高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納含詳解第15招-分段函數(shù)常見題型解法

【知識要點(diǎn)】分段函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)中常見的題型之一，也是高考經(jīng)常考查的問題.主要考查分段函數(shù)的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、單調(diào)性和零點(diǎn)等問題.求分段函數(shù)的解析式，一般一段一段地求，最后綜合.即先分后總.注意分段函數(shù)的書寫格式為：，不要寫成.注意分段函數(shù)的每一段的自變量的取值范圍的交集為空集，并集為函數(shù)的定義域.一般左邊的區(qū)域?qū)懺谏厦?右邊的區(qū)域?qū)懺谙旅?2、分段函數(shù)求值，先要看自變量在哪一段，再代入那一段的解析式計(jì)算.如果不能確定在哪一段，就要分類討論.注意小分類要求交，大綜合要求并.3、分段函數(shù)解不等式和分段函數(shù)求值的方法類似，注意小分類要求交，大綜合要求并.4、分段函數(shù)的奇偶性的判斷，方法一：定義法.方法二：數(shù)形結(jié)合.5、分段函數(shù)的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（?。┲当容^，即得到函數(shù)的最大（?。┲?方法二：數(shù)形結(jié)合.6、分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，方法一：數(shù)形結(jié)合，方法二：先求每一段的單調(diào)性，再寫出整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性.7、分段函數(shù)的零點(diǎn)問題，方法一：解方程，方法二：圖像法，方法三：方程+圖像法.和一般函數(shù)的零點(diǎn)問題的處理方法是一樣的.雖然分段函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，在處理這些問題時(shí)，方法其實(shí)和一般的函數(shù)大體是一致的.【方法講評】題型一分段函數(shù)的解析式問題解題方法一般一段一段地求，最后綜合.即先分后總.【例1】已知函數(shù)對實(shí)數(shù)滿足，若當(dāng)時(shí)，.（1）求時(shí)，的解析式；（2）求方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).（2）是奇函數(shù)，且以2為周期.方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)也就是函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).在同一直角坐標(biāo)系中作出這倆個(gè)函數(shù)的圖像，由圖像得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，所以方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.【點(diǎn)評】（1）本題的第一問，根據(jù)題意要把分成三個(gè)部分，即,再一段一段地求.在求函數(shù)的解析式時(shí)，要充分利用函數(shù)的奇偶性、對稱性等.(2)本題第2問解的個(gè)數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合解答.【檢測1】已知定義在上的函數(shù).（Ⅰ）若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)在上的最大值的表達(dá)式．題型二分段函數(shù)的求值解題方法先要看自變量在哪一段，再代入那一段的解析式計(jì)算.如果不能確定在哪一段，就要分類討論.注意小分類要求交，大綜合要求并.學(xué).科.網(wǎng)【例2】已知函數(shù)，若，則（）A.B.C.D.【解析】當(dāng)即時(shí)，（舍）；當(dāng)即時(shí)，，故選A.【點(diǎn)評】（1）要計(jì)算的值，就要看自變量在分段函數(shù)的哪一段，但是由于無法確定，所以要就分類討論.（2）分類討論時(shí)，注意數(shù)學(xué)邏輯，小分類要求交，大綜合要求并.當(dāng)時(shí)，解得，要舍去.【例3】【2017山東，文9】設(shè),若,則（）A.2B.4C.6D.8【點(diǎn)評】（1）要化簡，必須要討論的范圍，要分和討論.當(dāng)時(shí)，可以解方程，得方程沒有解.也可以直接由單調(diào)性得到.【檢測2】已知函數(shù),QUOTE若QUOTE，則．

題型三分段函數(shù)解不等式解題方法先要看自變量在哪一段，再代入那一段的解析式計(jì)算.如果不能確定在哪一段，就要分類討論.注意小分類要求交，大綜合要求并.【例3】已知函數(shù)則的解集為（）A.B.C.D.【點(diǎn)評】（1）本題中的自變量不確定它在函數(shù)的哪一段，所以要分類討論.(2)當(dāng)時(shí)，計(jì)算要注意確定的范圍，，所以求要代入第一段的解析式.數(shù)學(xué)思維一定要注意邏輯和嚴(yán)謹(jǐn).(3)分類討論時(shí)，一定要注意數(shù)學(xué)邏輯，小分類要求交，大綜合要求并.【檢測3】已知函數(shù)則的解集為__________．【檢測4】【2017課標(biāo)3，理15】設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________.

