人教A版高二年級選修2-1 2．3．2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 教案

人教A版高二年級選修2-1第二章第三節(jié)雙曲線教案2．3．2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)知識與技能目標了解平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)條件，求出表示曲線的方程；（2）通過方程，研究曲線的性質(zhì)．理解雙曲線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點、漸近線的概念；掌握雙曲線的標準方程、會用雙曲線的定義解決實際問題；通過例題和探究了解雙曲線的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)進一步見識圓錐曲線的統(tǒng)一定義．過程與方法目標（1）復(fù)習(xí)與引入過程引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)得到橢圓的簡單的幾何性質(zhì)的方法，在本節(jié)課中不僅要注意通過對雙曲線的標準方程的討論，研究雙曲線的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對這種研究方法的進一步地培養(yǎng)．①由雙曲線的標準方程和非負實數(shù)的概念能得到雙曲線的范圍；②由方程的性質(zhì)得到雙曲線的對稱性；③由圓錐曲線頂點的統(tǒng)一定義，容易得出雙曲線的頂點的坐標及實軸、虛軸的概念；④應(yīng)用信息技術(shù)的《幾何畫板》探究雙曲線的漸近線問題；⑤類比橢圓通過的思考問題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗§2．2．2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．（2）新課講授過程（i）通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，對雙曲線的標準方程的討論來研究雙曲線的幾何性質(zhì)．提問：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？通過對雙曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點、漸近線及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)．（ii）雙曲線的簡單幾何性質(zhì)①范圍：由雙曲線的標準方程得，，進一步得：，或．這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；②對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究雙曲線的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心；③頂點：圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此雙曲線有兩個頂點，由于雙曲線的對稱軸有實虛之分，焦點所在的對稱軸叫做實軸，焦點不在的對稱軸叫做虛軸；④漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；⑤離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率（）．（iii）例題講解與引申、擴展例3求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點的坐標、離心率、漸近線方程．分析：由雙曲線的方程化為標準方程，容易求出．引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實半軸長、虛半軸長、離心率、焦點和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點在軸上的漸近線是．?dāng)U展：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方及離心率．解法剖析：雙曲線的漸近線方程為．①焦點在軸上時，設(shè)所求的雙曲線為，∵點在雙曲線上，∴，無解；②焦點在軸上時，設(shè)所求的雙曲線為，∵點在雙曲線上，∴，因此，所求雙曲線的標準方程為，離心率．這個要進行分類討論，但只有一種情形有解，事實上，可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為．例4雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為．試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，求出雙曲線的方程（各長度量精確到）．解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼担O(shè)雙曲線的標準方程為，算出的值；此題應(yīng)注意兩點：①注意建立直角坐標系的兩個原則；②關(guān)于的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定．引申：如圖所示，在處堆放著剛購買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場中去鋪墊，已知，，，．能否在足球場上畫一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側(cè)的區(qū)域應(yīng)該選擇怎樣的線路？說明理由．解題剖析：設(shè)為“等距離”線上任意一點，則，即（定值），∴“等距離”線是以、為焦點的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為．理由略．例5如圖，設(shè)與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點的軌跡方程．分析：若設(shè)點，則，到直線：的距離，則容易得點的軌跡方程．引申：用《幾何畫板》探究點的軌跡：雙曲線若點與定點的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點的軌跡方程是雙曲線．其中定點是焦點，定直線：相應(yīng)于的準線；另一焦點，相應(yīng)于的準線：．情感、態(tài)度與價值觀目標在合作、互動的教學(xué)氛圍中，通過師生之間、學(xué)生之間的交流、合作、互動實現(xiàn)共同探究，教學(xué)相長的教學(xué)活動情境，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和科學(xué)世界觀，激勵學(xué)生創(chuàng)新．必須讓學(xué)生認同和掌握：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，能由雙曲線的標準方程能直接得到雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率；必須讓學(xué)生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，①充分利用圖形對稱性，②注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學(xué)生認同與熟悉：取近似值的兩個原則：①實際問題可以近似計算，也可以不近似計算，②要求近似計算的一定要按要求進行計算，并按精確度要求進行，沒有作說明的按給定的有關(guān)量的有效數(shù)字處理；讓學(xué)生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點的軌跡問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和掌握利用先進教學(xué)輔助手段的技能．◆能力目標分析與解決問題的能力：通過學(xué)生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力．實踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力．創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑．練習(xí)：第61頁1、2、3、4、5作業(yè)：習(xí)題組3、4、6補充：3.課題:雙曲線第二定義教學(xué)目標：

