2019屆蘇版文科數(shù)學(xué)空間幾何體的表面積和體積單元測(cè)試

./2019屆蘇教版〔文科數(shù)學(xué)空間幾何體的表面積與體積單元測(cè)試1．一個(gè)長方體共一頂點(diǎn)的三條棱長分別是,這個(gè)長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的表面積是A．12π B．18πC．36π D．6π2．某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為A．1 B．2C．3 D．63．如圖,格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為A．60 B．72C．81 D．1144．一個(gè)與球心距離為2的平面截球所得圓面面積為,則球的表面積為A． B．C． D．5．我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有如下問題："今有筑城,上廣二丈,下廣五丈四尺,高三丈八尺,長五千五百五十尺,秋程人功三百尺.問：須工幾何？"意思是："現(xiàn)要筑造底面為等腰梯形的直棱柱的城墻,其中底面等腰梯形的上底為丈、下底為丈、高為丈,直棱柱的側(cè)棱長為尺.如果一個(gè)秋天工期的單個(gè)人可以筑出立方尺,問：一個(gè)秋天工期需要多少個(gè)人才能筑起這個(gè)城墻？"〔注：一丈等于十尺A． B．C． D．6．某幾何體由圓柱挖掉半個(gè)球和一個(gè)圓錐所得,其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為A． B．C． D．7．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是,則該幾何體的體積為A． B．C． D．8．如圖,直角梯形中,,,,若將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周,則所得幾何體的表面積為．9．將若干毫升水倒入底面半徑為4cm的圓柱形器皿中,量得水面高度為8cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面的高度是cm.10．正三棱錐的高為,底面邊長為,正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切,則此球的表面積是．11．如圖所示的幾何體為一簡單組合體,在底面中,,,,,,,.〔1求證：平面；〔2求該組合體的體積.1．〔2018新課標(biāo)I文在長方體中,,與平面所成的角為,則該長方體的體積為A．8 B．C． D．2．〔2018新課標(biāo)I文已知圓柱的上、下底面的中心分別為,,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為A． B．C． D．3．〔2018年XX卷某幾何體的三視圖如圖所示〔單位：cm,則該幾何體的體積〔單位：cm3是A．2 B．4C．6 D．84．〔2016新課標(biāo)全國Ⅱ文體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為A． B．C． D．5．〔2018年高考新課標(biāo)Ⅲ卷文設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),為等邊三角形且其面積為,則三棱錐體積的最大值為A． B．C． D．6．〔2017XX某幾何體的三視圖如圖所示〔單位：cm,則該幾何體的體積〔單位：cm3是A． B．C． D．7．〔2017北京文某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為A．60 B．30C．20 D．108．〔2016新課標(biāo)全國Ⅰ文如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是A．17π B．18πC．20π D．28π9．〔2016XX文一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為A． B．C． D．10．〔2016XX文已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為.11．〔2016XX文某幾何體的三視圖如圖所示〔單位：cm,則該幾何體的表面積是cm2,體積是cm3.12．〔2017XX文由一個(gè)長方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為.13．〔2017天津文已知一個(gè)正方形的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為．14．〔2017新課標(biāo)全國Ⅱ文長方體的長,寬,高分別為,其頂點(diǎn)都在球的球面上,則球的表面積為.15．〔2017XX如圖,在圓柱內(nèi)有一個(gè)球,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是.16．〔2017新課標(biāo)全國Ⅰ文已知三棱錐S?ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S?ABC的體積為9,則球O的表面積為．17．〔2018天津卷文如圖,已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A1–BB1D1D的體積為．18．〔2018新課標(biāo)II文已知圓錐的頂點(diǎn)為,母線,互相垂直,與圓錐底面所成角為,若的面積為,則該圓錐的體積為．19．〔2017新課標(biāo)全國Ⅰ文如圖,在四棱錐P?ABCD中,AB//CD,且．〔1證明：平面PAB⊥平面PAD；〔2若PA=PD=AB=DC,,且四棱錐P?ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積．20．〔2018新課標(biāo)I文如圖,在平行四邊形中,,,以為折痕將△折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且．〔1證明：平面平面；〔2為線段上一點(diǎn),為線段上一點(diǎn),且,求三棱錐的體積．變式拓展變式拓展1．[答案]C[解析]由三視圖畫出幾何體如圖所示,上、下底面分別為邊長是1、4的正方形；左、后兩個(gè)側(cè)面是上底為1,下底為4,高為4的直角梯形；前、右兩個(gè)側(cè)面是上底為1,下底為4,高為5的梯形．其表面積為．故選C．2．[答案]A[解析]由三視圖還原原幾何體,可知該幾何體為組合體,上部分是長方體,棱長分別為,下部分為長方體,棱長分別為,其表面積為.學(xué).故選A.[名師點(diǎn)睛]本題考查了求組合體的表面積問題,關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體圖形,注意題目中的計(jì)算.3．