中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合題匯編及詳細(xì)答案

一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1．如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，在AB的延長線上有點(diǎn)E，且EF=ED．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若tanA=，探究線段AB和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在（2）的條件下，若OF=1，求圓O的半徑．【答案】（1）答案見解析；（2）AB=3BE；（3）3．【解析】試題分析：（1）先判斷出∠OCF+∠CFO=90°，再判斷出∠OCF=∠ODF，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出∠BDE=∠A，進(jìn)而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)BE=x，則DE=EF=2x，AB=3x，半徑OD=x，進(jìn)而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．試題解析：（1）證明：連結(jié)OD，如圖．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵點(diǎn)D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；（2）線段AB、BE之間的數(shù)量關(guān)系為：AB=3BE．證明如下：∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴．∵Rt△ABD中，tanA==，∴=，∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；（3）設(shè)BE=x，則DE=EF=2x，AB=3x，半徑OD=x．∵OF=1，∴OE=1+2x．在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣（舍）或x=2，∴圓O的半徑為3．點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出△EBD∽△EDA是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，E（8,0），F(xiàn)(0,6)．（1）當(dāng)G(4，8)時，則∠FGE=°（2）在圖中的網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)找一點(diǎn)P，使∠FPE=90°且四邊形OEPF被過P點(diǎn)的一條直線分割成兩部分后，可以拼成一個正方形．要求：寫出點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)，畫出過P點(diǎn)的分割線并指出分割線（不必說明理由，不寫畫法）．【答案】（1）90；（2）作圖見解析，P（7，7），PH是分割線．【解析】試題分析：（1）根據(jù)勾股定理求出△FEG的三邊長，根據(jù)勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90"°．（2）一方面，由于∠FPE=90°，從而根據(jù)直徑所對圓周角直角的性質(zhì)，點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上；另一方面，由于四邊形OEPF被過P點(diǎn)的一條直線分割成兩部分后，可以拼成一個正方形，從而OP是正方形的對角線，即點(diǎn)P在∠FOE的角平分線上，因此可得P（7，7），PH是分割線．試題解析：（1）連接FE，∵E（8,0），F(xiàn)(0,6)，G(4，8)，∴根據(jù)勾股定理，得FG=25，EG=4∵(25)2∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90°．（2）作圖如下：P（7，7），PH是分割線．考點(diǎn)：1．網(wǎng)格問題；2．勾股定理和逆定理；3．作圖（設(shè)計）；4．圓周角定理．3．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在⊙O上，且點(diǎn)C是BF的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，交AF的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：AE⊥DE；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）23【解析】試題分析：（1）首先連接OC，由OC=OA，BC=（2）由AB是⊙O的直徑，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC為直角三角形，根據(jù)AE=3求得AC的長，然后連接OF，可得△OAF為等邊三角形，知AF=OA=12試題解析：（1）證明：連接OC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∵BC∴∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA=60°，∴∠BAC=∠EAC=30°，∵△AEC為直角三角形，AE=3，∴AC=23，連接OF，∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，∴△OAF為等邊三角形，∴AF=OA=12在Rt△ACB中，AC=23，tan∠CBA=3，∴BC=2，∴AB=4，∴AF=2．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．4．已知的半徑為5，弦AB的長度為m，點(diǎn)C是弦AB所對優(yōu)弧上的一動點(diǎn)．如圖，若，則的度數(shù)為______；如圖，若．求的正切值；若為等腰三角形，求面積．【答案】30；的正切值為；或.【解析】【分析】連接OA，OB，判斷出是等邊三角形，即可得出結(jié)論；先求出，再用勾股定理求出，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論；分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理以及勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】如圖1，連接OB，OA，，，，是等邊三角形，，，故答案為30；如圖2，連接AO并延長交于D，連接BD，為的直徑，，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，，，的正切值為；Ⅰ、當(dāng)時，如圖3，連接CO并延長交AB于E，，，為AB的垂直平分線，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，，；Ⅱ、當(dāng)時，如圖4，連接OA交BC于F，，，是BC的垂直平分線，過點(diǎn)O作于G，，，，，在中，，，在中，，，，；Ⅲ、當(dāng)時，如圖5，由對稱性知，．【點(diǎn)睛】圓的綜合題，主要圓的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，AB為的直徑，弦，E是AB延長線上一點(diǎn)，．是的切線嗎？請說明理由；求證：．【答案】（1）結(jié)論：DE是的切線，理由見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）連接，只要證明即可；（2）只要證明：，即可解決問題.【詳解】解：結(jié)論：DE是的切線．理由：連接OD．，，，，，，，是直徑，，，，是的切線．，，，，，，，，∽，，，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，準(zhǔn)確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.6．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P在BC邊的延長線上，且PD=BC，⊙A經(jīng)過點(diǎn)B，與AD邊交于點(diǎn)E，連接CE.（1）求證：直線PD是⊙A的切線；（2）若PC=2，sin∠P=，求圖中陰影部份的面積（結(jié)果保留無理數(shù)）．【答案】（1）見解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）過點(diǎn)A作AH⊥PD，垂足為H，只要證明AH為半徑即可.（2）分別算出Rt△CED的面積，扇形ABE的面積，矩形ABCD的面積即可.詳解：（1）證明：如圖，過A作AH⊥PD，垂足為H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半徑，∴AH=AB,即AH是⊙A的半徑，∴PD是⊙A的切線.（2）如圖，在Rt△PDC中，∵sin∠P=，PC=2，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(2)2，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD的面積為6×4=24，Rt△CED的面積為×4×2=4，扇形ABE的面積為π×42=4π，∴圖中陰影部份的面積為24-4-4π=20-4π.點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定，圓的切線證明，三角形的面積，扇形的面積，矩形的面積.7．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓O的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)H，連接DC，AC．（1）求證：∠AEC=90°；（2）試判斷以點(diǎn)A，O，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說明理由；（3）若DC=2，求DH的長．【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AOCD為菱形；（3）DH=23．【解析】試題分析：（1）連接OC，根據(jù)EC與⊙O切點(diǎn)C，則∠OCE=90°，由題意得AD=（2）四邊形AOCD為菱形．由（1）得AD=（3）連接OD．根據(jù)四邊形AOCD為菱形，得△OAD是等邊三角形，則∠AOD=60°，再由DH⊥AB于點(diǎn)F，AB為直徑，在Rt△OFD中，根據(jù)sin∠AOD=DFOD試題解析：（1）連接OC，∵EC與⊙O切點(diǎn)C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn)，∴AD=∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四邊形AOCD為菱形．理由是：∵AD=∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四邊形AOCD是平行四邊形，∵OA=OC，∴平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；（3）連接OD．∵四邊形AOCD為菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于點(diǎn)F，AB為直徑，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=DFOD∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=3，∴DH=2DF=23．考點(diǎn)：1.切線的性質(zhì)2.等邊三角形的判定與性質(zhì)3.菱形的判定與性質(zhì)4.解直角三角形．8．如圖，已知AB為⊙O直徑，D是的中點(diǎn)，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線交AD的延長線于F．（1）求證：直線DE與⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半徑為5，求tan∠F的值．【答案】（1）證明見解析；（2）2．【解析】試題分析：（1）連接BC、OD，由D是弧BC的中點(diǎn)，可知：OD⊥BC；由OB為⊙O的直徑，可得：BC⊥AC，根據(jù)DE⊥AC，可證OD⊥DE，從而可證DE是⊙O的切線；（2）直接利用勾股定理得出GO的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出tan∠F的值．試題解析：解：（1）證明：連接OD，BC，∵D是弧BC的中點(diǎn)，∴OD垂直平分BC，∵AB為⊙O的直徑，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵D是弧BC的中點(diǎn)，∴，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG==2，∵BF是⊙O的切線，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．點(diǎn)睛：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確得出AG，DG的長是解題關(guān)鍵．9．如圖，OB是以（O，a）為圓心，a為半徑的⊙O1的弦，過B點(diǎn)作⊙O1的切線，P為劣弧上的任一點(diǎn)，且過P作OB、AB、OA的垂線，垂足分別是D、E、F．（1）求證：PD2=PE?PF；（2）當(dāng)∠BOP=30°，P點(diǎn)為OB的中點(diǎn)時，求D、E、F、P四個點(diǎn)的坐標(biāo)及S△DEF．【答案】（1）詳見解析；（2）D（﹣a，a），E（﹣a，a），F(xiàn)（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．【解析】試題分析：（1）連接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求證△PBE∽△POD，得出

