指數(shù)函數(shù)典型例題詳細(xì)解析

求下列函數(shù)的定域與值域：x+2求下列函數(shù)的定域與值域：x+2xxxx

歡迎下載指數(shù)函數(shù)·例題析第一課時(shí)【例1礎(chǔ)題）(1)y3

12

(2)y＝2

x

(3)y＝3

x解

定義域{x|xR≠2}．域{y|y0且y≠1}(2)由2≥，得定義{x|x2}，值域{|y|y≥．(3)由3≥0，得定義域{≤2}，≤－3x－＜，∴值域≤y＜．1.指數(shù)數(shù)Y=ax（a>0且≠）定域是R，域是，∞2.求義的幾原：含根（開(kāi)方不負(fù)②含式分母不０形≠0)3.求數(shù)值域:①用數(shù)Y=ax單調(diào)②數(shù)的界(≥0;ax>0)③元如:×2x-8(1≤≤先元再利二函數(shù)象性(注新的圍【例2基礎(chǔ)題）

指數(shù)函數(shù)＝a，＝b，y＝c，y＝的圖像如圖．－所示，則ab、、d、之間的大小關(guān)系是[]Aa＜1＜＜Ba＜＜＜．＜＜＜d＜D．＜＜1＜＜b

3.6學(xué)習(xí)必備3.6

歡迎下載解

選c)在x軸任取一點(diǎn)(x，0)，則得＜＜＜＜．【例基礎(chǔ)題）比較大?。?1)2、3

、5

、8

、9

16的大小關(guān)系是：

．(2)0.6

()

________3.7

3.6xx3.63.6123.6學(xué)習(xí)必備3.6xx3.63.6123.6

歡迎下載解∵

12

，3

2

13

，

25

，

2

38

，

49

，函數(shù)y＝2x，＞，該函數(shù)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，24又＜＜＜＜，∴32＜＜＜．590.65＞，1＞()2，2

3()2

解

借助數(shù)打橋，利用指數(shù)函數(shù)的調(diào)性＞，函數(shù)y＝4.5，y＝3.7的像如圖2．6－，取x＝3.6，4.5＞∴4.5＞3.7．說(shuō)如比較兩個(gè)冪的大小不同先化為同底的冪利指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行較，如例(若是兩個(gè)不同底且數(shù)也不同的冪比較大小時(shí)，有兩個(gè)巧，其一借助橋梁，如例中的(2)其二構(gòu)造一個(gè)新的冪作橋梁新冪具有與4.5同底與同數(shù)的特點(diǎn)或，如例中的(．例題4（檔題）

xxx學(xué)習(xí)必備xxx

歡迎下載【例4】較

a

n

n

a

n

0且≠，n＞1)．解

nnnan

1n(1當(dāng)0a＜，＞，＞0，n(n∴

n(

＜，∴n

a

＜

a

當(dāng)＞時(shí)，＞，＞，n(n∴n(＞，a＞（檔出數(shù)

：

變1(1)y＝)x2

(2)y＝x－2，(3)y＝2

|x-1|

(4)y|解(1)y＝)

x

的圖像如圖2．6－，過(guò)(0，)及(－1，．是把函數(shù)y＝()

x

的圖像向左平移1個(gè)單得到的．解

(2)y＝2－的像(如圖．－是把函數(shù)y＝的像向下平移個(gè)位得到的．

|x-1|xxx學(xué)習(xí)必備|x-1|xxx

歡迎下載解

利用翻折變換，先作＝2的像，再＝2的圖像向右平移解

單位，就得＝的圖像如圖．－6)．作函數(shù)y3的像關(guān)于的對(duì)稱(chēng)圖像得y＝－3的像再把y＝－

x的圖像向上平移1個(gè)位，保留其在x軸及x軸方部分不變，把x軸方的圖像以x軸對(duì)稱(chēng)軸翻折到x軸方而得．(如圖2．－7)例（中檔題）

：

用

函數(shù)單調(diào)性定義證明當(dāng)

a＞時(shí)y=是函

xxxxxxa22學(xué)習(xí)必備xxxxxxa22【析設(shè)，∈R且x＜，令121

歡迎下載xx+(h，hR)，很特方式則a

a

，∵a＞10，0,1

h

，∴a

x

，故y=＞為R上增函，同可0＜＜1時(shí)y

是R上的函例題7中檔題）

函次的合數(shù)到外析）函層，指數(shù)層函【例6】求函數(shù)y＝()

5x

的調(diào)間值．解令＝x2＋6，y＝)u是關(guān)于u的減函，＝2－5x55＋6在x∈(，]上是減函數(shù)，在x∈[，)上是增函數(shù)．∴函數(shù)2235y＝)x5x6的單調(diào)增區(qū)間(]單調(diào)減區(qū)間是[，)．425又∵u＝2－5x＋＝(x)2≥，2431函數(shù)＝()u，在∈[，∞)上是減函數(shù)，4434所以函數(shù)y＝()x5x＋的值域是(0，]．4

221學(xué)習(xí)必備221

歡迎下載變式1

求數(shù)y=（

）

x

的調(diào)間并證之解一在答在R上任，且＜x12則

y2y1

=

1()21()2

x

－xx－2）底紅色分為數(shù)，∵＜，－x＞0.121當(dāng)xx∈－∞，］，x－＜這（xx（+x－）0，121211.∴＞，數(shù)（－∞，］單遞增21當(dāng)xx［，+∞）x+x－，時(shí)（－x（x－2），122121

