吉林省洮南一中-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試題文

PAGEPAGE20吉林省洮南一中2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試題文本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分?？荚嚱Y(jié)束后，只交答題紙和答題卡，試題自己保留。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求。）1．已知向量，且，則的值為（）A．B．6C． D．2．若，則（）A． B． C． D．3．某正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為（）A． B． C． D．4．已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都等于，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東，則燈塔A與之間B的距離為（）A． B． C． D．5．已知與均為單位向量，若，則與的夾角為（）A．30° B．45° C．60° D．120°6．“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代全民閱讀的內(nèi)涵已多元化，在線讀書(shū)成為一種生活方式．某高校為了解本校學(xué)生閱讀情況，擬采用分層抽樣方法從該校四個(gè)年級(jí)中抽取一個(gè)容量為360的樣本進(jìn)行調(diào)查，大一與大二學(xué)生占全校一半，大三學(xué)生與大四學(xué)生之比為3:2，則大四學(xué)生應(yīng)抽取的學(xué)生為（）A．72 B．100 C．108 D．1207．已知正方體的體積為，若點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知圓錐的表面積等于，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則圓錐底面的半徑為（）A． B． C． D．9．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則A． B． C． D．10．如圖，在正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則異面直線DE與所成角的大小為（）A． B． C． D．11．設(shè)銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（）A． B．1 C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題紙的橫線上，填在試卷上的答案無(wú)效。）13．高二年級(jí)共有學(xué)生600人，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從男生中抽取20人，得到其平均身高數(shù)據(jù)為172.5cm；從女生中抽取18人，得到其平均身高數(shù)據(jù)為162cm，則高二年級(jí)學(xué)生的平均身高估計(jì)值為_(kāi)__________．（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）14．如圖所示為一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，它是底角為，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積為_(kāi)________．15．鈍角的面積是，，，角的平分線交于點(diǎn)，則________．16．如圖，已知在正方體中，，點(diǎn)為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，給出下列命題：①無(wú)論在如何移動(dòng)，四棱錐的體積恒為定值；②截面四邊形的周長(zhǎng)的最小值是；③當(dāng)點(diǎn)不與，重合時(shí)，在棱上恒存在點(diǎn)，使得平面；④存在點(diǎn)，使得平面；其中正確的命題是______．四、解答題(共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)已知向量，，其中，，求（1）；（2）與的夾角的余弦值．18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，（1）求證：直線平面（2）求直線與平面所成角的正切值.19．（12分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，是上的點(diǎn)，平分，的面積是面積的2倍．（1）求；（2）若，，求的面積．20．（12分）某市規(guī)劃一個(gè)平面示意圖為如圖的五邊形的一條自行車(chē)賽道，，，，，為賽道（不考慮寬度），，為賽道內(nèi)的兩條服務(wù)通道，，，，．（1）從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求服務(wù)通道的長(zhǎng)度；①；②．（2）在（1）條件下，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道最長(zhǎng)（即最大）．21．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn).（1）證明：直線平行于平面；（2）求點(diǎn)B到平面的距離.22．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面底面ABCD，M是PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PCD；（2）求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.參考答案1．