中考數(shù)學幾何綜合試題解析

中考數(shù)學幾何綜合試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2018?貴港）如圖，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四邊形BCFE=16，則S△ABC=（）A．16 B．18 C．20 D．24解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，設S△AEF=x，∵S四邊形BCFE=16，∴=，解得：x=2，∴S△ABC=18，故選：B．2．（2018?梧州）如圖，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，則AE：EC的值是（）A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5解：過點D作DF∥CA交BE于F，如圖，∵DF∥CE，∴=，而BD：DC=2：3，∴=，則CE=DF，∵DF∥AE，∴=，∵AG：GD=4：1，∴=，則AE=4DF，∴==．故選：D．3．（2018?廣西）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB=2，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（）A． B． C．2 D．2解：過A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=BD=，∴△ABC的面積為=，S扇形BAC==π，∴萊洛三角形的面積S=3×π﹣2×=2π﹣2，故選：D．4．（2018?桂林）如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點M在CD的邊上，且DM=1，△AEM與△ADM關于AM所在的直線對稱，將△ADM按順時針方向繞點A旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接EF，則線段EF的長為（）A．3 B． C． D．解：如圖，連接BM．∵△AEM與△ADM關于AM所在的直線對稱，∴AE=AD，∠MAD=∠MAE．∵△ADM按照順時針方向繞點A旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴AF=AM，∠FAB=∠MAD．∴∠FAB=∠MAE∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE．∴∠FAE=∠MAB．∴△FAE≌△MAB（SAS）．∴EF=BM．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=3．∵DM=1，∴CM=2．∴在Rt△BCM中，BM==，∴EF=，故選：C．解法二：如圖，過E作HG∥AD，交AB于H，交CD于G，作EN⊥BC于N，則∠AHG=∠MGE=90°，由折疊可得，∠AEM=∠D=90°，AE=AD=3，DM=EM=1，∴∠AEH+∠MEG=EMG+∠MEG=90°，∴∠AEH=∠EMG，∴△AEH∽△EMG，∴==，設MG=x，則EH=3x，DG=1+x=AH，∴Rt△AEH中，（1+x）2+（3x）2=32，解得x1=，x2=﹣1（舍去），∴EH==BN，CG=CM﹣MG==EN，又∵BF=DM=1，∴FN=，∴Rt△AEN中，EF==，故選：C．5．（2018?廣西）如圖，矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE、DE分別交AB于點O、F，且OP=OF，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．解：根據(jù)折疊，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．設EF=x，則BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=，∴DF=4﹣x=，∴cos∠ADF==．故選：C．6．（2018?貴港）如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC邊的中點，P，M分別是AC，AB上的動點，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．4.5解：如圖，作點E關于AC的對稱點E′，過點E′作E′M⊥AB于點M，交AC于點P，則點P、M即為使PE+PM取得最小值，其PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四邊形ABCD是菱形，∴點E′在CD上，∵AC=6，BD=6，∴AB==3，由S菱形ABCD=AC?BD=AB?E′M得×6×6=3?E′M，解得：E′M=2，即PE+PM的最小值是2，故選：C．7．（2018?玉林）如圖，∠AOB=60°，OA=OB，動點C從點O出發(fā)，沿射線OB方向移動，以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則BD所在直線與OA所在直線的位置關系是（）A．平行 B．相交C．垂直 D．平行、相交或垂直解：∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°①當點C在線段OB上時，如圖1，∵△ACD是等邊三角形，∴AC=AD，∠CAD=60°，∴∠OAC=∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD，∴∠ABD=∠AOC=60°，∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，∴BD∥OA，②當點C在OB的延長線上時，如圖2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等邊三角形，∴AC=AD，∠CAD=60°，∴∠OAC=∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD，∴∠ABD=∠AOC=60°，∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，∴BD∥OA，故選：A．