固體物理第二章

固體物理第二章第1頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四原子無(wú)時(shí)無(wú)刻不在其平衡位置作微小振動(dòng)。原子間存在相互作用，它們的振動(dòng)相互關(guān)聯(lián)，在晶體中形成了格波。在簡(jiǎn)諧近似下，格波是由簡(jiǎn)正振動(dòng)模式所構(gòu)成，各簡(jiǎn)正振動(dòng)是獨(dú)立的。簡(jiǎn)正振動(dòng)可用簡(jiǎn)諧振子來(lái)描述，諧振子的能量量子稱(chēng)為聲子，晶格振動(dòng)可用聲子系統(tǒng)來(lái)概括。晶格振動(dòng)決定了晶體的宏觀熱學(xué)性質(zhì)。晶格振動(dòng)理論也是研究晶體的電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)等的重要理論基礎(chǔ)。I、簡(jiǎn)諧晶體的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)II、簡(jiǎn)諧晶體的量子理論III、聲子比熱容IV、非簡(jiǎn)諧效應(yīng)V、晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測(cè)定VI、長(zhǎng)波近似（離子晶體的紅外光學(xué)性質(zhì)）第2頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二章（I）簡(jiǎn)諧晶體的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)2.2彈性波2.3簡(jiǎn)諧近似2.4一維單原子鏈——聲學(xué)支2.1歷史簡(jiǎn)述2.5一維雙原子鏈——光學(xué)支2.6三維晶格振動(dòng)第3頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.1歷史簡(jiǎn)述晶格振動(dòng)的研究始于固體熱容研究。19世紀(jì)初人們就通過(guò)Dulong-Petit定律，認(rèn)識(shí)到熱容量是原子熱運(yùn)動(dòng)在宏觀上的最直接的表現(xiàn)。1907年Einstein利用Plank量子假說(shuō)解釋了固體熱容隨溫度降低而下降的現(xiàn)象，推動(dòng)了固體原子振動(dòng)的研究。1912年玻恩（Born，1954年Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者）和馮卡門(mén)（Von-Karman）發(fā)表了論晶體點(diǎn)陣振動(dòng)的論文，首次使用了周期性邊界條件。但他們的研究當(dāng)時(shí)被忽視了，因?yàn)橥臧l(fā)表的更為簡(jiǎn)單的Debye熱容理論已經(jīng)可以很好地說(shuō)明當(dāng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果了。但后來(lái)更為精確的測(cè)量卻表明了Debye模型的不足。1935年Blakman重新利用Born和Von-Karman近似討論晶格振動(dòng)，發(fā)展成現(xiàn)在的晶格動(dòng)力學(xué)理論。1954年黃昆和玻恩共同出版了《晶格動(dòng)力學(xué)》一書(shū)，成為該領(lǐng)域公認(rèn)的權(quán)威著作。Born第4頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四我國(guó)科學(xué)家黃昆先生在晶格振動(dòng)理論上做出了重要貢獻(xiàn)1945-1947：在英國(guó)布列斯托（Bristol）大學(xué)物理系學(xué)習(xí)，獲哲學(xué)博士學(xué)位。發(fā)表《稀固溶體的X光漫反射》論文，理論上預(yù)言“黃散射”。1948-1951：任英國(guó)利物浦大學(xué)理論物理系博士后研究員，這期間建立了“黃方程”，提出了聲子極化激元的概念，并與李?lèi)?ài)扶（A.Rhys）建立了多聲子躍遷理論。1947-1952：與玻恩教授合著《晶格動(dòng)力學(xué)》一書(shū)（英國(guó)牛津出版社（1954），2006年中文版）。黃先生對(duì)晶格動(dòng)力學(xué)和聲子物理學(xué)的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)。他的名字與多聲子躍遷理論、X光漫反射理論、晶格振動(dòng)長(zhǎng)波唯象方程、二維體系光學(xué)聲子模聯(lián)系在一起，他還是“極化激元”概念的最早闡述者。第5頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.2彈性波固體是由分立的原子構(gòu)成的，這種不連續(xù)性在晶格振動(dòng)的討論中必須要考慮。但是當(dāng)波長(zhǎng)非常長(zhǎng)時(shí)，可以不考慮原子的性質(zhì)而把固體當(dāng)作連續(xù)介質(zhì)。這種振動(dòng)的傳播稱(chēng)為彈性波。