，可見順接時(shí)互感增強(qiáng)了電感。華中科技大學(xué)出版社19湖北工業(yè)大學(xué)2.串聯(lián)反接對于圖6-11（a）所示電路，電流從一個(gè)線圈的同名端流入，而從另一個(gè)線圈的同名端流出，這種接法，稱為反接。圖6-11（b）為其受控源去耦等效電路。圖6-11耦合電感反接及其去耦等效電路華中科技大學(xué)出版社20湖北工業(yè)大學(xué)反接時(shí)，電壓電流關(guān)系為在正弦穩(wěn)態(tài)的情況下,應(yīng)用相量法可得:稱為反接時(shí)的串聯(lián)等效電感，可見順接時(shí)互感消弱了電感。華中科技大學(xué)出版社21湖北工業(yè)大學(xué)6.2.2耦合電感器的并聯(lián)1.同側(cè)并聯(lián)耦合電感的并聯(lián)電路，也有兩種接法。在圖6-12(a)中，兩個(gè)線圈的同名端在同一側(cè)，把這種并聯(lián)方法稱為同側(cè)并聯(lián)，其受控源去耦等效電路如圖6-12(b)。圖6-12耦合電感同側(cè)并聯(lián)及其去耦等效電路華中科技大學(xué)出版社22湖北工業(yè)大學(xué)2.異側(cè)并聯(lián)圖6-13(a)中，兩個(gè)線圈的同名端不在同一側(cè)，把這種并聯(lián)方法稱為異側(cè)并聯(lián)，其受控源去耦等效電路如圖6-13(b)。圖6-13耦合電感異側(cè)并聯(lián)及其去耦等效電路華中科技大學(xué)出版社23湖北工業(yè)大學(xué)對于同側(cè)并聯(lián)對于異側(cè)并聯(lián)綜合起來，可以寫成式中含有M（或

）項(xiàng)前面的符號“±”號表示的意義是：上面“+”號對應(yīng)同側(cè)并聯(lián)；下面“-”號對應(yīng)異側(cè)并聯(lián)。華中科技大學(xué)出版社24湖北工業(yè)大學(xué)求解上面兩個(gè)方程可得：根據(jù)KCL，根據(jù)上式可得兩個(gè)耦合電感并聯(lián)后的等效阻抗為:在特殊情況(純電感時(shí),也即R1=R2=0)時(shí),L表示耦合電感并聯(lián)后的等效電感。華中科技大學(xué)出版社25湖北工業(yè)大學(xué)6.3T型去耦等效電路下面介紹一種將互感電路等效轉(zhuǎn)化為無互感電路的方法，稱為T型去耦。圖6-14所示的具有互感的三端電路來介紹如何去耦。圖6-14具有互感的三端電路圖6-14（a）中公共端子3為兩線圈同名端的聯(lián)接點(diǎn)，圖6-14（b）中公共端子3為兩線圈異名端的聯(lián)接點(diǎn)。華中科技大學(xué)出版社26湖北工業(yè)大學(xué)按圖6-14（a）所示支路電流的參考方向，電壓相量方程為代入上式，可得圖6-14具有互感的三端電路在上式中如果將

M看成是同時(shí)流過的公共支路的電感，并把L1和L2分別以電感(L1-M)和(L2-M)代替，則根據(jù)上式可作出圖6-15(a)所示的等效電路。同理，圖6-14（b）去耦后的等效電路如圖6-15（b）所示。華中科技大學(xué)出版社27湖北工業(yè)大學(xué)圖6-15去耦后的三端等效電路注：1.去耦后等效電路的參數(shù)與電流的參考方向無關(guān)，只與互感線圈是同名端相接還是異名端相接有關(guān)。2.T型去耦法雖是通過三端電路導(dǎo)出的，但也適合二端電路和四端電路，如圖6-16、6-17所示。華中科技大學(xué)出版社28湖北工業(yè)大學(xué)圖6-16二端電路及其去耦等效電路圖6-17四端電路及其去耦等效電路華中科技大學(xué)出版社29湖北工業(yè)大學(xué)例6-4

圖6-18(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電壓源電壓求各支路電流相量。圖6-18例6-4電路圖解：先消去互感，做出原電路的相量模型，如圖6-18（b）所示，其中。各支路阻坑分別為華中科技大學(xué)出版社30湖北工業(yè)大學(xué)電路的等效阻抗Zi為支路電流為支路電流為華中科技大學(xué)出版社31湖北工業(yè)大學(xué)6.4含耦合電感器復(fù)雜電路的分析例6-5具有耦合電感的一端口網(wǎng)絡(luò)如圖6-19（a）所示，若正弦激勵(lì)角頻率為

時(shí)，端口的輸入阻抗。試求此一解:由電路圖可以看出，此題是異名端共端的三端電路，其等效電路如圖6-19(b)所示。圖6-19

例6-5電路圖華中科技大學(xué)出版社32湖北工業(yè)大學(xué)由已知條件由電感的串并聯(lián)關(guān)系可得例6-6如圖6-20（a）所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，計(jì)算各支路電流。圖6-20