[答案]D[名師點(diǎn)睛]本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力,屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力的最常見題型,也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其"翻譯"成直觀圖是解題的關(guān)鍵,不但要注意三視圖的三要素"高平齊,長對(duì)正,寬相等",還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響,對(duì)簡單組合體的三視圖問題,先看俯視圖確定底面的形狀,根據(jù)正視圖和側(cè)視圖,確定組合體的形狀.4．[解析]〔1如圖,連接,因?yàn)榈酌媸沁呴L為的正三角形,所以,且,因?yàn)?,,所以,所以,又因?yàn)?所以,所以,又因?yàn)?所以平面.[名師點(diǎn)睛]本題考查了立體幾何中線面垂直的證明,幾何體體積的求法,熟練掌握線面關(guān)系的證明原理非常重要,屬于基礎(chǔ)題.〔1根據(jù)底面為正三角形,易得；由各邊長度,結(jié)合余弦定理,可求得的值,再根據(jù)勾股定理逆定理可得,從而可證平面；〔2將斜棱柱的體積,轉(zhuǎn)化為棱錐的體積,結(jié)合三角形面積公式可求解.5．[答案]A[解析]由三視圖知：幾何體是球體切去后余下的部分,球的半徑為2,∴幾何體的表面積S=〔1﹣×4π×22+π×22=16π．故答案為A.學(xué)[名師點(diǎn)睛]<1>本題主要考查由三視圖找到幾何體原圖,考查幾何體的表面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象推理能力.<2>通過三視圖找?guī)缀误w原圖的方法有兩種：直接法和模型法.6．[答案]D[解析]因?yàn)?,所以,因此三角形BCD的外接圓半徑為,設(shè)外接球的半徑為R,則故選D.[名師點(diǎn)睛]涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí),一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)<一般為接、切點(diǎn)>或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑<直徑>與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程<組>求解.先確定三角形BCD外接圓的半徑,再解方程得外接球半徑,最后根據(jù)球的體積公式得結(jié)果.7．[答案]B[解析]由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長方體的四個(gè)頂點(diǎn),即為三棱錐,且長方體的長、寬、高分別為,[名師點(diǎn)睛]根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐,并以該三棱錐構(gòu)造長方體,于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進(jìn)而得到外接球的半徑,求得外接球的表面積后可求出最小值．〔1解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑,同時(shí)要作一圓面起襯托作用．〔2長方體的外接球的直徑即為長方體的體對(duì)角線,對(duì)于一些比較特殊的三棱錐,在研究其外接球的問題時(shí)可考慮通過構(gòu)造長方體,通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題．考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．[答案]A[解析]長方體的體對(duì)角線的長是,所以球的半徑是,所以該球的表面積是,故選A.[名師點(diǎn)睛]該題考查的是有關(guān)長方體的外接球的表面積問題,在解題的過程中,首先要明確長方體的外接球的球心應(yīng)在長方體的中心處,即長方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑,從而求得結(jié)果.2．[答案]B[解析]由題意可知該幾何體的形狀如圖：[名師點(diǎn)睛]本題考查幾何體的體積的求法,畫出幾何體的圖形,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．三視圖與幾何體的對(duì)應(yīng)關(guān)系的判斷是解題的關(guān)鍵．3．[答案]B[解析]由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以主視圖為底面的四棱柱,底面面積為12,底面周長為16,棱柱的高為3,故柱體的表面積S=2×12+16×3=72.4．[答案]A[解析]用一平面去截球所得截面的面積為π,所以小圓的半徑為1.已知球心到該截面的距離為2,所以球的半徑為,所以表面積為4π?5=20π.故選A.5．[答案]B[解析]根據(jù)棱柱的體積公式,可得城墻所需土方為〔立方尺,一個(gè)秋天工期所需人數(shù)為,故選B.6．[答案]B[解析]該圖形的表面積為圓柱的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積、球的表面積一半,其面積分別為：圓柱側(cè)面積：,圓錐側(cè)面積：,半個(gè)球面的面積：,所以表面積為.故選B.[名師點(diǎn)睛]本題主要考查表面積的計(jì)算,通過三視圖確定表面積,注意熟練掌握面積公式,還原時(shí)注意部分面已經(jīng)不存在,不要多求面積.根據(jù)題意可知該圖形的表面積應(yīng)包含圓柱的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積、球的表面積一半,共三部分,分別根據(jù)相應(yīng)的面積公式即可求出結(jié)果.7．[答案]B[解析]如圖所示,該幾何體為四棱錐,其中底面,底面是正方形,[名師點(diǎn)睛]該題考查的是有關(guān)應(yīng)用幾何體的三視圖求其體積的問題,解題的思路就是根據(jù)三視圖還原幾何體,利用其表面積公式求得對(duì)應(yīng)的高,之后借助于椎體的體積公式求得結(jié)果.8．[答案][解析]由題意知所得幾何體為一個(gè)圓錐與圓柱的組合體,則表面積為．9．[答案]4[解析]設(shè)倒圓錐形器皿中水面的高為hcm,則水面圓的半徑為htan30°=,則由π×42×8=×<>2×πh,解得h=4.10．[答案][名師點(diǎn)評(píng)]球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn),本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑來求出,以球心的位置特點(diǎn)來抓球的基本量,這是解決球有關(guān)問題常用的方法．11．[解析]〔1∵,,∴,又∵,∴,學(xué)又,,,,∴,又∵,∴平面.∴,∴.∵,∴.∴該組合體的體積.直通高考直通高考1．[答案]C[解析]在長方體中,連接,根據(jù)線面角的定義可知,因?yàn)?所以,從而求得,所以該長方體的體積為,故選C.