應(yīng)變（e）：每單位長(zhǎng)度的長(zhǎng)度改變研究彈性波在棒狀樣品中的傳播，假設(shè)彈性波為縱波。定義如下物理量：應(yīng)力（S）：每單位面積上所受的力，它是x的函數(shù)，由胡克定律，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即：楊氏模量（Y）：上式中的彈性常數(shù)棒中的彈性波u(x)：點(diǎn)x處的彈性位移：棒的質(zhì)量密度A：棒的橫截面積(1)(2)第6頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四波動(dòng)方程由（2）式得到把（4）式代入（3）后簡(jiǎn)化得到，方程的解其中，q=2/稱(chēng)為波數(shù)；為波的頻率；A為波的振幅(3)(4)(5)(6)第7頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四色散關(guān)系（DispersionRelation）將（6）式代入（5）式得到彈性波的色散關(guān)系(7)（7）式稱(chēng)為色散關(guān)系色散關(guān)系描述波在傳播過(guò)程中波長(zhǎng)、頻率、速度等的關(guān)系（Dispersionrelationsdescribetheinterrelationsofwavepropertieslikewavelength,frequency,velocitieset.Al）利用色散關(guān)系計(jì)算彈性模量：固體中的典型值s=5105cm/s，=5g/cm3，Y=1.251012g/cms2第8頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四按照波動(dòng)理論，波速等于/q，故s等于波速；是用描述介質(zhì)性質(zhì)的量來(lái)表示的波速；在真空中傳播的光波具有色散關(guān)系=cq，c為光速；液體和氣體中的聲波也滿(mǎn)足類(lèi)似的關(guān)系；真空中的電磁波真空中的電子水波駐波Dispersionmaybecausedeitherbygeometricboundaryconditions(waveguides,shallowwater)orbyinteractionofthewaveswiththetransmittingmedium.Elementaryparticles,consideredasmatterwaves,haveanontrivialdispersionrelationevenintheabsenceofgeometricconstraintsandothermedia.色散關(guān)系可能是由幾何邊界條件引起的，也可能是波與傳播介質(zhì)相互作用引起的。即使在沒(méi)有邊界條件限制或者傳播介質(zhì)時(shí)，基本粒子（物質(zhì)波）的色散關(guān)系也不一定是線性的第9頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四以一維單原子鏈為例。把勢(shì)能U(r)在平衡位置r=a作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：2.3簡(jiǎn)諧近似平衡偏離平衡平衡時(shí)：原子間距為a，兩個(gè)最近鄰原子間的勢(shì)能為U(a)偏離平衡時(shí)：晶格振動(dòng)在t時(shí)刻，第n個(gè)原子對(duì)平衡位置的偏離為un。原子偏離平衡位置時(shí)，相鄰兩原子間距為r=a+，相對(duì)位移=un-un-1，勢(shì)能變?yōu)閁(r)=U(a+)平衡位置時(shí)的相互作用能，為常數(shù)。在討論動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)可略去位移線性項(xiàng)，由于原子處在平衡位置對(duì)應(yīng)于相互作用能的極值而消失第10頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四簡(jiǎn)諧近似：在晶體原子間相互作用勢(shì)能的展開(kāi)式中，忽略三次方和三次方以上項(xiàng)的近似(8)其中，稱(chēng)為力常數(shù)相鄰原子之間的相互作用力為(9)這是一個(gè)線性回復(fù)力。非簡(jiǎn)諧項(xiàng)：在晶體原子間相互作用勢(shì)能的展開(kāi)式中三次方和三次方以上的項(xiàng)（主要是位移的3次項(xiàng)、4次項(xiàng)），與非簡(jiǎn)諧項(xiàng)有關(guān)的物理效應(yīng)稱(chēng)為非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，對(duì)于熱傳導(dǎo)、熱膨脹等物理現(xiàn)象的了解，非簡(jiǎn)諧項(xiàng)至關(guān)重要。第11頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在完全簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，原子間平均的作用力正好抵消，非諧作用部分使勢(shì)能對(duì)r=a并不完全對(duì)稱(chēng)，在<0處，比簡(jiǎn)諧近似更陡斜，表示作用力變強(qiáng)了，在>0處，比簡(jiǎn)諧近似更平緩，表示吸引力減弱了。