《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)大綱

#/12性微分方程，簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，微分方程的冪級數(shù)解法，微分方程的簡單應(yīng)用問題。（二）基本要求．了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念．掌握可分離變量方程及一階線性方程的解法．會求解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換求解某些微分方程。．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。．掌握二階常數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會求解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。四、教案方式與考核方式補(bǔ)充說明：教案方式與考核方式教案方式：面授輔導(dǎo)、平時作業(yè)考核方式：考勤、作業(yè)和考試五、參考書目．同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（五版）（上、下）．北京：高等教育出版社，．殷錫鳴等．高等數(shù)學(xué)．上海：華東理工大學(xué)出版社，．馬知恩．工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)（第二版）．北京：高等教育出版社，．蕭樹鐵．大學(xué)數(shù)學(xué)．北京：高等教育出版社，．安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)．合肥：安徽大學(xué)出版社，安徽工程大學(xué)成人高等教育年第學(xué)期高等數(shù)學(xué)專復(fù)習(xí)大綱兩個重要極限sinx 1lim=1,lim（1+_）%=exf0x xTB x求導(dǎo)法則[u(x)±v(x)]'=u'(x)±vf(x);[u(x)?v(x)]'=uf(x)v(x)+u(x)vf(x);(3)[u(x)

(3)[u(x)

v(x)r=u'(x)v(x)-L/u(x)vf(x)

v2(x)(v(x)豐0).設(shè)y=f(u),u=。(V),V=W(x),則復(fù)合函數(shù)y=f｛機(jī)甲(x)]｝的導(dǎo)數(shù)為dydydudv=??.dXddVdX常用導(dǎo)數(shù) (cy=0(sinx)'=cosx(xn)'=Nxnt(cosx)，=一sinx(ex)=ex. ,1(lnx)=xdy=f(x)dx.不定積分和定積分微積分基本公式Jkdx=kx+C1xndx=x+C.+1=lnlxI+CxJcosxdx=sinx+cJsinxdx=-cosx+cJexdx=ex+cJbf(x)dx=F(b)-F(a)a典型例題lim一x一=3a，貝Ua=x-0sin(3x)解：lim—x—=lim3x 1=1a=1x-0sin(3x)x-0sin(3x)3 3 9若f(\沃)=x2+sinx，則f(x)=解：令京=t,即x=t2,貝ijf(t)=14+sint2,所以f(x)=x4+sinx2曲線y=ex在x=1處的切線方程是dy解：當(dāng)x=1時y=e,且dx=ex,所以V⑴=e,所求切線方程為曲線y=ln(1+x2)的拐點為/、 2x /、2—2x2解：Mx)=E2，y'(x)"而喬，令》(x)=o得x=±i，所以拐點為(-1,ln2)和(1,ln2)Jcos(2x)dx=解：Jcos(2x)dx=1Jcos(2x)d2x=

212sm(2x)+C1lim(1+ )x=x—g 2x解：1lim(1+一)xx—g 2x1 1一=lim[(1+一)2x上=eex—g 2x若f(2x)=ex,貝1Jf(x)=。1 1 1解：令2x=t，即x=2t，則f(t)=e2t,所以f(x)=e2x兀曲線y=sinx在x=不處的切線方程是dy 兀、解：當(dāng)x=1時y=1,且不=cosx，所以y(-)=0,所求切線方程為y=1函數(shù)y=ln(1+x2)的定義域為只需1+x2大于即可，所以可去一切實數(shù)，即(-g,+g)Je3xdx= 。11解：e3xdx=3Je3xd3x=3e3x+C計算limx—0tanxsinx解：解：sinx1

lim x―0cosxsinx=lim1=1x―0cosx計算11mx-0tanx-xsinx-xcosxsinx-xcosx解：lim 二lim 二lim ?x-0x-sinx x-0cosx(x-sinx) x-0 x-sinxxsinx x2=lim 二lim=2x-01—cosxx-01” x22y=(x2-2x+5)10,求dydx解阜： _=1 x2 —(x+ 219 — j5+ )=(x1— 2c+ 25x-)■x190(設(shè)x2J—e2y=siny,求dydxdydydy22xy+x2 —2e2y =cosy解：ddd所以dy2xyd2e2y+cosy—x2.計算不定積分Je5x+1dxJe5x+idx=Je5x+id(5x+1)=解： 51e5x+i+C5計算定積分Jexlnxdx11111-Je_x2_dx

12x解：JexInxdx=JeI7 1I_lnxdx2=_x2Inx2 24(e2+1)

求函數(shù)y二12ln%的單調(diào)區(qū)間和極值解：d=2%ln%+%=0得％=e,，在(0,飛)上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小11于，而在(jea)上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于，所以在(0,-je)上函數(shù)單調(diào)11遞減，在(丁a)上函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)在%=等處取得極小值i2e求由曲線y=%2及直線y=0,%=1,所圍成的平面圖形的面積解：所圍圖形的面積A=J1%2d%=1%30 30求由曲線y=%3及直線y=1,%=0,所圍成的平面圖形的面積。解：所圍圖形的面積A=[J1%3d%=1-340 4計算lim%-0tan3計算lim%-0tan3%sin4%解：lim%-0tan3%sin4%tan3%4%33=lim =_%-03%sin4%44計算lim%計算lim%-0e%—%—1%2解：lim%-解：lim%-0e%—%—1%2=lim%告0e%—1y=(sin2%)10，求dyd%

解："=10(sin2x)9(sin2x)′=20(sin2x)9cos2xdX解：設(shè)x2+y2—4y=sinx，求dydx2-2、dy-4辦二解：兩邊同時對x求導(dǎo)可得2x+2ydx4dx^^x所以2x+2ydy-4dy二coxsdxdxdycox—xdx-2y-4Jxexdx．計算不定積分 .Jxexdx-Jxdex-xex-Jexdx-xex-ex+C解：JeInxdx計算定積分1解：原式吧x22sin2e」ex1dx-e-iix解：原式吧x22sin2e」ex1dx-e-iixxe-11若隱函數(shù)y-y(x)由方程ln(x2+y2)-arctany確定，求y,(1)；x即2x+2yy'-xy'-y，即2x+2yy'-xy'-y，x2+y2將x-1代入原方程得，y-0，代入上式，得y<=2求曲線y=excosx在x:處的切線方程和法線方程。解：y'=