高一數(shù)學(xué)必修二課件第六章 第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法

第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)證明當(dāng)n取___________________時命題成立，這一步是歸納奠基.(2)假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)______時命題也成立，這一步是歸納遞推.完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.第一個值n0(n0∈N*)n=k+1判斷下面結(jié)論是否正確(在括號中打“√”“×”).(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時結(jié)論成立.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用.()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).()(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，驗(yàn)證n=1時，左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.()【解析】(1)錯誤.用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n取第一個可取值時結(jié)論成立，第一個可取值不一定是1.(2)錯誤.例如，證明等式時，也可直接運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式證明.(3)錯誤.用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，歸納假設(shè)必須用上，否則就不是用數(shù)學(xué)歸納法證明.(4)錯誤.用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時項(xiàng)數(shù)不一定都增加了一項(xiàng).(5)正確.當(dāng)n=1時左邊式子一共有4項(xiàng)，為1+2+22+23.答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N)時，第一步應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)n取何值時成立()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】選C.由已知條件n≥3,n∈N知，應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)n=3時不等式成立.2.若f(n)=(n∈N*)，則f(1)為()【解析】選D.f(1)=1+3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋<n(n∈N*且n>1)時，在第二步證明從n＝k到n＝k＋1成立時，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是()(A)2k(B)2k-1(C)2k-1(D)2k+1【解析】選A.增加的項(xiàng)數(shù)為(2k+1-1)-(2k-1)=2k，故選A.4．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*)，由n=k到n=k+1時，等式左邊的變化是()(A)多乘了(2k+1)(B)多乘了2(2k+1)(C)多乘了(2k+1)(2k+2)(D)多乘了2(k+1)【解析】選B.當(dāng)n=k時，左=(k+1)(k+2)…(k+k),當(dāng)n=k+1時，左邊=［(k+1)+1］[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1),所以多乘了2(2k+1).5．在數(shù)列{an}中，a1＝且Sn=n(2n-1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式，其結(jié)果是______.【解析】由a1＝且Sn=n(2n-1)an得，a2＝，a3＝a4＝而a1=,a2=,a3=a4=,…,可得an＝答案：an＝考向1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【典例1】(2012·天津高考)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式.(2)記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn(n∈N*)，證明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).【思路點(diǎn)撥】(1)第一問可分別求出公差和公比即得通項(xiàng)公式.(2)第二問可用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立.【規(guī)范解答】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d,由條件得方程組：an=3n-1,bn=2n(n∈N*).(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)成立.①當(dāng)n=1時，T1+12=a1b1+12=16，而-2a1+10b1=16,故等式成立；②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,且k∈N*)時等式成立，即Tk+12=-2ak+10bk,則當(dāng)n=k+1時有：Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12.即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1時等式也成立.由①和②可知，對任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn(n∈N*)成立.【拓展提升】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的注意點(diǎn):(1)明確等式兩邊項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n=k到n=k+1時左邊的項(xiàng)是如何變化的，由此明確變形的目標(biāo).(2)注意合理利用恒等變形的常用方法.例如,因式分解、添拆項(xiàng)、配方等.【變式訓(xùn)練】

是否存在常數(shù)a，b，c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論．【解析】把n＝1，2，3代入等式得方程

猜想：等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝

(3n2＋11n＋10)對一切n∈N*都成立．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1時，由上面可知等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1,k∈N*)時等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，則當(dāng)n＝k+1時，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2＝[k(3k＋5)＋12(k＋2)]=[3(k+1)2+11(k+1)+10],∴當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．綜合(1)(2)，對n∈N*等式都成立．考向2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【典例2】由下列不等式：

你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明.【思路點(diǎn)撥】觀察所給出的不等式，其左邊是若干個分式相加，分子都是1，分母由1開始，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)大1，最后一項(xiàng)是2n-1，因此左邊的式子為不等式的右邊是一個分?jǐn)?shù)，依次為由此可得到一般的不等式.證明可采用數(shù)學(xué)歸納法.【規(guī)范解答】根據(jù)給出的幾個不等式可以猜想第n個不等式，即一般不等式為用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n=1時，1>,猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時，猜想成立，即則當(dāng)n=k+1時，

即當(dāng)n=k+1時，猜想也成立，所以對任意的n∈N*，不等式都成立.拓展提升】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的注意問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立，推證n=k+1時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明.【變式訓(xùn)練】求證：

(n≥2,n∈N*)．【證明】(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝

不等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成立，即則當(dāng)n＝k＋1時，∴當(dāng)n＝k＋1時不等式亦成立．∴原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立．考向3歸納、猜想、證明【典例3】