因此，非諧作用，使得原子在振動(dòng)時(shí)引起一定的相互斥力，從而引起熱膨脹等非簡(jiǎn)諧效應(yīng)。0第12頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.4一維單原子鏈（簡(jiǎn)單格子）—聲學(xué)支對(duì)于晶格振動(dòng)的基本假設(shè)1、假定晶體中的離子實(shí)可用布喇菲各自的格矢Rn表示，但將Rn理解為離子實(shí)平均的平衡位置。原因是，盡管離子實(shí)不再靜止，但對(duì)晶體結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)觀察表明，布喇菲格子依然存在。2、離子實(shí)圍繞其平衡位置做小的振動(dòng)，其瞬時(shí)位置對(duì)平衡位置的偏離小于離子間距。第13頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)晶格處于平衡時(shí)，每個(gè)原子嚴(yán)格處在格點(diǎn)位置上。晶格開(kāi)始振動(dòng)時(shí)，每個(gè)原子都偏離它們的平衡位置一個(gè)小量。由于原子之間的相互作用，各個(gè)原子同時(shí)運(yùn)動(dòng)，即要考慮整個(gè)晶格的運(yùn)動(dòng)。由N個(gè)原子構(gòu)成的、原子質(zhì)量為m、原子平衡間距為a的一維單原子鏈，原子之間的力通常是短程的，只需考慮最近鄰原子之間的相互作用（最近鄰近似）。在最近鄰近似下，第n個(gè)原子的簡(jiǎn)諧近似下的牛頓運(yùn)動(dòng)方程為一、簡(jiǎn)諧近似和最近鄰近似下的運(yùn)動(dòng)方程(10)第14頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四fn,n+1是第n個(gè)原子受到第n+1個(gè)原子的作用力：(11)fn,n-1是第n個(gè)原子受到第n-1個(gè)原子的作用力：(12)把（11）式和（12）式代入（10）式，得到，(13)第15頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、運(yùn)動(dòng)方程的解第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)是和第n+1個(gè)、第n-1個(gè)原子相耦合的，類(lèi)似地，第n+1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)也與它的兩個(gè)相鄰原子相關(guān)聯(lián)，以此類(lèi)推。從數(shù)學(xué)上看，對(duì)于晶格中的每個(gè)原子必須寫(xiě)出類(lèi)似的運(yùn)動(dòng)方程，最終對(duì)N個(gè)耦合的微分方程聯(lián)立求解，同時(shí)必須考慮到加載晶格兩端原子上的邊界條件。解的形式：解代表一行波，其中所有的原子均以相同的頻率和振幅A振動(dòng)。原子位相是連鎖的，以致從一個(gè)原子到下一個(gè)原子位相規(guī)則地增加qa（qna是第n個(gè)原子在t=0時(shí)刻的振動(dòng)位相）。解存在的前提條件是晶格平移對(duì)稱(chēng)性，即在相同的間隔內(nèi)存在相等的質(zhì)量。反之方程的解可望是強(qiáng)的衰減波。系統(tǒng)的所有基元以相同的頻率振動(dòng)，稱(chēng)之為簡(jiǎn)正模。晶格振動(dòng)的情形，簡(jiǎn)正模是行波。(14)解的特點(diǎn)從形式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類(lèi)似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中的X是可以連續(xù)取值的，而格波中只能取na格點(diǎn)位置這樣的孤立值。第16頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若，l為整數(shù)，解的物理意義，兩原子有相同的位移；若，，兩原子有相反的位移。格波：在任一時(shí)刻，原子的位移有一定的周期分布，也即原子的位移構(gòu)成了波，這種波稱(chēng)為格波；或晶體中所有原子共同參與的振動(dòng)，以波的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱(chēng)為格波。從上面的關(guān)系式看出，q實(shí)際上是格波的波矢。（習(xí)慣上將晶格振動(dòng)的波矢取成q，以和電子的波矢k相區(qū)別，兩者均為同一倒格子空間中的矢量）原子振動(dòng)以波的方式在晶體中傳播。序號(hào)為n和n的原子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程分別為：nn+1n+2n-1n-2第17頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、色散關(guān)系將方程的解（14）代入運(yùn)動(dòng)方程（13），得到色散關(guān)系：色散關(guān)系可看成是q空間中周期等于2/a的正弦曲線；最大頻率等于m：(15)(16)晶體的彈性力常數(shù)=15N/m原子質(zhì)量m=610-27kgm=1014rad/s（m=1013Hz（10THz）THz波段在微波與紅外光之間。