名師解析高考典型例題

北京巨人學(xué)校高中數(shù)學(xué)教研室付正軍高考中的典型例題：例1、已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。分析：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線，然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法。解：設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且、則，，兩式相減，得故直線由消去，得 這說明直線與雙曲線不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。點(diǎn)評：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。（1）若中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)平分的弦一般存在；（2）若中點(diǎn)在圓錐曲線外，則被點(diǎn)平分的弦可能不存在。例2：正三棱柱的底面三角形的邊長是，D、E分別是BB1、CC1上的點(diǎn)，且EC=BC=2BD，求平面ADE與平面ABC所成銳二面角的大小.分析：求二面角是高考中重要的考點(diǎn)，如果題設(shè)中沒有交線的條件，往往可以利用空間向量直接來求。解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得.顯然是平面ABC的一個法向量.設(shè)是平面ADE的一個法向量，，.由得解之得，，,∴平面ADE與平面ABC所成銳二面角為45O.點(diǎn)評：利用空間向量求解時，必須有建空間坐標(biāo)系的條件，同時應(yīng)準(zhǔn)確記憶和理解空間向量求解角度和距離的計(jì)算公式，按照公式來找條件。在立體幾何中引入空間向量后立體幾何在高考中的難度大大降低。例3、設(shè)a為實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。（Ⅰ）設(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）試求滿足的所有實(shí)數(shù)a分析：本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。解：（Ⅰ）令要使有t意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,∴t≥0①t的取值范圍是由①得∴m(t)=a()+t=（Ⅱ）由題意知g(a)即為函數(shù)的最大值。注意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論。（1）當(dāng)a>0時，函數(shù)y=m(t),的圖象是開口向上的拋物線的一段，由<0知m(t)在上單調(diào)遞增，∴g(a)=m(2)=a+2(2)當(dāng)a=0時，m(t)=t,,∴g(a)=2.(3)當(dāng)a<0時,函數(shù)y=m(t),的圖象是開口向下的拋物線的一段，若，即則若，即則若，即則綜上有(III)情形1：當(dāng)時，此時，由，與a<-2矛盾。情形2：當(dāng)時，此時，解得，與矛盾。情形3：當(dāng)時，此時所以情形4：當(dāng)時，，此時，矛盾。情形5：當(dāng)時，，此時g(a)=a+2,由解得矛盾。情形6：當(dāng)a>0時，，此時g(a)=a+2,由，由a>0得a=1.綜上知，滿足的所有實(shí)數(shù)a為或a=1點(diǎn)評：這是一道非常好的高考試題，含字母系數(shù)的一元二次函數(shù)的單調(diào)性和最值是高考中很常見的題型，考生應(yīng)分類討論，做到分類準(zhǔn)確，不重不漏。例4、、、、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．分析：四邊形的兩條對角線相互垂直，則面積等于兩條對角線乘積的一半，于是此題轉(zhuǎn)化成求弦長MN，PQ的問題。解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+2－1=0QPNMFO設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(QPNMFO可得(1)當(dāng)≠0時，MN的斜率為－，同上可推得故四邊形面積令=得∵=≥2當(dāng)=±1時=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)∴②當(dāng)=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=?！郤=|PQ||MN|=2綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。點(diǎn)評：（1）