在數(shù)列{an}中，a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).(1)求a2，a3，a4.(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式，并加以證明.【思路點(diǎn)撥】利用遞推公式將n=1,2,3代入即可求得a2，a3，a4，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.規(guī)范解答】(1)a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2)由(1)可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式為：an=(n-1)λn+2n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時，a1＝2，等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1,k∈N*)時等式成立，即ak=(k-1)λk+2k，那么當(dāng)n=k+1時，ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,即當(dāng)n＝k＋1時等式也成立，根據(jù)①和②可知，等式對任何n∈N*都成立．【拓展提升】解“歸納——猜想——證明”題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)(1)準(zhǔn)確計算出前若干具體項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ).(2)通過觀察、分析、比較、聯(lián)想，猜想出一般結(jié)論.(3)對一般結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.【變式訓(xùn)練】數(shù)列{an}中，a1=1,a2=,且an+1=求a3,a4,猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.【解析】因?yàn)閍1=1，a2=，且an+1所以同理可求得a4=歸納猜想an=下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.(1)當(dāng)n=1時，易知猜想正確.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時，猜想正確，即ak=那么當(dāng)n=k+1時，即當(dāng)n=k+1時，猜想也正確.由(1)(2)可知，猜想對任意正整數(shù)都正確.考向4用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題【典例4】用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.【思路點(diǎn)撥】在第二步證明中，注意利用歸納假設(shè)，對n=k+1時的式子進(jìn)行合理變形.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)n=1時，(3×1+1)×7-1=27能被9整除，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時命題成立，即(3k+1)·7k-1能被9整除，則當(dāng)n=k+1時，[3(k+1)+1]·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+6(3k+1)·7k+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.由于(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除，所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除，即當(dāng)n=k+1時，命題也成立，故(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.【拓展提升】證明整除問題的關(guān)鍵—“湊項(xiàng)”證明整除問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，即采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，將n=k+1時的式子湊出n=k時的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證.【變式訓(xùn)練】用數(shù)學(xué)歸納法證明42n+1+3n+2能被13整除，其中n為正整數(shù).【證明】(1)當(dāng)n=1時，42×1+1+31+2=91能被13整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時，方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除,∴42(k+1)+1+3k+3能被13整除.方法二：［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)=(42k+1·42+3k+2·3)-3(42k+1+3k+2)=42k+1·13,∵42k+1·13能被13整除，∴［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,∴當(dāng)n=k+1時，命題也成立,由(1)、(2)知，對任意n∈N*，42n+1+3n+2都能被13整除.【易錯誤區(qū)】未運(yùn)用歸納假設(shè)致誤【典例】用數(shù)學(xué)歸納法證明：【誤區(qū)警示】

本題錯誤在于證明當(dāng)n=k+1等式也成立這一步驟時，沒有運(yùn)用歸納假設(shè)，

而是直接利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得這是錯誤的.【規(guī)范解答】①當(dāng)n=1時，左邊=，右邊=1-()1=，等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時，等式成立，即則當(dāng)n=k+1時，即當(dāng)n=k+1時，等式也成立.由①②知，等式對n∈N*成立.【思考點(diǎn)評】數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)注點(diǎn)在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，兩個步驟缺一不可，尤其是在證明第二步時，一定要運(yùn)用歸納假設(shè)，即運(yùn)用當(dāng)n=k時得到的結(jié)論，去證明當(dāng)n=k+1時命題的正確性，否則，若沒有運(yùn)用歸納假設(shè)，即使證明出當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立，也不是利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題，這種證法是錯誤的.

1.(2013·濟(jì)南模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝則當(dāng)n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上式子()(A)k2＋1(B)(k＋1)2(C)(D)(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】選D.當(dāng)n=k時，左端=1+2+3+…+k2,當(dāng)n=k+1時，左端=1+2+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2，因此應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上式子(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.2.(2013·九江模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明34n+1+52n+1(n∈N*)能被8整除時，當(dāng)n=k+1時，對于34(k+1)+1+52(k+1)+1可變形為()(A)56·34k+1+25(34k+1+52k+1)(B)34·34k+1+52·52k(C)34k+1+52k+1(D)25(34k+1+52k+1)【解析】選A.∵當(dāng)n=k時，34k+1+52k+1能被8整除，那么當(dāng)n=k+1時，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52·34k+1+34k+5=(34-52)·34k+1+52(34k+1+52k+1)=56·34k+1+25(34k+1+52k+1),故選A.3.(2013·威海模擬)凸n邊形有f(n)條對角線，凸(n+1)邊形有f(n+1)條對角線，則()(A)f(n+1)=f(n)+n+1(B)f(n+1)=f(n)+n(C)f(n+1)=f(n)+n-1(D)f(n+1)=f(n)+n-2【解析】選C.凸n邊形有f(n)條對角線，當(dāng)邊數(shù)增加1時，所得凸(n+1)邊形的對角線由三部分構(gòu)成：原來的f(n)條、原來的一條邊變成了對角線、新增加的頂點(diǎn)和原來的(n-2)個頂點(diǎn)構(gòu)成(n-2)條對角線，所以凸(n+1)邊形有對角線f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1(條).4.(2013·石家莊模擬)若數(shù)列{bn}中，b1=2,bn+1=n=1,2,3,…,求b2,b3，試判定bn與的大小