[名師點(diǎn)睛]該題考查的是長方體的體積的求解問題,在解題的過程中,需要明確長方體的體積公式為長、寬、高的乘積,而題中的條件只有兩個(gè)值,所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要,此時(shí)就需要明確線面角的定義,從而得到量之間的關(guān)系,最終求得結(jié)果.2．[答案]B[名師點(diǎn)睛]該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題,在解題的過程中,需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量,即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高,在求圓柱的表面積的時(shí)候,一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.3．[答案]C[解析]根據(jù)三視圖可得幾何體為一個(gè)直四棱柱,高為2,底面為直角梯形,上、下底分別為1,2,梯形的高為2,因此幾何體的體積為選C.[名師點(diǎn)睛]先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀,再在具體幾何體中求體積或表面積等.4．[答案]A[解析]因?yàn)檎襟w的體積為8,所以棱長為2,所以正方體的體對(duì)角線長為,所以正方體的外接球的半徑為,所以該球的表面積為,故選A.5．[答案]B[解析]如圖所示,設(shè)點(diǎn)M為三角形ABC的重心,E為AC中點(diǎn),[名師點(diǎn)睛]本題主要考查三棱錐的外接球,考查了勾股定理,三角形的面積公式和三棱錐的體積公式,判斷出當(dāng)點(diǎn)在平面上的射影為三角形ABC的重心時(shí),三棱錐體積最大很關(guān)鍵,由M為三角形ABC的重心,計(jì)算得到,再由勾股定理得到OM,進(jìn)而得到結(jié)果,屬于較難題型.6．[答案]A[解析]根據(jù)所給三視圖可還原幾何體為半個(gè)圓錐和半個(gè)棱錐拼接而成的組合體,所以,幾何體的體積為,選A．學(xué)[名師點(diǎn)睛]思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循"長對(duì)正,高平齊,寬相等"的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬．由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：〔1首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；〔2觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；〔3畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整．7．[答案]D[解析]該幾何體是如下圖所示的三棱錐.由圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積是,故選D.[名師點(diǎn)睛]本題考查了空間想象能力,由三視圖還原幾何體的方法:如果我們死記硬背,不會(huì)具體問題具體分析,就會(huì)選錯(cuò),實(shí)際上,這個(gè)題的俯視圖不是幾何體的底面,因?yàn)轫旤c(diǎn)在底面的射影落在了底面三角形的外面,否則中間的那條線就不會(huì)是虛線.8．[答案]A9．[答案]C[解析]由已知及三視圖可得,半球的直徑為,正四棱錐的底面邊長為1,高為1,所以其體積為,選C.10．[答案][解析]由三視圖可知該幾何體的底面積為,高為1,所以該幾何體的體積為.11．[答案]80,40[解析]由三視圖可知該組合體是一個(gè)長方體上面放置了一個(gè)小正方體,則,．12．[答案][解析]由三視圖可知,長方體的長、寬、高分別為2,1,1,圓柱的高為1,底面圓的半徑為1,所以.學(xué)[名師點(diǎn)睛]<1>由實(shí)物圖畫三視圖或判斷、選擇三視圖,此時(shí)需要注意"長對(duì)正、高平齊、寬相等"的原則.<2>由三視圖還原實(shí)物圖,解題時(shí)首先對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉,復(fù)雜的幾何體也是由這些簡單的幾何體組合而成的；其次,要遵循以下三步：①看視圖,明關(guān)系；②分部分,想整體；③綜合起來,定整體．13．[答案][名師點(diǎn)睛]求多面體的外接球的表面積或體積的問題常用的方法有：①三條棱兩兩互相垂直時(shí),可恢復(fù)為長方體,利用長方體的體對(duì)角線為外接球的直徑,求出球的半徑；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行,借助球的對(duì)稱性,球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn),再根據(jù)勾股定理求球的半徑；③如果多面體有兩個(gè)面相交,可過兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線,垂線的交點(diǎn)即球心．14．[答案][解析]球的直徑是長方體的體對(duì)角線,所以[名師點(diǎn)睛]涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí),一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)<一般為接、切點(diǎn)>或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑<直徑>與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程<組>求解.15．[答案][解析]設(shè)球半徑為,則．故答案為．[名師點(diǎn)睛]空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．16．[答案][名師點(diǎn)睛]本題考查了球與幾何體的問題,是高考中的重點(diǎn)問題,要有一定的空間想象能力,這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系,得到結(jié)果,一般外接球需要求球心和半徑,首先應(yīng)確定球心的位置,借助于外接球的性質(zhì),球心到各頂點(diǎn)距離相等,這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心,過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的各頂點(diǎn)的距離相等,然后用同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線〔這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn),這樣兩條直線的交點(diǎn),就是其外接球的球心,再根據(jù)半徑,頂點(diǎn)到底面中心的距離,球心到底面中心的距離