人口模型馬爾薩斯

人口模型馬爾薩斯第1頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三微分方程模型

在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問(wèn)題.本節(jié)將通過(guò)一些最簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問(wèn)題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。第2頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三求出方程的解

——求出未知函數(shù)的解析表達(dá)式

——利用各種數(shù)值解法、數(shù)值軟件（如Matlab）求近似解不必求出方程的解

——根據(jù)微分方程的理論研究某些性質(zhì)，或它的變化趨勢(shì)

把未知變量表示為已知量的函數(shù)——跟已知量的導(dǎo)數(shù)有關(guān)第3頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

為了保持自然資料的合理開(kāi)發(fā)與利用，人類(lèi)必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類(lèi)自身的增長(zhǎng)。本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問(wèn)題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過(guò)一些簡(jiǎn)單模型的復(fù)合來(lái)研究，大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。

美麗的大自然

種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的。離散化為連續(xù)，方便研究§4.1Malthus模型與Logistic模型第4頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三美麗的大自然哇！§4.1Malthus模型與Logistic模型世界人口年

1625183019301960197419871999人口（億）

5102030405060中國(guó)人口年

1908193319531964198219902000人口（億）

34.767.210.311.312.95第5頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型1馬爾薩斯（Malthus）模型假設(shè)：人口凈增長(zhǎng)率r是一常數(shù)（4.2）

（3.1）的解為：符號(hào)：則（4.1）

于是x（t）滿足如下微分方程：第6頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為T(mén)，則有：故（4.2）

當(dāng)r>0時(shí)，表明人口將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)，因此又稱為人口指數(shù)模型。第7頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型檢驗(yàn)用P61給出的近兩個(gè)世紀(jì)的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（以百萬(wàn)作單位），對(duì)模型作檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)：r，x0可用已知數(shù)據(jù)利用線性最小二乘法進(jìn)行估計(jì)（4.2）

（4.2）式兩邊取對(duì)數(shù)，得：（4.3）

以1790－1900年的數(shù)據(jù)擬合（4.3）式，用Matlab軟件計(jì)算得：r＝0.2743/10年，第8頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三Matlab計(jì)算示范以1790-1900年共計(jì)12個(gè)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合：t=[0：11]；%輸入數(shù)據(jù)x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976];plot(t,x,’o’);

%畫(huà)散點(diǎn)圖y=log(x);p=polyfit(t,y,1)（4.3）

輸出結(jié)果：表示：第9頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型預(yù)測(cè)假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例如，到2510年，人口達(dá)2×1014個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動(dòng)范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。第10頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練習(xí)一：用P61的部分或者全部數(shù)據(jù)擬合Malthus模型，計(jì)算并作圖，觀察并分析結(jié)果。第11頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型2Logistic模型人口凈增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(x)

從而有：（4.4）r(x)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無(wú)法用擬合方法來(lái)求。為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)單的方法。r(x)最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)），令r(x)=r-ax

此時(shí)得到微分方程：或（4.5）（4.5）被稱為L(zhǎng)ogistic模型或生物總數(shù)增長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。（4.5）可改寫(xiě)成：

（4.6）

(4.6)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無(wú)限增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過(guò)多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為xm（近似地將xm看成常數(shù)），x表示當(dāng)前的種群數(shù)量，xm-x恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（4.6）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（4.6）也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。第12頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖4-1對(duì)（4.6）分離變量：兩邊積分并整理得：令x(0)=x0，求得：故（4.6）的滿足初始條件x(0)=x0的解為：（4.7）易見(jiàn)：x(t)的圖形請(qǐng)看圖4.1第13頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練習(xí)二：

（1）用Matlab軟件求出Logistic模型人口隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)出各個(gè)時(shí)刻的人口，制出書(shū)上表格4-1；（2）對(duì)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果和原始數(shù)據(jù)進(jìn)行比較（可通過(guò)畫(huà)圖等方式），并予以解釋。模型檢驗(yàn)第14頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三模型檢驗(yàn)

用Logistic模型來(lái)描述種群增長(zhǎng)的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲(chóng)的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個(gè)原生物草履蟲(chóng)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來(lái)描述種群的增長(zhǎng)，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯把5只草履蟲(chóng)放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營(yíng)養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始時(shí)草履蟲(chóng)以每天230.9%的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，x(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見(jiàn)圖4.2。

圖4-2第15頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對(duì)微分方程（4.4）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。

用模擬近似法建立微分方程來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來(lái)研究其他實(shí)際問(wèn)題，只要這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可，下面我們來(lái)看兩個(gè)較為有趣的實(shí)例。第16頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三歷史背景:例5

贗品的鑒定在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國(guó)出賣(mài)過(guò)藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫(huà)家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀(jì)荷蘭名畫(huà)家揚(yáng)·弗米爾（JanVeermeer）的油畫(huà)“捉奸”等賣(mài)給納粹德國(guó)戈林的中間人?？墒牵丁っ犯駛愒谕?月12日在牢里宣稱：他從未把“捉奸”賣(mài)給戈林，而且他還說(shuō)，這一幅畫(huà)和眾所周知的油畫(huà)“在埃牟斯的門(mén)徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫(huà)和兩幅德胡斯（17世紀(jì)荷蘭畫(huà)家）的油畫(huà)，都是他自己的作品，這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界，為了證明自己是一個(gè)偽造者，他在監(jiān)獄里開(kāi)始偽造弗米爾的油畫(huà)“耶穌在門(mén)徒們中間”，當(dāng)這項(xiàng)工作接近完成時(shí)，范·梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫(huà)變陳，以免留下罪證。第17頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門(mén)徒”是范·梅格倫偽造的。事實(shí)上，在此之前這幅畫(huà)已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定為真跡，并以17萬(wàn)美元的高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買(mǎi)下。專家小組對(duì)于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒(méi)有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯的門(mén)徒”，來(lái)證明他高于三流畫(huà)家。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當(dāng)他看到這幅“在埃牟斯的門(mén)徒”多么容易賣(mài)掉以后，他在炮制后來(lái)的偽制品時(shí)就不太用心了。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證明“在埃牟斯的門(mén)徒”的確是一個(gè)偽造品。這一問(wèn)題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學(xué)的科學(xué)家們基本上解決。第18頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國(guó)際專門(mén)小組查究這一事件。他們用X射線檢驗(yàn)畫(huà)布上是否曾經(jīng)有過(guò)別的畫(huà)。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗(yàn)油畫(huà)中有沒(méi)有歷經(jīng)歲月的跡象?？茖W(xué)家們終于在其中的幾幅畫(huà)中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫(huà)中檢驗(yàn)出了20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類(lèi)人工樹(shù)脂。根據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年。可是他在監(jiān)獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。第19頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三原理著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出：

物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。設(shè)時(shí)刻的原子數(shù)為，則有為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件第20頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三半衰期碳-14鈾-238鐳-226鉛-210能測(cè)出或算出，只要知道就可算出這正是問(wèn)題的難處，下面是間接確定的方法。斷代。第21頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三油畫(huà)中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫(huà)中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過(guò)熔煉從鉛礦中提取來(lái)出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來(lái)時(shí)，Pb210的絕大多數(shù)來(lái)源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時(shí)Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。第22頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三鈾238鐳226鉛210釙210鉛206（放射性）（無(wú)放射性）第23頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期三假設(shè)（1）鐳的半衰期為1600年，我們只對(duì)17世紀(jì)的油畫(huà)感興趣，時(shí)經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可