8．（2018?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，已知sin∠CDB=，BD=5，則AH的長為（）A． B． C． D．解：連接OD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，∴AB⊥CD，∴∠OHD=∠BHD=90°，∵sin∠CDB=，BD=5，∴BH=4，∴DH==4，設OH=x，則OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，解得：x=，∴OH=；∴AH=OA+OH=，故選：B．二．填空題（共9小題）9．（2018?柳州）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠DCA=30°，AC=，AD=，則BC的長為2．解：過A作AE⊥CD，交CD的延長線于E，過D作DF⊥BC于F，Rt△AEC中，∠ACD=30°，AC=，∴AE=，CE=，Rt△AED中，ED===，∴CD=CE﹣DE=﹣=，∵DF⊥BC，AC⊥BC，∴DF∥AC，∴∠FDC=∠ACD=30°，∴CF=CD=，∴DF=，∵DF∥AC，∴△BFD∽△BCA，∴，∴=，∴BC=2，故答案為：2．10．（2018?貴港）如圖，將矩形ABCD折疊，折痕為EF，BC的對應邊B'C′與CD交于點M，若∠B′MD=50°，則∠BEF的度數(shù)為70°．解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，∴∠C'FM=40°，設∠BEF=α，則∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，由折疊可得，∠EFC=∠EFC'，∴180°﹣α=40°+α，∴α=70°，∴∠BEF=70°，故答案為：70°．11．（2018?梧州）如圖，點C為Rt△ACB與Rt△DCE的公共點，∠ACB=∠DCE=90°，連接AD、BE，過點C作CF⊥AD于點F，延長FC交BE于點G．若AC=BC=25，CE=15，DC=20，則的值為．解：如圖，過E作EH⊥GF于H，過B作BP⊥GF于P，則∠EHG=∠BPG=90°，又∵∠EGH=∠BGP，∴△EHG∽△BPG，∴=，∵CF⊥AD，∴∠DFC=∠AFC=90°，∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB，又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB，∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，∴==，==1，∴EH=CF，BP=CF，∴=，∴=，故答案為：．12．（2018?玉林）小華為了求出一個圓盤的半徑，他用所學的知識，將一寬度為2cm的刻度尺的一邊與圓盤相切，另一邊與圓盤邊緣兩個交點處的讀數(shù)分別是“4”和“16”（單位：cm），請你幫小華算出圓盤的半徑是10cm．解：如圖，記圓的圓心為O，連接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD=AB，由圖知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，∴BD=6，設圓的半徑為r，則OD=r﹣2，OB=r，在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得，OB2=AD2+OD2，∴r2=36+（r﹣2）2，∴r=10cm，故答案為10．13．（2018?貴港）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，將△ABC繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，此時點A′恰好在CB的延長線上，則圖中陰影部分的面積為4π（結(jié)果保留π）．解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2．∵將△ABC繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，此時點A′恰好在CB的延長線上，∴△ABC≌△A′BC′，∴∠ABA′=120°=∠CBC′，∴S陰影=S扇形ABA′+S△ABC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′=﹣=﹣=4π．故答案為4π．14．（2018?玉林）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，則AD的取值范圍是2＜AD＜8．解：如圖，延長BC交AD的延長線于E，作BF⊥AD于F．在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，∴AE=2AB=8，在Rt△ABF中，AF=AB=2，∴AD的取值范圍為2＜AD＜8，故答案為2＜AD＜8．15．（2018?賀州）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接BB'，若∠A′B′B=20°，則∠A的度數(shù)是65°．解：∵Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C，∴BC=B′C，∴△BCB′是等腰直角三角形，∴∠CBB′=45°，∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A=∠B′A′C=65°．故答案為：65°．16．（2018?玉林）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長是6+4，點O1，O2分別是△ABF，△CDE的內(nèi)心，則O1O2=12+4．解：過A作AM⊥BF于M，連接O1F、O1A、O1B，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠A==120°，AF=AB，∴∠AFB=∠ABF=（180°﹣120°）=30°，∴△AFB邊BF上的高AM=AF=（6+4）=3+2，F(xiàn)M=BM=AM=3+6，∴BF=3+6+3+6=12+6，設△AFB的內(nèi)切圓的半徑為r，∵S△AFB=S+S+S，∴×（3+2）×（3+6）=×r+×r+×（12+6）×r，解得：r=3，即O1M=r=3，∴O1O2=2×3+6+4=12+4，故答案為：12+4．