固體理論講義三

固體理論講義三第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四自旋晶格系統(tǒng)的元激發(fā)-磁振子系統(tǒng)受到微擾后的低激發(fā)態(tài)是什么形式？設(shè)鐵磁體中某一格點(diǎn)上的自旋因擾動偏離量子化軸，那么（1）它將帶動鄰近格點(diǎn)自旋取向的改變；（2）鄰近自旋對的作用使它恢復(fù)原來的取向。形成離子自旋相對取向的振蕩：由于各格點(diǎn)上進(jìn)動自旋的方位角不同，類似波動的特性，這就是自旋波自旋波的量子稱為磁振子磁振子是描述晶格自旋相對取向振蕩的量子，是互作用系統(tǒng)的集體激發(fā)（聲子是描述晶格離子間相對位移振蕩的量子）第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四電子自旋的概念1925年，Uhlenbeck和Goudsmit提出電子自旋的概念電子具有自旋及自旋角動量純粹是量子特性；它是描述電子狀態(tài)的第四個(gè)變量。（其它變量為x,y,z)(1)每個(gè)電子具有自旋角動量S，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：(2)每個(gè)電子具有自旋磁矩，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：自旋角動量滿足以下對易關(guān)系：

第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四由此得到自旋角動量平方算符的本征值為兩個(gè)電子的自旋函數(shù)(1)兩個(gè)電子自旋相互反平行的態(tài)是單一的，我們稱這種態(tài)為獨(dú)態(tài)。(2)兩個(gè)電子自旋相互平行的能級是三重簡并的，對應(yīng)于這些能級的態(tài)稱為三重態(tài)。第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四2.海森伯模型（1）自旋-自旋相互作用系統(tǒng)的哈密頓量可表示為：這就是海森堡模型海森堡模型是建立在下列一套假定之上的設(shè)兩格點(diǎn)離子上各有一個(gè)自旋未配對的d電子，d電子間交換能上式等效地寫為：s為兩格點(diǎn)間組合自旋量子數(shù)第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四兩個(gè)d電子間交換能所對應(yīng)的算符表示為：因?yàn)槟敲磥碓从趲靵鰟莸慕换プ饔庙?xiàng)，互作用實(shí)為靜電性的，不能理解為電子磁矩之間的直接磁作用。將上式推廣到自旋大于1/2的情況，即每個(gè)離子上的自旋未配對d電子數(shù)大于1,兩格點(diǎn)間交互作用能第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四以上假設(shè)：1）同一格點(diǎn)離子上的電子間交互作用忽略不計(jì)；2）兩格點(diǎn)間所有電子具有相同的交換積分。將對所有格點(diǎn)求和即的海森堡哈密頓由于交換作用是短程作用，可以只計(jì)算近鄰格點(diǎn)間的作用第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四(2)海森堡哈密頓量的推導(dǎo)狄拉克在二十年代從理論上嚴(yán)格導(dǎo)出了海森堡模型。他考慮的是磁性絕緣體，即電子處于局域化狀態(tài)。下面介紹s=1/2的推導(dǎo)：設(shè)晶體中有N個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上的離子只有一個(gè)未配對的局域態(tài)d電子。態(tài)矢量可用瓦尼爾函數(shù)作基函數(shù)表示：根據(jù)二次量子化的標(biāo)準(zhǔn)手續(xù)，交互作用為對于絕緣體，無電子轉(zhuǎn)移，每一個(gè)格點(diǎn)上只可能有一個(gè)未配對的d電子，應(yīng)有d電子的單占據(jù)條件：這里第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四將上述關(guān)系代入交換作用項(xiàng)：在狄拉克理論的基礎(chǔ)上，安德遜（P.W.Anderson）進(jìn)一步證明了海森堡模型也適應(yīng)于S>1/2的情況第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四3.鐵磁自旋波理論