，同理，△OPF∽△BPD，得出

，然后利用等量代換即可．（2）連接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO為等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解得D、E、F、P四個點(diǎn)的坐標(biāo)．再利用三角形的面積公式可直接求出三角形DEF的面積．試題解析：（1）證明：連接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP=∠PDO=90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴=，同理，△OPF∽△BPD∴=，∴=，∴PD2=PE?PF；（2）連接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，∴∠ABP=30°，∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，∵O1B=O1P，∴△O1BP為等邊三角形，∴O1B=BP，∵P為弧BO的中點(diǎn)，∴BP=OP，即△O1PO為等邊三角形，∴O1P=OP=a，∴∠O1OP=60°，又∵P為弧BO的中點(diǎn)，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，∴O1D=a，OD=a，過D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，OM=DM=a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°∴∠POF=30°，∵PE⊥OA，∴PF=OP=a，OF=a，∴P（﹣a，），F(xiàn)（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，∴∠ABP=∠BOP=30°，∵PE⊥AB，PB=a，∴∠EPB=60°∴PE=a，BE=a，∵P為弧BO的中點(diǎn)，∴BP=PO，∴∠PBO=∠BOP=30°，∴∠BPO=120°，∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，即OPE三點(diǎn)共線，∵OE=a+a=a，過E作EM⊥x軸于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA=30°，∴EM=OE=a，OM=a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE=﹣a﹣（﹣a）=a，DE邊上的高為：a，∴S△DEF=×a×a=a2．故答案為：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F(xiàn)（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．10．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D，E在⊙O上，連接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，．（1）判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）求證：△ABE≌△DCE；（3）若∠EAC=60°，BC=8，求