17．（2018?賀州）如圖，正方形ABCD的邊長為12，點E在邊AB上，BE=8，過點E作EF∥BC，分別交BD、CD于G、F兩點．若點P、Q分別為DG、CE的中點，則PQ的長為2．解：作QM⊥EF于點M，作PN⊥EF于點N，作QH⊥PN交PN的延長線于點H，如右圖所示，∵正方形ABCD的邊長為12，BE=8，EF∥BC，點P、Q分別為DG、CE的中點，∴DF=4，CF=8，EF=12，∴MQ=4，PN=2，MF=6，∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE=8，DF=4，∴△EGB∽△FGD，∴，即，解得，F(xiàn)G=4，∴FN=2，∴MN=6﹣2=4，∴QH=4，∵PH=PN+QM，∴PH=6，∴PQ==，故答案為：2．三．解答題（共11小題）18．（2018?廣西）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF．（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形．（2）連接BD交AC于O．∵四邊形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，AO=OC=AC=×6=3，∵AB=5，AO=3，∴BO===4，∴BD=2BO=8，∴S平行四邊形ABCD=×AC×BD=24．19．（2018?柳州）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線交BC的延長線于點D．（1）求證：△DAC∽△DBA；（2）過點C作⊙O的切線CE交AD于點E，求證：CE=AD；（3）若點F為直徑AB下方半圓的中點，連接CF交AB于點G，且AD=6，AB=3，求CG的長．解：（1）∵AB是⊙O直徑，∴∠ACD=∠ACB=90°，∵AD是⊙O的切線，∴∠BAD=90°，∴∠ACD=∠DAB=90°，∵∠D=∠D，∴△DAC∽△DBA；（2）∵EA，EC是⊙O的切線，∴AE=CE（切線長定理），∴∠DAC=∠ECA，∵∠ACD=90°，∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DAC+∠D=90°，∴∠D=∠DCE，∴DE=CE，∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE，∴CE=AD；（3）如圖，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，∴tan∠ABD==2，過點G作GH⊥BD于H，∴tan∠ABD==2，∴GH=2BH，∵點F是直徑AB下方半圓的中點，∴∠BCF=45°，∴∠CGH=∠CHG﹣∠BCF=45°，∴CH=GH=2BH，∴BC=BH+CH=3BH，在Rt△ABC中，tan∠ABC==2，∴AC=2BC，根據(jù)勾股定理得，AC2+BC2=AB2，∴4BC2+BC2=9，∴BC=，∴3BH=，∴BH=，∴GH=2BH=，在Rt△CHG中，∠BCF=45°，∴CG=GH=．20．（2018?廣西）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CBG=∠A，CD為直徑，OC與AB相交于點E，過點E作EF⊥BC，垂足為F，延長CD交GB的延長線于點P，連接BD．（1）求證：PG與⊙O相切；（2）若=，求的值；（3）在（2）的條件下，若⊙O的半徑為8，PD=OD，求OE的長．解：（1）如圖，連接OB，則OB=OD，∴∠BDC=∠DBO，∵∠BAC=∠BDC、∠BDC=∠GBC，∴∠GBC=∠BDC，∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBO+∠OBC=90°，∴∠GBC+∠OBC=90°，∴∠GBO=90°，∴PG與⊙O相切；（2）過點O作OM⊥AC于點M，連接OA，則∠AOM=∠COM=∠AOC，∵=，∴∠ABC=∠AOC，又∵∠EFB=∠OMA=90°，∴△BEF∽△OAM，∴=，∵AM=AC，OA=OC，∴=，又∵=，∴=2×=2×=；（3）∵PD=OD，∠PBO=90°，∴BD=OD=8，在Rt△DBC中，BC==8，又∵OD=OB，∴△DOB是等邊三角形，∴∠DOB=60°，∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，∴∠OCB=30°，∴=，=，∴可設EF=x，則EC=2x、FC=x，∴BF=8﹣x，在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，∴100=x2+（8﹣x）2，解得：x=6±，∵6+＞8，舍去，∴x=6﹣，∴EC=12﹣2，∴OE=8﹣（12﹣2）=2﹣4．．（2018?桂林）如圖1，已知⊙O是△ADB的外接圓，∠ADB的平分線DC交AB于點M，交⊙O于點C，連接AC，BC．（1）求證：AC=BC；（2）如圖2，在圖1的基礎上做⊙O的直徑CF交AB于點E，連接AF，過點A做⊙O的切線AH，若AH∥BC，求∠ACF的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若△ABD的面積為，△ABD與△ABC的面積比為2：9，求CD的長．解：（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，∴，∴AC=BC（2）連接AO并延長交BC于I交⊙O于J，∵AH是⊙O的切線且AH∥BC，∴AI⊥BC，由垂徑定理得，BI=IC，∵AC=BC，∴IC=AC，在Rt△AIC中，IC=AC，∴∠IAC=30°∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB，∵FC是直徑，∴∠FAC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣60°=30°；（3）過點D作DG⊥AB，連接AO由（1）（2）知，△ABC為等邊三角形，∵∠ACF=30°，∴AB⊥CF，∴AE=BE，∴，∴AB=，∴，在Rt△AEC中，CE=AE=9，在Rt△AEO中，設EO=x，則AO=2x，∴AO2=AE2+OE2，∴，∴x=6，∴⊙O的半徑為6，∴CF=12，∵，∴DG=2，過點D作DP⊥CF，連接OD，∵AB⊥CF，DG⊥AB，∴CF∥DG，∴四邊形PDGE為矩形，∴PE=DG=2，∴CP=PE+CE=2+9=11在Rt△OPD中，OP=5，OD=6，∴DP==，∴在Rt△CPD中，根據(jù)勾股定理得，CD==2．