對于鐵磁體，交換積分J>0；設(shè)有N個(gè)自旋為S的磁離子排列成晶格，我們通過近似解來求鐵磁體自旋波的低激發(fā)態(tài)。（1）鐵磁體的基態(tài)哈密頓H中所含矢量算符的三個(gè)分量有對易關(guān)系在討論自旋互作用系統(tǒng)特性時(shí)，我們把作為獨(dú)立變量設(shè)z軸為量子化軸，則某一格點(diǎn)上的自旋態(tài)可用離子自旋S與算符的本征值m標(biāo)記為|s,m>第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四那么，鐵磁系統(tǒng)的哈密頓可寫為：則可嚴(yán)格證明鐵磁體的基態(tài)為（各個(gè)格點(diǎn)自旋取向一致）：那么有以下關(guān)系和基態(tài)本征值：（2）霍斯坦因-普里馬可夫變換現(xiàn)在討論自旋系統(tǒng)的低激發(fā)態(tài)：一個(gè)格點(diǎn)的自旋偏轉(zhuǎn)由于相互作用會傳播形成自旋波第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四為了數(shù)學(xué)上（與聲子）的相似性使H對角化方便，我們引入量：則有：是n

的產(chǎn)生和消滅算符作霍斯坦因-普里馬可夫變換(HP變換，不改變對易關(guān)系)這里滿足玻色對易關(guān)系：第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四得到海森堡哈密頓的二次量子化表達(dá)式由于對低激發(fā)態(tài)，每個(gè)自旋的平均偏離很小，這時(shí)可得將根號展開的近似哈密頓：這里略去了算符的四次項(xiàng)（3）低激發(fā)態(tài)—自旋波上式第一項(xiàng)是基態(tài)能；第二項(xiàng)代表格點(diǎn)l上的自旋偏轉(zhuǎn)能；最后兩項(xiàng)為不同格點(diǎn)間的耦合。由于系統(tǒng)具有平移對稱性；進(jìn)一步將產(chǎn)生和消滅算符作傅里葉展開這里已不再是作用于某一格點(diǎn)上的算符，而是作用于所有格點(diǎn)的自旋波算符，代表自旋系統(tǒng)的集體坐標(biāo)。第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四滿足玻色對易關(guān)系：利用，求的對角化的哈密頓為這里定義了結(jié)構(gòu)因子：第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四若計(jì)入算符的高階項(xiàng)，可得

自旋波模式只是線性理論的結(jié)果，而磁振子被稱為系統(tǒng)的線性元激發(fā)如果考慮自旋波之間的相互作用，算符al的非線性方程，一維情況下有孤子解，因此，孤子代表系統(tǒng)的非線性元激發(fā)考慮自旋波之間的相互作用后對k的修正；溫度升高會發(fā)生自旋波頻率的軟化現(xiàn)象。第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四4.鐵磁體的低溫磁化強(qiáng)度由于自旋算符滿足玻色對易關(guān)系，因此溫度T時(shí)所激發(fā)的平均量子數(shù)滿足玻色分布：

對立方晶系，低溫時(shí)所有自旋波模的總元激發(fā)個(gè)數(shù)：設(shè)溫度足夠低，積分可近似在全k空間進(jìn)行第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四取體積V=1，鐵磁體的低溫磁化強(qiáng)度為是波爾磁子是朗德因子其中代表零溫飽和磁化。由于自旋波導(dǎo)致的磁化強(qiáng)度的減小為：這個(gè)結(jié)果是布洛赫1930年求得的，稱為布洛赫T3/2定律；其形式已被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。平均場理論在低溫下的失效指數(shù)衰減第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四平均場理論只考慮了自旋運(yùn)動的單體效應(yīng)，它沒有考慮自旋間的動力學(xué)關(guān)聯(lián)；平均場理論不能反映低溫區(qū)自旋系統(tǒng)的集體激發(fā)特征。

鐵磁體中磁振子的低溫比熱容自旋波的經(jīng)典圖像由于對角化的哈密頓量，那么對低激發(fā)態(tài)將實(shí)數(shù)取代算符任意格點(diǎn)的自旋角動量在Oxy平面內(nèi)作圓周運(yùn)動，相鄰格點(diǎn)之間有確定的相位差。第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四5.反鐵磁自旋波理論