二十世紀(jì)九十年代初，超快激光技術(shù)的發(fā)展，THz波段的輻射產(chǎn)生和探測(cè)技術(shù)得到很快發(fā)展。不同材料的晶格振動(dòng)頻譜具有各自的特征，可以作為這個(gè)材料的“指紋”。THz譜技術(shù)作為一種有效的無(wú)損探測(cè)方法，通過(guò)晶格振動(dòng)頻譜可以鑒別和探測(cè)材料。第18頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四且有當(dāng)q0時(shí)，即對(duì)于長(zhǎng)波極限，sin(qa/2)qa/2，此時(shí)波速為常數(shù)，即某一原子周?chē)舾稍佣家韵嗤恼穹臀幌嘧髡駝?dòng)。當(dāng)q增加時(shí)，色散曲線開(kāi)始偏離直線向下彎曲，最后在q=/a處達(dá)到最大，最大頻率為m此時(shí)即相鄰原子以相同的振幅作相對(duì)運(yùn)動(dòng)。第19頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定性討論當(dāng)波長(zhǎng)減小、q增加時(shí)，晶格的不連續(xù)性變得更為重要。原子開(kāi)始對(duì)波產(chǎn)生散射，散射的結(jié)果是減小了波速而阻礙波的傳播。因?yàn)樵诓ㄩL(zhǎng)減小時(shí)，散射強(qiáng)度增加。因此q越大，散射變得越強(qiáng)，波速減小得越大，這對(duì)于色散曲線向下彎曲。當(dāng)q=/a時(shí)，=2a，近鄰原子的位相相反，恢復(fù)力和頻率取最大值。對(duì)應(yīng)于q0的長(zhǎng)波極限情形：由于原子間隔比波長(zhǎng)小得多，>>a，以致可以把介質(zhì)作為一個(gè)連續(xù)體來(lái)處理，線性關(guān)系成立。即對(duì)于小的q，原子實(shí)際上彼此同位相運(yùn)動(dòng)，由于近鄰的作用對(duì)原子產(chǎn)生的恢復(fù)力很小，也就小。當(dāng)q=0，=時(shí)，整個(gè)晶格象一個(gè)剛體一樣運(yùn)動(dòng)，因而恢復(fù)力為零，這就解釋了為什么在q=0處=0。第20頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、位相和群速度對(duì)于任意的色散關(guān)系，相速度表示為：p是精確指定頻率和波矢q的一個(gè)純波動(dòng)的傳播速度。對(duì)于格波：(17)格波的傳播速度是波長(zhǎng)的函數(shù)，波長(zhǎng)不同的格波傳播速度不同。這與可見(jiàn)光通過(guò)三角棱鏡的情況相似。不同波長(zhǎng)的光，在棱鏡中傳播的速度不同，折射角就不同，從而導(dǎo)致色散。所以，這就是為什么通常稱(chēng)與q的關(guān)系為色散關(guān)系的原因。色散關(guān)系也稱(chēng)振動(dòng)譜或振動(dòng)頻譜。第21頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四群速度表示為：q描述的是平均頻率為和平均波矢為q的波脈沖的速度。實(shí)際上因?yàn)槟芰亢蛣?dòng)量是通過(guò)脈沖而不是用純波來(lái)傳送的，物理上群速度更有意義。對(duì)于格波：(18)在長(zhǎng)波極限的情形，=sq，p=q=聲速，即在這種極限，點(diǎn)陣的行為象一個(gè)連續(xù)體，沒(méi)有色散發(fā)生。當(dāng)q增加時(shí)，q，即色散曲線的斜率，穩(wěn)定地減小，且在q=/a點(diǎn)減小到q=0。第22頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)q=/a時(shí)，=2a，因而被近鄰原子散射的子波位相相差。但是當(dāng)被B反射的子波到達(dá)被A反射的子波時(shí)，它們的位相相同，這點(diǎn)也適用于其它的子波。所有散射的子波相長(zhǎng)地干涉，結(jié)果反射取極大。入射波AB反射子波格波的Bragg反射這種情況相對(duì)于X射線的布拉格反射：上述得到的臨界值q=/a滿(mǎn)足布拉格條件2dsin=n，于是有=(1/2)，d=a，q=2/，n=1，從而=2a。對(duì)于X射線而言，n可以具有除1以外的其它整數(shù)值，因?yàn)樵趦蓚€(gè)原子之間的空間內(nèi)電磁波振幅是有意義的，而彈性波的位移振幅只是在原子本身處才有意義。在q=/a處，反射波如此之強(qiáng)，以致當(dāng)它和入射波合成時(shí)形成駐波，導(dǎo)致群速度q=0，這個(gè)波既不向右運(yùn)動(dòng)也不向左運(yùn)動(dòng)。Bragg條件的再現(xiàn)是晶格色散關(guān)系曲線的重要特征，是入射場(chǎng)的波動(dòng)性和晶格周期性的結(jié)果，與場(chǎng)的特殊性質(zhì)，電磁的還是聲學(xué)的，并無(wú)關(guān)系。