A【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，解?2．B【分析】先由復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以?．D【分析】根據(jù)正四棱錐的定義及已知條件即可求解.【詳解】解：如圖，是正四棱錐的高，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則底面積為，因?yàn)檎睦忮F的側(cè)棱與底面所成的角為，所以，又，所以，所以是正三角形，面積為，所以，故選：D.4．C【分析】根據(jù)題意作出示意圖，由余弦定理即可求解.【詳解】解：由題意，作出示意圖：則，，由余弦定理得，所以，即燈塔A與之間B的距離為.故選：C.5．D【分析】由兩向量垂直可得數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算式和已知條件，即可求出兩向量的夾角.【詳解】解：因?yàn)椋?，解得，所以，故選:D.6．D【分析】由題意利用分層抽樣的方法結(jié)合抽樣比即可確定需從南鄉(xiāng)征集的人數(shù).【詳解】由題意結(jié)合分層抽樣的方法可知，需從南鄉(xiāng)征集的人數(shù)為：.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的方法及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．B【分析】利用面面平行的判定可證得平面平面，可知最小值即為平面到平面的距離，利用正方體體積求得棱長(zhǎng)后，可求得，可知.【詳解】由正方體特征知：，又平面，平面，平面，同理可得：平面，又，平面，平面平面，的最小值為平面到平面的距離，正方體的體積為，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，.故選：B.8．C【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線長(zhǎng)為，利用側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，求得與之間的關(guān)系，代入表面積公式即可得解.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，，圓錐的表面積為，，，故圓錐的底面半徑為，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓錐的表面積公式及圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，解題的關(guān)鍵是利用側(cè)面展開(kāi)圖時(shí)一個(gè)半圓，求得母線長(zhǎng)與半徑的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于一般題.9．C【分析】不妨設(shè)，，根據(jù)角所對(duì)的邊不同，結(jié)合正弦定理、余弦定理分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.【詳解】不妨設(shè)，，若，由余弦定理得，有1個(gè)三角形；若，由正弦定理得，即，所以或（舍），有1個(gè)三角形；若，由正弦定理得，即，所以或，有2個(gè)三角形；綜上，共有4個(gè)三角形.故選：C10．B【分析】取AF的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)AC交BD于O點(diǎn)，異面直線與所成角即直線與所成角.在中，分別求得，利用余弦定理即可求得，從而求得異面直線夾角的余弦值.【詳解】取AF的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)AC交BD于O點(diǎn)，如圖所示，則，且，異面直線與所成角即直線與所成角，由平面平面知，平面，由題易知，，則，，，則在中，由余弦定理知，，由兩直線夾角取值范圍為，則直線與所成角即異面直線與所成角的余弦值為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將異面直線平移到同一個(gè)平面內(nèi)，利用余弦定理解三角形，求得線線夾角.11．A【分析】由已知條件結(jié)合正弦定理可得，又由為銳角三角形可求出，從而可求出結(jié)果【詳解】由正弦定理得.因?yàn)闉殇J角三角形，所以即所以，所以，所以的取值范圍是.故選：A.12．A【分析】由正四棱錐外接球半徑與底面外接圓半徑，及球心到底面的距離之間的幾何關(guān)系求外接球半徑，進(jìn)而求球的表面積.【詳解】由題設(shè)知：底面的外接圓半徑為，且，令正四棱錐外接球的半徑為，且外接球的球心必在直線上，∴，即.∴正四棱錐的外接球的表面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷外接球的球心位置，結(jié)合外接球半徑與底面外接圓半徑及球心到底面距離的關(guān)系求.13．167.5cm【分析】由題意直接可列式求出.【詳解】由題意可得高二年級(jí)學(xué)生的平均身高估計(jì)值為.故答案為：167.5cm.14．．【分析】根據(jù)直觀圖與原圖形之間面積的關(guān)系計(jì)算．【詳解】由題意直觀圖等腰梯形的下底為，高為，面積為，所以原圖形面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：在水平旋轉(zhuǎn)的平面圖形的直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法中，原圖形面積為，直觀圖面積為，則．15．【分析】由已知條件可得，然后分角為銳角和為鈍角，求出角的余弦值，再利用余弦定理求出，再在、和分別利用正弦定理求出，然后在中利用余弦定理可求出【詳解】解：由，得，若角為銳角，則，此時(shí)，即，由于，則為銳角三角形，不符合題意．故為鈍角，此時(shí)，，故．在中，由正弦定理得，同理，在中，，而在中，，由于，故，由于，故，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是利用余弦定理求出，再在、和分別利用正弦定理求出，然后在中利用余弦定理可求出，屬于中檔題16．