2121

＞＜1.（處評(píng)上述明程中在商正負(fù)斷，利了數(shù)數(shù)的域單調(diào)）∴y函在［1，+∞上調(diào)遞2綜，數(shù)y在（∞，1］上單遞，在1，+∞）單遞.合探：填空選題中上方就比麻，因們以考慮用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解解二在填空、選擇題（復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性設(shè)：

x則：

u對(duì)任意的

x

，有

u

，

學(xué)習(xí)必備又∵是函數(shù)

歡迎下載∴

∴y

x

在

[1,

是減函數(shù)對(duì)任意的

x，有2

又∵是函數(shù)∴

y

∴

y

xx

在

[1,

是增函數(shù)在該問(wèn)題中先確內(nèi)層函數(shù)（

x

）和外層函數(shù)（

y的單調(diào)情況，再根據(jù)內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)變式

已知

a

且

，討論

f(x)

的單調(diào)性【分析】這是一與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)討單調(diào)性題，指數(shù)

3x)2

1733，當(dāng)x≥時(shí)減函數(shù)，≤時(shí)是函數(shù)，422而

fx)

的單調(diào)性又與

0和a兩范圍有關(guān)，應(yīng)分類(lèi)討.【解析】設(shè)

u)4

，則當(dāng)≥

時(shí)，u是函數(shù)，當(dāng)≤

時(shí)，是函數(shù)，又當(dāng)時(shí)y

是增函數(shù)，當(dāng)

0

時(shí)，

是減函數(shù)，

學(xué)習(xí)必備

歡迎下載所以當(dāng)

a

時(shí)，原函數(shù)

f()

在

[,

上是減函數(shù)，在

(]

上是增函數(shù)當(dāng)

0

時(shí)函

f(x)

在

[,

上是增函數(shù)

(]

上是減函數(shù)【小結(jié)般情況下兩個(gè)函數(shù)都增函數(shù)或都是減函數(shù)其合函數(shù)是增函數(shù)；；如果兩個(gè)函數(shù)一增一減，則其復(fù)合函數(shù)是減數(shù)，但一定注意考慮復(fù)合函數(shù)的義域第課例題8疑難題）數(shù)二的復(fù)換元法先換再利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)(注意新元范)1【例7】函數(shù)y＝()x)x＋≥0)的單調(diào)區(qū)間及它的最大值．411131解y＝[()]2))x]2，令＝()，∵x≥0，21∴＜u≤1，又∵u＝()是x∈[0，＋∞)上的減函數(shù)，函數(shù)y＝(u)2

311u∈]上為減函數(shù)，在[，1)上是增0(x42111得x≥()x≤≤1，數(shù)(x)x＋242是[1，)間[0，當(dāng)x＝0時(shí)函數(shù)y有大值為1．

學(xué)習(xí)必備

歡迎下載內(nèi)指函為減

，當(dāng)在（0時(shí)，此外層次（u)減數(shù)增（畫(huà)草圖析法）

，即x在【，正無(wú)窮大合數(shù)為點(diǎn)評(píng)1）數(shù)函數(shù)的有性（值域≥0;（2）上述證明程中，在兩次求x的范圍時(shí)，逆向用了指數(shù)函數(shù)的值域逆向利用了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是關(guān)鍵及疑難。變：

求3

4

x

x

的域

解4

y

x)2x2且故

4x

的域?yàn)?/p>

{

【結(jié)求與指數(shù)函數(shù)關(guān)的函數(shù)值域時(shí)要注意到分考慮并利用數(shù)函數(shù)本身的要，并利用好指函數(shù)的單調(diào)性例題（中檔題）分式型指數(shù)函數(shù)x【例】已知f(x)(ax

12121學(xué)習(xí)必備12121

歡迎下載(1)斷f(x)的奇偶性；求f(x)的值域；(3)明f(x)在間(－∞，＋∞)上是增數(shù)解

(1)定義域R

．f(－x)＝

aax＝－f(x)，ax∴數(shù)f(x)奇數(shù)．函＝

x

，1，∴x＝＞y1，y1反函數(shù)法，用指函數(shù)值域即f(x)的域?yàn)?－1，．(3)設(shè)意兩值

xx(∞＋∞)且x＜x

f(x)－f(x)＝

alaxxl)＝，∵＞1，x＜，alx2xlx212

x

1

＜

x

2

，(a

x

1

x

2

1)＞，f(x)＜f(x)，故R上為增函．12變式

1

設(shè)是實(shí)數(shù)，2f)(x)2

試證明對(duì)于意f(x)為增函數(shù)；證明：設(shè)

x,x

∈R,

xx1

2則

f(x)f(x)1

學(xué)習(xí)必備2))x212

歡迎下載22(2)2x1)(22由于指數(shù)函數(shù)y=在上是增函數(shù)2x1

2

,所以x

即x<0，又由

2

x

>0

2

x

1

+1>0,

2x

2

+1>0所以ff(x)<0即f(x)()因?yàn)榇私Y(jié)論與取無(wú)，所以對(duì)于取意數(shù)，為增函數(shù)fx)例題10中檔題）抽