駐波形成與Bragg反射第23頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（19）式、（20）式稱(chēng)為格波的平移對(duì)稱(chēng)性2、原子鏈的分立性與第一布里淵區(qū)上述兩式表明波矢q=q+2/a狀態(tài)與波矢q狀態(tài)描述的是同一個(gè)晶格振動(dòng)狀態(tài)。例如，q=5/2a與q=/2a振動(dòng)狀態(tài)中，晶格原子的位移un是完全一樣的，即相差一個(gè)倒格矢的兩個(gè)狀態(tài)中，所有的原子振動(dòng)完全相同。格波解（14）是波矢q的周期函數(shù)(19)色散關(guān)系（15）也是波矢q的周期函數(shù)(20)第24頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這是原子鏈的分立性的結(jié)果。由于原子鏈中的原子是分立的，同一個(gè)振動(dòng)狀態(tài){un}可以用不同的波矢或波長(zhǎng)來(lái)描述。布里淵區(qū)的大小與原子間距成反比，若原子間距減小，布里淵區(qū)隨之增大。對(duì)于連續(xù)的弦的振動(dòng)，一個(gè)振動(dòng)狀態(tài)只能用唯一確定的波矢或波長(zhǎng)來(lái)描述，不可能用不同的波矢或波長(zhǎng)來(lái)描述，波矢空間的任一個(gè)波矢都與一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)。由于格波解和色散關(guān)系對(duì)于q的周期性，我們可以限制波矢q在一個(gè)周期的獨(dú)立取值范圍內(nèi)。通常選取以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)心得一個(gè)周期：這就是一維單原子鏈的布里淵區(qū)。晶格振動(dòng)的所有可能的狀態(tài)都包含在該布里淵區(qū)中，這個(gè)區(qū)域之外的波矢q不提供任何新的振動(dòng)狀態(tài)。(21)第25頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四反射對(duì)稱(chēng)性：q>0，模式q代表晶格中右行波，模式-q代表相同波長(zhǎng)的左行波。因?yàn)榫Ц裨谶@兩個(gè)方向上是等價(jià)的，它們以相同的形式對(duì)兩列波作出反應(yīng)，相應(yīng)的頻率必須相同。不論原子之間的相互作用是何種類(lèi)型，一般來(lái)說(shuō)對(duì)稱(chēng)性應(yīng)當(dāng)確實(shí)成立，因?yàn)檫@些性質(zhì)來(lái)自實(shí)際晶格的對(duì)稱(chēng)性。例如，如果除了最近鄰的相互作用還包括其它相互作用，色散關(guān)系將更為復(fù)雜，但q空間的平移和反射的對(duì)稱(chēng)性仍保持有效。第26頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由于實(shí)際晶體的長(zhǎng)度是有限的，記為L(zhǎng)=Na，根據(jù)Born-Karman周期性邊界條件，有3、晶體的線度的有限性與波矢的分立性(22)代入格波解（14）式，得到，(23)(24)（l為整數(shù)）將（24）式代入（21）式，得到，該式表明，允許的波矢數(shù)目等于N，振動(dòng)譜是分立譜。N是晶格的原胞數(shù)目。即晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)。(25)第27頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一維單原子鏈晶格振動(dòng)的波矢是分立的，相鄰兩個(gè)波矢的差為：(26)q與原子鏈的線度L成反比，隨著L的增大，q逐漸減小。當(dāng)原子鏈無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，q為零，這時(shí)波矢連續(xù)取值，即無(wú)限長(zhǎng)的原子鏈中波矢是連續(xù)取值的。波矢的分立性，與系統(tǒng)線度的有限性有關(guān)。這在量子力學(xué)中的一維無(wú)限深勢(shì)阱中電子能量本征態(tài)的求解中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)。對(duì)于0<x<L的一維無(wú)限深勢(shì)阱，電子能量的本征波函數(shù)為無(wú)限深勢(shì)阱中的電子波函數(shù)滿(mǎn)足駐波邊界條件，即由此得到電子波矢的取值為（l為整數(shù)）相鄰兩個(gè)波矢的差為與一維單原子鏈類(lèi)似，k與勢(shì)阱的線度L成反比，隨著L的增大，k逐漸減小。當(dāng)勢(shì)阱無(wú)限寬時(shí)，k為零，這對(duì)應(yīng)于自由空間中的電子，波矢是連續(xù)取值的。另外，長(zhǎng)為L(zhǎng)的連續(xù)弦中的駐波，波矢（波長(zhǎng)）也是分立的，波長(zhǎng)分別為L(zhǎng)/2、L/3、L/4等。第28頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四僅考慮最近鄰相互作用的單原子鏈的色散關(guān)系四、小結(jié)在布里淵區(qū)邊界處，格波的群速度為零，相當(dāng)于受到布拉格反射，形成駐波。