①②④【分析】由題意逐個(gè)討論所給的命題，判斷它們的真假.第一個(gè)根據(jù)等體積法求體積，第二個(gè)求周長(zhǎng)函數(shù)關(guān)系式，再求最小值，第三個(gè)利用反證法確定真假，第四個(gè)舉例說(shuō)明存在.【詳解】解:①由題意可得∥，∥，如圖建立坐標(biāo)系:，四邊形為平行四邊形又（為到平面距離）且上點(diǎn)到平面距離相等無(wú)論在上何處，不變不變不變故①正確②由①知：四邊形的周長(zhǎng)設(shè)，則，等價(jià)于上點(diǎn)到與距離此時(shí)周長(zhǎng)最小為故②正確③在上尋找一點(diǎn)，使到的距離為距離∥，且在平面中但當(dāng)時(shí)，，與矛盾故③錯(cuò)誤;④當(dāng)與重合時(shí)，顯然，平面故④正確綜上可得:正確為①②④.故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】考查正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力.17．（1）；（2）【分析】（1）由題知，，進(jìn)而根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)余弦的夾角公式直接計(jì)算即可.【詳解】解：（1）由題知，，所以所以（2）設(shè)與的夾角為，所以由夾角公式得：所以與的夾角的余弦值為18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由菱形的性質(zhì)知由平面，可知，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）過(guò)作連結(jié)，結(jié)合，可得平面，可得以是直線與平面所成角，在中利用三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】解：（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑危杂忠驗(yàn)槠矫嫫矫嫠杂忠驗(yàn)樗云矫妫?）過(guò)作連結(jié)因?yàn)槠矫嫫矫嫠杂忠驗(yàn)樗云矫嫠允侵本€與平面所成角在中，所以所以是直線與平面所成角的正切值19．（1）2；（2）．【分析】（1）由，，得到，由正弦定理得；（2）由（1）知，代入滿足的余弦定理，求得a，c，并求得sinB，則由面積公式即可求得三角形面積.【詳解】解：（1），．因?yàn)椋?，所以．由正弦定理得?）由得，由余弦定理得，又因?yàn)椋?，所以，所以，從而．又因?yàn)榍遥裕虼耍军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)角平分線及面積關(guān)系求得，并利用正弦定理，余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，解得三角形中的參數(shù).20．（1）選擇見(jiàn)解析，10；（2）設(shè)計(jì)為時(shí)，折線段賽道最長(zhǎng).【分析】（1）選①時(shí)，先利用正弦定理求出再利用勾股定理求解；選②時(shí)，先利用正弦定理求出再利用余弦定理求解；（2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求出的最大值即得解.【詳解】（1）選①時(shí)，在中，由正弦定理得：所以因?yàn)?，所以，所以選②時(shí)，在中，由正弦定理得：所以在中，由余弦定理得：所以，所以.（2）在中，，．由余弦定理得：，即故，從而即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即設(shè)計(jì)為時(shí)，折線段賽道最長(zhǎng).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：最值范圍問(wèn)題常用的解法有：（1）函數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）數(shù)形結(jié)合法；（4）基本不等式法.要根據(jù)已知條件靈活選擇條件求解.21．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）連接，，由，證得平面，同理證得平面，利用面面平行的判定，證得平面平面，進(jìn)而得到平面.（2）由（1）知平面，得到點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）如圖所示，在正方體中，連接，，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，同理可得平面，因?yàn)椋移矫?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）由（1）知平面，故點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，由已知條件可得，，，所以，又由，設(shè)到平面的距離為，由，可得，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.22．（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）在正方形ABCD中，證得，再在中得到，利用線面垂直的判定，即可得到平面PCD；（2）取AD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，PE，PF，證得是側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角，再直角中，即可求得側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.【詳解】（1）在正方形ABCD中，，又側(cè)面底面ABCD，側(cè)面底面，所以平面PAD，平面PAD，所以，是正三角形，M是PD的中點(diǎn)，所以，又，