例6-6電路圖華中科技大學(xué)出版社33湖北工業(yè)大學(xué)解法1:用受控源去耦等效電路求解。如圖6-20（b）所示去耦電路，對a結(jié)點(diǎn)用KCL，相量對應(yīng)的正弦量分別為華中科技大學(xué)出版社34湖北工業(yè)大學(xué)解法2:用T型去耦法求解。如例圖6-20（c）所示去耦電路。其中故用短路線替代，由電路圖可知相量對應(yīng)的正弦量與上面解法一致。華中科技大學(xué)出版社35湖北工業(yè)大學(xué)例6-7按圖6-21所示電路中的回路，列寫回路電流方程。圖6-21

例6-7電路圖解法1:圖6-21（a）的受控源去耦等效電路如圖6-21（b）所示，設(shè)正弦激勵(lì)角頻率為

，依圖6-21（b）列寫的網(wǎng)孔方程華中科技大學(xué)出版社36湖北工業(yè)大學(xué)解法2:用T型去耦法，如圖6-21（c）所示。寫方程的方法與前面所述正弦穩(wěn)態(tài)電路的方法完全一樣整理后結(jié)果與上面例寫的方程完全一樣。華中科技大學(xué)出版社37湖北工業(yè)大學(xué)例6-8圖6-22所示有耦合電感電路

，求:解法1:

L1,L2有耦合，但無公共結(jié)點(diǎn)。此題采用回路法，選擇有電感、電流源支路為連支，得到的電路有向圖如例圖6-22（b）所示。其中虛線為連支，實(shí)線為樹支。連支電流分別設(shè)為圖6-22

例6-8電路圖華中科技大學(xué)出版社38湖北工業(yè)大學(xué)其受控源去耦等效電路如圖6-22（c）所示。代入數(shù)字并整理該方程的解為華中科技大學(xué)出版社39湖北工業(yè)大學(xué)解法2:

結(jié)點(diǎn)法求解。依圖6-22（a）列寫①,②,③結(jié)點(diǎn)的方程。代入數(shù)字并整理可得華中科技大學(xué)出版社40湖北工業(yè)大學(xué)例6-9

如圖6-23（a）所示電路，求端口ab等效戴維南電路。解:分別對L1,L2耦合電感M12，及L2,L3耦合電感M23去耦等效，其電路如圖6-23(c)所示。等效后電感分別為圖6-23

例6-9電路圖華中科技大學(xué)出版社41湖北工業(yè)大學(xué)ab端開路時(shí)，流過回路電流開路電壓將電壓源置零，利用電感串并聯(lián)，等效阻抗華中科技大學(xué)出版社42湖北工業(yè)大學(xué)6.5空心變壓器變壓器是由兩個(gè)耦合線圈繞在一個(gè)共同的心子上制成，其中，一個(gè)線圈作為輸入，接入電源后形成一個(gè)回路，稱為原邊回路（或初級回路）；另一線圈作為輸出，接入負(fù)載后形成另一個(gè)回路，稱為副邊回路（或次級回路）?？招淖儔浩鞯男淖邮欠氰F磁材料制成的，其電路模型如圖6-24（a），圖6-24(b)為其受控源去耦等效電路。圖6-24空心變壓器電路模型及受控源等效電路華中科技大學(xué)出版社43湖北工業(yè)大學(xué)正弦穩(wěn)態(tài)下，有(6-6a)(6-6b)，稱為原邊回路阻抗，由上列方程可求得:稱為副邊回路阻抗，（6-7）（6-8）原邊的輸入阻抗引入阻抗，或反映阻抗，它是副邊的回路阻抗通過互感反映到原邊的等效阻抗。華中科技大學(xué)出版社44湖北工業(yè)大學(xué)式（6-7）可以用圖6-25（a）所示等效電路表示，稱為原邊等效電路。式（6-8），可以得出圖6-25（b）所示等效電路，它是從副邊看進(jìn)去的含源一端口的一種等效電路。令端子2-2ˊ的開路電壓以得到此含源一端口在，戴維寧等效阻抗圖6-25空心變壓器的等效電路動畫演示：空心變壓器工作原理華中科技大學(xué)出版社45湖北工業(yè)大學(xué)例6-10圖6-26所示電路中，。試求負(fù)載吸收的功率。解:先判別變壓器的性質(zhì)，根據(jù)耦合系數(shù)k的計(jì)算式，即圖6-26例6-10電路圖由于耦合系數(shù)k<1，可知該變壓器屬空心變壓器，其原邊等效電路如圖6-26(b)所示。華中科技大學(xué)出版社46湖北工業(yè)大學(xué)其中為次級反映到初級的反映阻抗，其值為在圖（b）中，由歐姆定律得負(fù)載吸收的功率等于反映電阻乘以初級電流有效值的平方，所以華中科技大學(xué)出版社47湖北工業(yè)大學(xué)6.6理想變壓器理想變壓器是理想化的耦合元件，是構(gòu)成實(shí)際變壓器電路模型的基本元件，滿足以下3個(gè)條件的變壓器稱為理想變壓器。1.無損耗—線圈和磁芯均無損耗2.全耦合—無漏磁，耦合系數(shù)k=1；3.L1，L2和M均為無限大，但仍保持稱為理想變壓器的變比。稱為匝數(shù)比，亦動畫演示：三種變壓器華中科技大學(xué)出版社48湖北工業(yè)大學(xué)其電路符號如圖6-27(a)所示。在圖示同名端和電流、電壓參考方向下，理想變壓器的伏安關(guān)系為（6-9a）（6-9b）圖6-27理想變壓器電路（6-9）式是代數(shù)關(guān)系式，反映每時(shí)刻電流、電壓的關(guān)