在長(zhǎng)波極限下，qa<<1，色散關(guān)系表示為：此時(shí)鏈中分立的原子結(jié)構(gòu)可以忽略，色散關(guān)系與一維連續(xù)彈性波介質(zhì)中的聲波或彈性波相同，系數(shù)a(/m)1/2為聲速。常把q0，0的色散關(guān)系稱(chēng)為聲學(xué)支（acousticBranch）。每一組(,q)所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模式也相應(yīng)地稱(chēng)為聲學(xué)模（acousticmode）。第29頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一維雙原子晶格，單胞長(zhǎng)度2a2.5一維雙原子鏈（復(fù)式格子）—光學(xué)支一維雙原子鏈?zhǔn)怯蓛煞N不同的原子構(gòu)成的一維原子鏈，由N個(gè)質(zhì)量為m和N個(gè)質(zhì)量為M的兩種原子相間排列而成，原子平衡間距為a，晶格周期為2a。第30頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在簡(jiǎn)諧近似和最近鄰近似下，第n個(gè)原胞原子的運(yùn)動(dòng)方程為，上述兩個(gè)方程是耦合的，對(duì)于晶體中的每一個(gè)單胞可以寫(xiě)出類(lèi)似的一組方程，總共有2N個(gè)耦合的微分方程，必須聯(lián)立求解。(27)類(lèi)似于單原子晶格，以行波試探解：(28)把試探解（28）代入（27）式，得到，(29)一、簡(jiǎn)諧近似和最近鄰近似下的運(yùn)動(dòng)方程第31頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(29)式是齊次方程，只有矩陣行列式為零才有非零解，于是久期方程：這是一個(gè)關(guān)于2的二次方程，兩個(gè)根是：(30)(31)(32)(33)（31）~（33）是等價(jià)的。與解的正負(fù)號(hào)相應(yīng)，有兩個(gè)色散關(guān)系，因而與雙原子晶格相關(guān)的有兩條或兩支色散曲線。第32頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、色散關(guān)系一維雙原子鏈得到兩個(gè)解，兩種色散關(guān)系，它們都是q的周期函數(shù)。和一維單原子相同的討論可知，q取值范圍也是在第一布里淵區(qū)（/a）內(nèi)。此時(shí)點(diǎn)陣基矢是2a，倒易點(diǎn)陣基矢是/a，得到波矢去的取值范圍：(34)u為約化質(zhì)量這就是一維雙原子鏈的布里淵區(qū)。晶格振動(dòng)的所有可能狀態(tài)都包含在該布里淵區(qū)內(nèi)，這個(gè)區(qū)域之外的波矢q不提供任何新的振動(dòng)狀態(tài)。一維雙原子鏈可作帶通濾波器。第33頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四q=0時(shí)：1、零點(diǎn)和布里淵區(qū)邊界數(shù)值的確定q=/2a時(shí)：第34頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、周期性邊界條件由于實(shí)際晶體的長(zhǎng)度是有限的，為L(zhǎng)=N2a，根據(jù)Born-Karman周期性邊界條件，有(35)代入格波解（28）式，得到，(36)（l為整數(shù)）q的分布密度：(37)第一布里淵區(qū)內(nèi)波數(shù)q的總數(shù)就是晶體鏈原胞的數(shù)目N：每個(gè)q值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)頻率，所以，晶格振動(dòng)格波的總數(shù)=2N=晶體鏈的自由度數(shù)。(38)第35頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、聲學(xué)波和光學(xué)波一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系有兩支，取正號(hào)的一支頻率較大，稱(chēng)為光頻支，取負(fù)號(hào)的一支稱(chēng)為聲頻支。+對(duì)應(yīng)的格波稱(chēng)為光學(xué)波，-對(duì)應(yīng)的格波稱(chēng)為聲學(xué)波。由色散關(guān)系可以看出：由（29）式第二式得到：由于波數(shù)被限制在第一布里淵區(qū)，cosaq>0所以，即相鄰原子的振動(dòng)方向相同。聲學(xué)波第36頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在長(zhǎng)波極限下(q0)：表明：在長(zhǎng)波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致，振幅和位相均相同。