題型四分段函數(shù)奇偶性解題方法方法一：定義法.方法二：數(shù)形結(jié)合.【例4】判斷函數(shù)的奇偶性【解析】由題得函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.設(shè),則，設(shè)則，所以函數(shù)是奇函數(shù).【點(diǎn)評】（1）對于分段函數(shù)奇偶性的判斷，也是要先看函數(shù)的定義域，再考慮定義，由于它是分段函數(shù)，所以要分類討論.（2）注意，當(dāng)求要代入下面的解析式，因?yàn)?不是還代入上面一段的解析式.【檢測5】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí).（1）求的解析式；（2）判斷的單調(diào)性（不必證明）；（3）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.題型五分段函數(shù)最值（值域）解題方法方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（?。┲当容^，即得到函數(shù)的最大（?。┲?方法二：數(shù)形結(jié)合.【例5】若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)評】（1）分段函數(shù)求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（?。┲担侔衙恳欢蔚淖畲螅ㄐ。┲当容^，即得到函數(shù)的最大（小）值.方法二：數(shù)形結(jié)合.（2）本題既可以用方法一，也可以利用數(shù)形結(jié)合分析解答.（3）對于對數(shù)函數(shù)，如果沒有說明與的大小關(guān)系，一般要分類討論.【檢測6】設(shè)若是的最小值，則的取值范圍為()A.B.C.D.【檢測7】已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則常數(shù)的取值范圍是（)A.B.C.D.題型六分段函數(shù)單調(diào)性解題方法方法一：數(shù)形結(jié)合，方法二：先求每一段的單調(diào)性，再寫出整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性.【例6】若是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是（）.A.B.C.D.【點(diǎn)評】（1）函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)是增函數(shù)必須滿足兩個(gè)條件，條件一：分段函數(shù)的每一段必須是增函數(shù)；條件二：左邊一段的最大值必須小于等于右邊一段的最小值.函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)是減函數(shù)必須滿足兩個(gè)條件，條件一：分段函數(shù)的每一段必須是減函數(shù)；條件二：左邊一段的最小值必須大于等于右邊一段的最大值.（3）一個(gè)分段函數(shù)是增函數(shù)，不能理解為只需每一段是增函數(shù).這是一個(gè)必要不充分條件.【檢測8】已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則常數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．題型七分段函數(shù)零點(diǎn)問題解題方法方法一：解方程，方法二：圖像法，方法三：方程+圖像法.和一般函數(shù)的零點(diǎn)問題的處理方法是一樣的.【例7】已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為__________．【點(diǎn)評】（1）分段函數(shù)的零點(diǎn)問題，一般有三種方法，方法一：解方程，方法二：圖像法，方法三：方程+圖像法.和一般函數(shù)的零點(diǎn)問題的處理方法是一樣的.（2）本題由于函數(shù)的圖像不方便作出，所以選擇解方程的方法解答.（3）在函數(shù)中，由于沒有確定的取值范圍，所以要分類討論.【例8】已知函數(shù)，若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________.【解析】函數(shù)，若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即，只有一個(gè)解，在平面直角坐標(biāo)系中畫出，的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象可知，方程只有一個(gè)解時(shí)，，故答案為.【點(diǎn)評】（1）直接畫的圖像比較困難，所以可以利用方程+圖像的方法.分離參數(shù)得到，再畫圖數(shù)形結(jié)合分析.學(xué).科.網(wǎng)【例9】已知函數(shù)關(guān)于的方程，有不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【解析】【點(diǎn)評】本題考查了類二次方程實(shí)數(shù)根的相關(guān)問題，以及數(shù)形結(jié)合思想方法的體現(xiàn)，這種嵌入式的方程形式也是高考考查的熱點(diǎn)，這種嵌入式的方程首先從二次方程的實(shí)數(shù)根入手，一般因式分解后都能求實(shí)根，得到和，然后再根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值等性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象，若直線和函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到參數(shù)的取值范圍.【檢測9】已知函數(shù)，則方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（）（注：為自然對數(shù)的底數(shù)）A.B.C.D.

高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第15講：分段函數(shù)中常見題型解法參考答案【反饋檢測1答案】（Ⅰ）（Ⅱ）方法二：不等式恒成立等價(jià)于恒成立.即等價(jià)于對一切恒成立，即恒成立，得恒成立，當(dāng)時(shí)，，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【反饋檢測2答案】或1【反饋檢測2詳細(xì)解析】當(dāng)時(shí)，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，即。綜上或，應(yīng)填答案或1.【反饋檢測3答案】【反饋檢測3詳細(xì)解析】時(shí)，可得,解得;時(shí)，,解得;所以綜上可得的解集為【反饋檢測4答案】【反饋檢測4詳細(xì)解析】由題意：，函數(shù)在區(qū)間三段區(qū)間內(nèi)均單調(diào)遞增，，可知x的取值范圍是：.【反饋檢測5答案】（1）；（2）增函數(shù)；（3）.學(xué).科.網(wǎng)【反饋檢測6答案】D【反饋檢測6詳細(xì)解析】.若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，，不符合題意.排除兩個(gè)選項(xiàng).若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)，最小值為，當(dāng)時(shí)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為，故符合題意，排除，故選.【反饋檢測6答案】A【反饋檢測6詳細(xì)解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，的最小值小于，因?yàn)榈拈_口向上，對稱軸為，若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，最小值為，可得，解得；若，最小值為，可得，