1．知識目標：掌握雙曲線第二定義與準線的概念，并會簡單的應(yīng)用。

11112．能力目標：培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力及探索和創(chuàng)新意識。

教學(xué)重點：雙曲線的第二定義

教學(xué)難點：雙曲線的第二定義及應(yīng)用.教學(xué)方法：類比法（類比橢圓的第二定義）

教學(xué)過程：111111111111111111111111111111

一、復(fù)習(xí)引入：（1）、雙曲線的定義：平面上到兩定點距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線.定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。(2)、雙曲線的標準方程：焦點在x軸：焦點在y軸：其中對于焦點在x軸上的雙曲線的有關(guān)性質(zhì)：（1）、焦點：F1(-c,0),F2(c,0)；(2)、漸近線:；（3）、離心率：>13、今節(jié)課我們來學(xué)習(xí)雙曲線的另一定義。（板書課題：雙曲線第二定義）二、新課教學(xué)：F2F1HHxoy1、引例(課本P64例6)：點M(x,y)與定點F(5,0)距離和它到定直線F2F1HHxoy分析：利用求軌跡方程的方法。解:設(shè)是點M到直線的距離,根據(jù)題意,所求軌跡就是集合P={M|},即所以，點M的軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線。由例6可知:定點F(5,0)為該雙曲線的焦點,定直線為,常數(shù)為離心率>1.[提出問題]：（從特殊到一般）將上題改為：點M(x,y)與定點F(c,0)距離和它到定直線的距離之比是常數(shù),求點M的軌跡方程。解：設(shè)是點M到直線的距離,根據(jù)題意,所求軌跡就是集合P={M|},即化簡得兩邊同時除以得2、小結(jié)：雙曲線第二定義:當(dāng)動點M(x,y)到一定點F(c,0)的距離和它到一定直線的距離之比是常數(shù)時,這個動點M(x,y)的軌跡是雙曲線。其中定點F(c,0)是雙曲線的一個焦點，定直線叫雙曲線的一條準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。雙曲線上任一點到焦點的線段稱為焦半徑。例如PF是雙曲線的焦半徑。（P65思考）與橢圓的第二定義比較,你有什么發(fā)現(xiàn)？（讓學(xué)生討論）答：只是常數(shù)的取值范圍不同，橢圓的,而雙曲線的.三、課堂練習(xí)求的準線方程、兩準線間的距離。解:由可知,焦點在x軸上,且所以準線方程為:；故兩準線的距離為.2、(2022年廣東高考第8題選擇題)已知雙曲線3x2－y2=9，則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于()。(A)EQ\R(2) (B)EQ\F(2\R(3),3) (C)2 (D)4解：3、如果雙曲線上的一點P到左焦點的距離為9，則P到右準線的距離是＿＿＿＿解：P到左準線的距離為m，由雙曲線方程可知a=5，b=12，c=13，準線方程為根據(jù)雙曲線第二定義得,。4、雙曲線兩準線把兩焦點連線段三等分，求e.解：由題意可知，即所以5.雙曲線的＞，＞漸近線與一條準線圍成的三角形的面積是.解:由題意可知,一條準線方程為:,漸近線方程為因為當(dāng)時所以所求的三角形面積為:四、課后練習(xí)：1．已知雙曲線=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于A，△OAF面積為（O為原點），則兩條漸近線夾角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°解：由題意可得，△OAF的底邊|OC|=c,高h=S△OAF=因此可知該雙曲線為等軸雙曲線。所以兩條漸近線夾角為90°。APPAPPHHF2xF1oy。五、小結(jié)：

(1)知識內(nèi)容：雙曲線的第二定義及應(yīng)用。(2)數(shù)學(xué)方法:類比法，(3)數(shù)學(xué)思想:從特殊到一般

六、作業(yè)：

1、雙曲線的一條準線是y=1,則的值。

2、求漸近線方程是4x,準線方程是5y的雙曲線方程．

3、已知雙曲線