22．（2018?貴港）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，且AB=BC=CD，AB∥CD，連接BD．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若AB=10，cos∠BAC=，求BD的長及⊙O的半徑．證明：如圖1，作直徑BE，交⊙O于E，連接EC、OC，則∠BCE=90°，∴∠OCE+∠OCB=90°，∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴∠A=∠D，∵OE=OC，∴∠E=∠OCE，∵BC=CD，∴∠CBD=∠D，∵∠A=∠E，∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC+∠CBD=90°，即∠EBD=90°，∴BD是⊙O的切線；如圖2，∵cos∠BAC=cos∠E=，設EC=3x，EB=5x，則BC=4x，∵AB=BC=10=4x，x=，∴EB=5x=，∴⊙O的半徑為，過C作CG⊥BD于G，∵BC=CD=10，∴BG=DG，Rt△CGD中，cos∠D=cos∠BAC=，∴，∴DG=6，∴BD=12．23．（2018?梧州）如圖，AB是⊙M的直徑，BC是⊙M的切線，切點為B，C是BC上（除B點外）的任意一點，連接CM交⊙M于點G，過點C作DC⊥BC交BG的延長線于點D，連接AG并延長交BC于點E．（1）求證：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的長度．（1）證明：∵BC為⊙M切線∴∠ABC=90°∵DC⊥BC∴∠BCD=90°∴∠ABC=∠BCD∵AB是⊙M的直徑∴∠AGB=90°即：BG⊥AE∴∠CBD=∠A∴△ABE∽△BCD（2）解：過點G作GH⊥BC于H∵MB=BE=1∴AB=2∴AE=由（1）根據(jù)面積法AB?BE=BG?AE∴BG=由勾股定理：AG=，GE=∵GH∥AB∴∴∴GH=又∵GH∥AB①同理：②①+②，得∴∴CD=24．（2018?貴港）已知：A、B兩點在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點P．（1）當P與O重合時（如圖2所示），設點C是AO的中點，連接BC．求證：四邊形OCBM是正方形；（2）請利用如圖1所示的情形，求證：=；（3）若AO=2，且當MO=2PO時，請直接寫出AB和PB的長．解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO∴BM=CO，∵AO∥BM，∴四邊形OCBM是平行四邊形，∵∠BMO=90°，∴?OCBM是矩形，∵∠ABP=90°，C是AO的中點，∴OC=BC，∴矩形OCBM是正方形．（2）連接AP、OB，∵∠ABP=∠AOP=90°，∴A、B、O、P四點共圓，由圓周角定理可知：∠APB=∠AOB，∵AO∥BM，∴∠AOB=∠OBM，∴∠APB=∠OBM，∴△APB∽△OBM，∴（3）當點P在O的左側(cè)時，如圖所示，過點B作BD⊥AO于點D，易證△PEO∽△BED，∴易證：四邊形DBMO是矩形，∴BD=MO，OD=BM∴MO=2PO=BD，∴，∵AO=2BM=2，∴BM=，∴OE=，DE=，易證△ADB∽△ABE，∴AB2=AD?AE，∵AD=DO=DM=，∴AE=AD+DE=∴AB=，由勾股定理可知：BE=，易證：△PEO∽△PBM，∴=，∴PB=當點P在O的右側(cè)時，如圖所示，過點B作BD⊥OA于點D，∵MO=2PO，∴點P是OM的中點，設PM=x，BD=2x，∵∠AOM=∠ABP=90°，∴A、O、P、B四點共圓，∴四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BPM=∠A，∴△ABD∽△PBM，∴，又易證四邊形ODBM是矩形，AO=2BM，∴AD=BM=，∴=，解得：x=，∴BD=2x=2由勾股定理可知：AB=3，BM=325．（2018?玉林）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，∠DAC=∠B．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）點E是AB上一點，若∠BCE=∠B，tan∠B=，⊙O的半徑是4，求EC的長．（1）證明：∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠DAC=∠B，∴∠DAC+∠BAD=90°，∴∠BAC=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切線．（2）解：∵∠BCE=∠B，∴EC=EB，設EC=EB=x，在Rt△ABC中，tan∠B==，AB=8，∴AC=4，在Rt△AEC中，∵EC2=AE2+AC2，∴x2=（8﹣x）2+42，解得x=5，∴CE=5．26．（2018?賀州）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分別是邊AC、AB的中點，過點C作CE∥AB交DO的延長線于點E，連接AE．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若四邊形AECD的面積為24，tan∠BAC=，求BC的長．（1）證明：∵點O是AC中點，∴OA=OC，∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，在△AOD和△COE中，，∴△AOD≌△COE（ASA），∴AD=CE，∵CE∥AB，∴四邊形AECD是平行四邊形，又∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=AD，∴四邊形AECD是菱形；（2）由（1）知，四邊形AECD是菱形，∴AC⊥ED，在Rt△AOD中，tan∠DAO=，設OD=3x，OA=4x，則ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由題意可得：，解得：x=