湖南省武岡市2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，角所對的邊分別為，已知，則最大角的余弦值是()A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）①的最大值為2；②的圖象關(guān)于對稱；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若實數(shù)m使得方程在上恰好有三個實數(shù)解，，，則；A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．過點且與點距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．4．某校高一年級有男生540人，女生360人，用分層抽樣的方法從高一年級的學(xué)生中隨機抽取25名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為A．5 B．10 C．4 D．205．在數(shù)列中，若，，則（）A． B． C． D．6．已知，，且，則向量在向量上的投影等于（）A．-4 B．4 C． D．7．若，，，則的最小值為（）A． B． C． D．8．如圖所示，在四邊形中，，，.將四邊形沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個數(shù)是（）①；②；③與平面所成的角為；④四面體的體積為.A．個 B．個 C．個 D．個9．已知是的邊上的中點，若向量，，則向量等于（）A． B． C． D．10．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．對于任意實數(shù)x,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是______12．若角的終邊經(jīng)過點，則實數(shù)的值為_______.13．已知圓截直線所得線段的長度是，則圓M與圓的位置關(guān)系是_________．14．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則=_______15．公比為2的等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，則的值為___________16．若，則的取值范圍是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知平面平行于三棱錐的底面，等邊所在的平面與底面垂直，且，設(shè)（1）求證：且；（2）求二面角的余弦值.18．已知數(shù)列，.(1)記，證明:是等比數(shù)列；(2)當(dāng)是奇數(shù)時，證明:；(3)證明:.19．已知直線（1）若直線過點，且.求直線的方程.（2）若直線過點A(2,0)，且，求直線的方程及直線,,軸圍成的三角形的面積.20．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求證：AD⊥平面BFED；(2)點P在線段EF上運動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的最小值．21．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值，以及取到最大值時所對應(yīng)的的集合；（2）在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由邊之間的比例關(guān)系，設(shè)出三邊長，利用余弦定理可求.【詳解】因為，所以c邊所對角最大，設(shè)，由余弦定理得，故選B.【點睛】本題考查余弦定理，計算求解能力，屬于基本題.2、C【解析】

，由此判斷①的正誤，根據(jù)判斷②的正誤，由求出的單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷③的正誤，結(jié)合的圖象判斷④的正誤.【詳解】因為，故①正確因為，故②不正確由得所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故③正確若實數(shù)m使得方程在上恰好有三個實數(shù)解，結(jié)合的圖象知，必有此時，另一解為即，，滿足，故④正確綜上可知：命題正確的是①③④故選：C【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解決這類問題時首先應(yīng)把函數(shù)化成三角函數(shù)基本型.3、C【解析】

過點且與點距離最大的直線滿足:，根據(jù)兩直線互相垂直，斜率的關(guān)系可以求出直線的斜率，寫出點斜式方程，最后化成一般方程，選出正確的選項.【詳解】因為過點且與點距離最大的直線滿足:，所以有，而，所以直線方程為，故本題選C.【點睛】本題考查了直線與直線垂直時斜率的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.4、B【解析】

直接利用分層抽樣按照比例抽取得到答案.【詳解】設(shè)應(yīng)抽取的女生人數(shù)為，則，解得.故答案選B【點睛】本題考查了分層抽樣，屬于簡單題.5、C【解析】

利用倒數(shù)法構(gòu)造等差數(shù)列，求解通項公式后即可求解某一項的值.【詳解】∵，∴，即，數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，∴，即，∴．故選C．【點睛】對于形如，可將其轉(zhuǎn)化為的等差數(shù)列形式，然后根據(jù)等差數(shù)列去計算.6、A【解析】

根據(jù)公式，向量在向量上的投影等于，計算求得結(jié)果.【詳解】向量在向量上的投影等于.故選A.【點睛】本題考查了向量的投影公式，只需記住公式代入即可，屬于基礎(chǔ)題型.7、B【解析】

根據(jù)題意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，因為，則當(dāng)且僅當(dāng)且即時取得最小值.故選B．【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理化簡，熟練應(yīng)用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

根據(jù)題意，依次分析命題：對于①，可利用反證法說明真假；對于②，為等腰直角三角形，平面，得平面，根據(jù)勾股定理逆定理可知；對于③，由與平面所成的角為知真假；對于④，利用等體積法求出所求體積進(jìn)行判定即可，綜合可得答案．【詳解】在四邊形中，，，則，可得，由，若，且，可得平面，平面，，這與矛盾，故①不正確；平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，由勾股定理得，，，，故，故②正確；由②知平面，則直線與平面所成的角為，且有，，則為等腰直角三角形，且，則.故③不正確；四面體的體積為，故④不正確.故選：B.【點睛】本題主要考查了直線與平面所成的角，以及三棱錐的體積的計算，考查了空間想象能力，推理論證能力，解題的關(guān)鍵是須對每一個進(jìn)行逐一判定．9、C【解析】