聲學(xué)（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)）LATA原子以相同振幅平行振動(dòng)第37頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在長(zhǎng)波近似下，-格波與聲學(xué)波有著相同的色散關(guān)系。所以我們將這種晶格振動(dòng)稱(chēng)為聲學(xué)波或聲學(xué)支。原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致，振幅和位相均相同，因此，長(zhǎng)聲學(xué)波代表原胞的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。事實(shí)上，在長(zhǎng)波極限下，晶格可以看成連續(xù)的彈性介質(zhì)，格波類(lèi)似于聲波（彈性波）。第38頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表明：波節(jié)在小原子處的駐波。在短波極限（布里淵區(qū)邊界，q=/2a）：LA=4aTA=4a第39頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四光學(xué)波由色散關(guān)系可以看出：由（29）式第一式得到：由于波數(shù)被限制在第一布里淵區(qū)，cosaq>0所以，即相鄰原子的振動(dòng)方向相反。光學(xué)（原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)）第40頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在長(zhǎng)波極限下（q0）：表明：在長(zhǎng)波極限下，原胞內(nèi)兩種原子振動(dòng)相位相反，質(zhì)心固定不變。LOTO原子相對(duì)振動(dòng)第41頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四+為什么被稱(chēng)作光學(xué)支振動(dòng)？如果原胞內(nèi)兩個(gè)帶相反電荷的離子（如離子晶體），那么正負(fù)離子的相對(duì)振動(dòng)必然會(huì)產(chǎn)生電偶極矩，而這一電偶極矩可以和電磁波發(fā)生相互作用。在某種光波的照射下，光波的電場(chǎng)可以激發(fā)這種晶格振動(dòng)。因此，我們稱(chēng)這種振動(dòng)為光學(xué)波或光學(xué)支。實(shí)際晶體的長(zhǎng)光學(xué)波的+(0)~1013~1014/s，對(duì)應(yīng)遠(yuǎn)紅外的光波，因此離子晶體的長(zhǎng)光學(xué)波的共振能夠引起遠(yuǎn)紅外光在=+附近的強(qiáng)烈吸收，正是基于此性質(zhì)，+支被稱(chēng)作光學(xué)支。光波電磁波和光學(xué)波的共振第42頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表明：波節(jié)在大原子處的駐波。在短波極限（布里淵區(qū)邊界，q=/2a）：LA=4aTA=4a第43頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四光學(xué)波和聲學(xué)波的區(qū)別光學(xué)支模式是描寫(xiě)原胞中兩個(gè)原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)模式。若這兩個(gè)原子組成一個(gè)分子，光學(xué)支模式實(shí)際上是分子振動(dòng)模式，描寫(xiě)的是同一個(gè)分子中的原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況。聲學(xué)支模式代表同一原胞中原子的整體運(yùn)動(dòng)。若初基晶胞中的兩個(gè)原子組成一個(gè)分子的話，聲學(xué)支模式則代表分子的整體運(yùn)動(dòng)模式，這種振動(dòng)模式的色散關(guān)系類(lèi)似于聲波。長(zhǎng)光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞內(nèi)的不同原子做相對(duì)振動(dòng)，振動(dòng)頻率較高，它包含了晶格振動(dòng)頻率最高的振動(dòng)模式。長(zhǎng)聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒(méi)有相對(duì)位移，原胞做整體運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)頻率較低，它包含了晶格振動(dòng)頻率最低的振動(dòng)模式，波速是一常數(shù)。任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡(jiǎn)單晶格（非復(fù)式格子）晶體不存在光學(xué)支格波?？v振動(dòng)橫振動(dòng)第44頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.6三維晶格振動(dòng)一、動(dòng)力學(xué)矩陣設(shè)晶體原胞的基矢為a1、a2、a3，沿基矢方向晶體各有N1、N2、N3個(gè)原胞，即晶體一共有N=N1N2N3個(gè)原胞。