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文檔簡介

思考根據(jù)無窮小的運(yùn)算性質(zhì)，兩個無窮小的和、??？不一定！引例當(dāng)x0時，3x,x2sinx 0,

sin

1 limsinxx0

從結(jié)果可以看出：x203x03x0與sinx0.即無窮小之比一、無窮小比較的概定義設(shè)若lim0,高階的無窮小 o()若lim 則稱是比低階的無窮小若limC 則稱與是同階無窮小若limC 若lim

x

以3x2 因?yàn)閘im1n

11n1

因?yàn)閘imx296,

x29x-3 x因?yàn)閘im1cosx1 所以1cosx是關(guān)于x的二 因?yàn)閘imsinx 所以sinx與x是等價無窮小 二、等價無窮 證明：當(dāng)x0時，ex1~exe證

1令ex1t

x

t0ln(t1tln(t1tln(tln(t1)tlimln(tlimln(t1t

lnex0x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1 cosx~ a1~xlna(a0)(1x)1~x0且為常數(shù)

(n1x1

1x)定理證

~~

lim即lim(1)即o(

lim例如 sinx~x, tanx~x, x0時 設(shè),,,是同一過程中的無窮小，~,~

且limlimlim證limlim

limlimlim

lim說明定理1又稱為等價無窮小的替換準(zhǔn)則．它表明 求limtan2xx0sin解當(dāng)x0時，tan2x~2x sin5x~5x lim2xx0sin

x0 求 sin x0x3解 sin

=x0x3

x0x3

x0x2 求limtanxsinx sin3x0x~sinx,x~tanx,sin32x~limtanxsinxlimxxsin3x0正解x0時，tanxsinxtanx1cosx~1x2x所以

lim 1

sin3

x0(2x) 注意利用等價無窮小的替換準(zhǔn)則求兩個無窮小之比①、若~,~,不等價，則~, limlim ②、若~,~,等價，則不一定等價，這意味著 求limtan2xcosx1

sin解當(dāng)x0時，tan2x~2x, 1cosx~1x22sin3x~3x,

且tan2x與1cosx不等價，

tan2xcosx

2x1 lim

sinlimxsin1

解limxsin1limx1 lim

0C(0),1,

的高階的低階的同階的等價limC0

:x0x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1 co

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