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，以及平行四邊形的性質(zhì)可得，，解出向量．【詳解】根據(jù)平行四邊形法則以及平行四邊形的性質(zhì)，有．故選．【點睛】本題考查向量加法的平行四邊形法則以及平行四邊形的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)：成等比數(shù)列，計算得到，，，計算得到答案.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)：成等比數(shù)列，設(shè)則，；故選：C【點睛】本題考查了數(shù)列的前N項和，利用性質(zhì)成等比數(shù)列可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

對a分類討論，利用判別式，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）a﹣2=0，即a=2時，﹣4＜0，恒成立；（2）a﹣2≠0時，，解得﹣2＜a＜2，∴﹣2＜a≤2故答案為：．【點睛】對于二次函數(shù)的研究一般從以幾個方面研究：一是，開口；二是，對稱軸，主要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；三是，判別式，決定于x軸的交點個數(shù)；四是，區(qū)間端點值.12、.【解析】

利用三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式求出的值.【詳解】由誘導(dǎo)公式得，另一方面，由三角函數(shù)的定義得，解得，故答案為.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)的定義，解題時要充分利用誘導(dǎo)公式求特殊角的三角函數(shù)值，并利用三角函數(shù)的定義求參數(shù)的值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、相交【解析】

根據(jù)直線與圓相交的弦長公式，求出的值，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，圓心到直線的距離，圓截直線所得線段的長度是，即，，則圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則，，，，即兩個圓相交．故答案為：相交．【點睛】本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用，以及兩圓位置關(guān)系的判斷，根據(jù)相交弦長公式求出的值是解決本題的關(guān)鍵．14、【解析】

利用等差數(shù)列前項和，可得；利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后求解三角函數(shù)值即可．【詳解】等差數(shù)列的前項和為，因為，所以；又，所以．故答案為：．【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握和若，則是解題的關(guān)鍵．15、2【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)與基本量法求解即可.【詳解】由題,因為,又等比數(shù)列的各項都是正數(shù),故.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的等積性與各項之間的關(guān)系.屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用反函數(shù)的運算法則，定義及其性質(zhì)，求解即可．【詳解】由，得所以，又因為，所以.故答案為：【點睛】本題考查反余弦函數(shù)的運算法則，反函數(shù)的定義域，考查學(xué)生計算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（1）【解析】

（1）由平面∥平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得，，再由，得到.由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而有.（2）過作于，根據(jù)題意有平面，過D作于H，連結(jié)AH，由三垂線定理知，所以是二面角的平面角.然后在在中，在中，利用三角形相似求得再在求解.【詳解】（1）證明：∵平面∥平面，∴，，∵，，又∵平面平面，平面平面，∴平面，平面，∴.（2）過作于，∵為正三角形，∴D為中點，∵平面∴又∵，∴平面.在等邊三角形中，，過D作于H，連結(jié)AH，由三垂線定理知，∴是二面角的平面角.在中，～，，∴，，∴.【點睛】本題主要考查幾何體中面面平行的性質(zhì)定理和面面垂直的性質(zhì)定理及二角面角問題，還考查了空間想象，抽象概括，推理論證的能力，屬于中檔題.18、(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析【解析】

（1）對遞推關(guān)系進(jìn)行變形得，從而證明是等比數(shù)列；（2）由(1)得，代入所證式子，再利用放縮法進(jìn)行證明；（3）由(2)可知，對分偶數(shù)和奇數(shù)計論，放縮法和等比數(shù)列求和，即可證明結(jié)論.【詳解】(1)∵，∴，且所以，數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列.(2)由(1)可知當(dāng)k是奇數(shù)時，(3)由(2)可知，當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，所以.【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義證明、等比數(shù)列前項和、不等式的放縮法證明，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意討論的突破口.19、(1)；(2)；【解析】

（1）根據(jù)已知求得的斜率，由點斜式求出直線的方程.（2）根據(jù)已知求得的斜率，由點斜式寫出直線的方程，聯(lián)立的方程，求得兩條直線交點的坐標(biāo)，再由三角形面積公式求得三角形面積.【詳解】解：（1）∵∥，∴直線的斜率是又直線過點，∴直線的方程為，即（2）∵，∴直線的斜率是又直線過點，∴直線的方程為即由得與的交點為∴直線,,軸圍成的三角形的面積是【點睛】本小題主要考查兩條直線平行、垂直時，斜率的對應(yīng)關(guān)系，考查直線的點斜式方程，考查兩條直線交點坐標(biāo)的求法，考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）證明見解析（2）θ最小值為60°【解析】

（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再結(jié)合面面垂直的判定，證得DE⊥平面ABCD，即可證得AD⊥平面BFED；（2）以D為原點，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAB與平面ADE法向量，利用向量的夾角公式，即可求解?！驹斀狻浚?）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3.∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE?平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.（1）由(1)知，直線AD，BD，ED兩兩垂直，故以D為原點，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令EP＝λ(0≤λ≤)，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)，所以＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)．設(shè)n1＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，由得，取y＝1，則n1＝