每個(gè)原胞中有n個(gè)原子，質(zhì)量分別為m1、m2、、mn，平衡位置的相對(duì)坐標(biāo)為r1、r2、、rn。設(shè)頂點(diǎn)的位置矢量為(39)的原胞中n個(gè)原子在t時(shí)刻偏離其平衡位置的位移為(40)第p個(gè)原子在（若直角坐標(biāo)，=x，y，z）方向的運(yùn)動(dòng)方程則為(41)第45頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在簡(jiǎn)諧近似下，（41）右端是位移的線性代數(shù)式，其解的形式設(shè)為，(42)因?yàn)閝一定，qrp相位是定值，相位因子eiqrp已歸并到振幅Ap中。(43)（42）式分量表示為(44)因?yàn)檎穹鵄p一共有3n個(gè)，將（43）式代入（41）式得到3n個(gè)線性齊次聯(lián)立方程，(45)由Ap有非零解得條件，即其系數(shù)行列式等于零，可解出3n個(gè)的實(shí)根。在3n個(gè)實(shí)根中，其中有三個(gè)當(dāng)波矢趨于零時(shí)有，其中是q方向傳播的彈性波的速度，是一常數(shù)。此時(shí)A1=A2==An，即原胞作剛性運(yùn)動(dòng)，原胞中原子的相對(duì)位置不變，這三支格波稱(chēng)為聲學(xué)波，其余的（3n-3）支格波的頻率比聲學(xué)波的最高頻率還高，稱(chēng)為光學(xué)波。第46頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、格波的模式數(shù)根據(jù)周期性邊界條件的限制，(46)得到(47)第47頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由（47）式可知，當(dāng)(48)h1、h2、h3為整數(shù)時(shí)，（47）式才能成立，因此波矢q具有倒格矢的量綱，容易得出(49)其中b1、b2、b3是倒格矢。三維格波的波矢是分離的，其中b1/N1、b2/N2、b3/N3是波矢的基矢，波矢的點(diǎn)陣具有周期性，最小的重復(fù)單元的體積為其中*、和Vc分別為倒格原胞體積、正格原胞體積和晶體體積。第48頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一個(gè)重復(fù)單元對(duì)應(yīng)一個(gè)波矢，單位波矢空間內(nèi)的波矢數(shù)目，即波矢密度為，(50)在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，波矢可取得數(shù)目為；(51)對(duì)于每一個(gè)波矢q，對(duì)應(yīng)3個(gè)聲學(xué)波，（3n-3）各光學(xué)波，所以晶格振動(dòng)的模式數(shù)目為(52)nN是原子總數(shù)，3nN是所有原子的自由度數(shù)之和。晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)格波振動(dòng)模式數(shù)目=晶體中所有原子的自由度數(shù)之和第49頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四平移對(duì)稱(chēng)性：三、q空間的對(duì)稱(chēng)性：第一布里淵區(qū)（三維）反演對(duì)稱(chēng)性：色散關(guān)系展現(xiàn)實(shí)際晶格所具有的任何轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性。例如在立方晶體中，每支的色散關(guān)系都展現(xiàn)出立方對(duì)稱(chēng)性。只需在布里淵區(qū)的小范圍內(nèi)測(cè)定色散曲線，而其余的區(qū)域可以應(yīng)用對(duì)稱(chēng)性來(lái)完成。如在立方晶體中，色散曲線僅需要在布里淵區(qū)1/48范圍內(nèi)確定。需要注意的是，這些對(duì)稱(chēng)性可分別應(yīng)用于每支色散關(guān)系曲線，它們彼此之間互不相關(guān)。相差倒格矢G的波矢是等價(jià)的，倒格子空間的每一原胞包含同樣的信息。相反方向傳播的波具有相同的色散關(guān)系，這源于過(guò)程的時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性。第50頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四四、討論對(duì)于p=1的簡(jiǎn)單晶格：與一維單原子鏈類(lèi)似，只有聲學(xué)波。不同之處在于，在一維單原子鏈中，只有1個(gè)自由度，相應(yīng)于1個(gè)聲學(xué)支，原子振動(dòng)的方向與波傳播的方向一致，稱(chēng)為縱聲學(xué)支（LongitudinalAcousticBranch，LA）。現(xiàn)在除去縱波外，還可有兩個(gè)原子振動(dòng)方向與波傳播方向垂直的橫聲學(xué)支（TransverseAcousticBranch，TA）存在。對(duì)于縱模和橫模，原子間相互作用的力常數(shù)不同，LA和TA通常并不簡(jiǎn)并。對(duì)于單原子鏈，或