當(dāng)海森伯哈密頓量中J<0時(shí)，近鄰格點(diǎn)上的自旋趨于反平行這時(shí)可以把晶格分為兩個(gè)子格，它們的自旋取向相反。（例如在MnF2、FeF2、CoF2中)（1）雙格子模型每個(gè)格子中自旋數(shù)為N，總的磁離子數(shù)為2N，并取體積為V=1.H用a、b兩子格的自旋符表示：分別為兩個(gè)子格中格點(diǎn)的自旋算符。假定子格a的量子化軸沿（+z）方向，b子格沿（-z）方向：*出發(fā)態(tài)|Origin>定義為所有a子格自旋沿（+z）方向，b子格沿（-z）方向第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四引入霍斯坦因-普里馬可夫變換都滿足玻色對易關(guān)系將上式代入雙格子系統(tǒng)哈密頓，并略去a、b的四次項(xiàng)可得：*仿照鐵磁情況作傅里葉變換同樣，滿足玻色對易關(guān)系用雙子格自旋波算符表示的哈密頓量為非對角化項(xiàng)結(jié)構(gòu)因子第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四（2）玻戈留玻夫正則變換（正則變化要求保證所有的對易關(guān)系在形式上不改變）根據(jù)子格的運(yùn)動方程引入玻戈留玻夫變換這里設(shè)為實(shí)函數(shù)。由滿足玻色對易關(guān)系可得（1）逆變換代入雙子格自旋波哈密頓：為使H對角化（2）第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四聯(lián)立方程（1）和（2）可得（玻戈留玻夫變換已成功用于超流、聲子-光子、聲子-自旋波等一系列耦合問題）最后得對角化的雙子格自旋波哈密頓：對于每個(gè)k存在兩支簡并的反鐵磁自旋波，分別由代表其準(zhǔn)粒子（磁振子）。在長波限(ka<<1)立方晶系的色散關(guān)系為：的色散關(guān)系是k的線性函數(shù)，與聲學(xué)模一樣，不難求出反鐵磁體中磁振子的比熱正比于T3,和德拜聲子的比熱相似。第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四（3）磁振子的零點(diǎn)運(yùn)動反鐵磁體的基態(tài)應(yīng)為無準(zhǔn)離子激發(fā)時(shí)H的本征值：說明基態(tài)并不完全像雙子格模型所建議的磁有序，在基態(tài)每一子格中自旋不是完全平行的，而是存在著取向的不一致性反鐵磁體與鐵磁體的不同之處為存在著磁振子的零點(diǎn)能鐵磁體反鐵磁體第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四子格的總自旋飽和磁化強(qiáng)度：第一項(xiàng)代表子格a中所有自旋取向完全一致時(shí)的貢獻(xiàn)第二項(xiàng)為自旋取向的平均偏離量，稱為子格自旋的零點(diǎn)偏離。至今三維反鐵磁海森伯模型的嚴(yán)格基態(tài)尚未找到。（4）外場影響當(dāng)考慮反鐵磁體中的晶場（BA）和存在外磁場B時(shí)，兩支簡并的自旋波將發(fā)生分裂：同時(shí)存在的情況，這時(shí)|Origin>不再穩(wěn)定，發(fā)生自旋偏離轉(zhuǎn)變。第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四6.鐵氧體中的自旋波

鐵氧體是鐵淦氧磁體的簡稱最簡單的鐵氧體也可用雙子格模型描述：對上式作HP變換和點(diǎn)陣傅里葉變換后，求得用子格自旋波算符描述的低激發(fā)態(tài)哈密頓：與反鐵磁體類似，作玻戈留玻夫正則變換它可使H表示下列對角化形式可利用與上節(jié)類似的方法求A和本征頻率。這里介紹玻戈留玻夫變換的運(yùn)動方程對角化方法。第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四這里介紹玻戈留玻夫變換的運(yùn)動方程對角化方法。若將哈密頓對角化必有比較以上兩式，可得出運(yùn)動方程的對角化條件：將玻戈留玻夫變換式代入用子格自旋波算符描述的低激發(fā)態(tài)哈密頓H，再將H代入以上方程；可得時(shí)的自旋波頻率：對于立方晶系和長波近似色散關(guān)系更類似于鐵磁體，而不是反鐵磁體*多數(shù)的鐵磁性絕緣體是鐵氧體.第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期四容易求出鐵氧體的低溫磁化強(qiáng)度、比熱