三角形的四心習題及解析

三角形的四心習題及解析三角形的四心習題及解析一、單選題（）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，G為△ABC的重心，則△GAB面積：△GBC面積：△GAC面積＝(Ａ)1：2：(Ｂ)1：：2(Ｃ)2：1：(Ｄ)1：1：1。答案：(Ｄ)解析：∵G為△ABC的重心∴△GAB面積：△GBC面積：△GAC面積＝1：1：1（）如圖，△ABC中，＝，兩腰上的中線相交與G，若∠BGC＝90°，且＝2，則的長為多少？(Ａ)2(Ｂ)2(Ｃ)3(Ｄ)4。答案：(Ｃ)解析：∵＝，且G為△ABC的重心∴＝∴＝又∵∠BGC＝90°，＝2∴＝＝＝2∴＝＝×2＝3（）如圖，等腰△ABC中，EQ\o(?,AB)＝EQ\o(?,AC)＝13，EQ\o(?,BD)＝EQ\o(?,CD)＝5，O為△ABC的外心，則EQ\o(?,OD)＝？(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)。答案：(Ｂ)解析：∵△ABC為等腰三角形，∴EQ\o(?,AD)⊥EQ\o(?,BC)，AD＝＝12，連接EQ\o(?,OB)，令EQ\o(?,OD)＝x,則EQ\o(?,OB)＝EQ\o(?,OA)＝EQ\o(?,AD)－EQ\o(?,OD)＝12－x＝10，M為EQ\o(?,BC)中點，則EQ\o(?,AM)＝？(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)5。答案：(Ｄ)解析：△ABC直角三角形∴M為外心，EQ\o(?,BM)＝EQ\o(?,MC)＝EQ\o(?,AM)＝＝5故選(Ｄ)（）由尺規(guī)作圖得知正三角形的外心、內(nèi)心、重心均在同一點，請問正三角形外接圓的面積是內(nèi)接圓面積的幾倍？(Ａ)2(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)4。答案：(Ｄ)解析：外心、內(nèi)心、重心皆在O點＝＝4故選(Ｄ)（）如圖，△ABC中，G為重心，在上取一點G'，使得EQ\o(?,GD)＝EQ\o(?,G'D)＝4，若EQ\o(?,CG)＝6，EQ\o(?,BG)＝10，則△ABC的面積為何？(Ａ)24(Ｂ)36(Ｃ)48(Ｄ)72。答案：(Ｄ)解析：△GG'B＝＝24△ABC＝24×3＝72故選(Ｄ)（）如圖，G為為△ABC的重心，現(xiàn)分別從A及G作垂線交EQ\o(?,BC)于於A'及G'，則EQ\o(?,AA)'：EQ\o(?,GG)'＝？(Ａ)2：1(Ｂ)3：1(Ｃ)4：1(Ｄ)：1。答案：(Ｂ)解析：△BGC＝△ABC∴EQ\o(?,GG)'：EQ\o(?,AA)'＝3：1故選(Ｂ)二：填空題如圖，G是直角△ABC的重心，∠ABC＝90°，且＝12，＝8，則△ABG的面積為【】。答案：16EQ\o(,解析)：△ABC面積＝×8×12＝48∵G為△ABC之重心∴△ABG面積＝△ABC面積＝×48＝16G為正△ABC的重心，為之中線，＝16，則：(１)＝【】。(２)△CDG面積＝【】。答案：(１)16；(２)32解析：(１)∵G為正△ABC的重心，＝16∴＝×16＝24＝×∴＝24××＝16(２)△CDG面積＝△ABC面積＝×〔×（162〕＝××768＝32有一正三角形其內(nèi)切圓的面積為5π，則其外接圓的面積＝【】。答案：20π解析：∵正△的三心共點可推得外接圓面積＝內(nèi)切圓面積＝4：1外接圓面積＝5×4＝20π如圖，G為重心，在上取一點G'，使得EQ\o(?,GD)＝EQ\o(?,G'D)＝2，且EQ\o(?,CG)＝3，EQ\o(?,BG)＝5，則△GG'B是直角三角形嗎？答：【】。答案：是解析：∵EQ\o(?,GD)＝EQ\o(?,GD)'，EQ\o(?,BD)＝EQ\o(?,DC)∴四邊形BGCG'為平行四邊形故EQ\o(?,BG)'＝EQ\o(?,CG)＝3又EQ\o(?,BG)＝5，EQ\o(?,GG)'＝2×2＝4△GG'B邊長為3、4、5，故為直角三角形正△ABC的邊長為10，在△ABC內(nèi)找一點P至三頂點等距離，則EQ\o(?,AP)＝【】。答案：EQ\o(,解析)：∵正△的外心和重心同一點∴EQ\o(?,AP)＝×高，又EQ\o(?,AB)＝10∴高＝10×＝5故EQ\o(?,AP)＝×5＝如圖，△PQR中，∠Q＝90°，又∠QPR＝45°，已知G為△PQR的重心，若EQ\o(?,OG)＝a，則△PQR的周長＝【】。（以a表示）答案：解析：EQ\o(?,OG)＝a，則EQ\o(?,QO)＝EQ\o(?,PO)＝EQ\o(?,OR)＝3a，EQ\o(?,PR)＝6aEQ\o(?,PQ)＝EQ\o(?,QR)＝＝則△PQR周長＝＝如圖，＝，＝，若△ABF的面積為18，則△BCE的面積為【】。答案：54解析：連接∵＝，＝∴F為△AEC的重心∴△BCE面積＝3△ABF面積＝3×18＝54如圖，△ABC中，D、E、F為各邊中點，∠A＝30°，＝8，＝6，則陰影部分面積為【】。答案：4EQ\o(,解析)：＝＝×8＝4∴△ABC面積＝×6×4＝12∴斜線部分面積＝△ABC面積＝×12＝4三、計算題1.如圖，△ABC為正三角形，G為重心，若＝20，請問：(１)＝？(２)△ABC面積為多少？答案：(１)∵＝∴＝×20＝30∵△ABC為正三角形∴＝∴30＝×，＝×30＝×＝20(２)正△ABC面積＝×2＝×（202＝×1200＝300答：(１)20；(２)300如圖，△ABC中，EQ\o(?,AB)＝5，EQ\o(?,BC)＝12，EQ\o(?,AC)＝13，且G為重心，O為外心，試求EQ\o(?,GO)。答案：∵EQ\o(?,AB)2＋EQ\o(?,BC)2＝52＋122＝132＝EQ\o(?,AC)2∴△ABC為直角三角形，且EQ\o(?,AC)為斜邊又O為外心∴外接圓半徑EQ\o(?,OB)＝EQ\o(?,AC)＝．13＝又G為重心∴EQ\o(?,GO)＝EQ\o(?,OB)＝．＝如圖，△ABC中，G為重心，若EQ\o(?,GA)＝5，EQ\o(?,GB)＝12，EQ\o(?,GC)＝13，試求△ABC的面積?！敬鸢福貉娱L至G'，使得EQ\o(?,GD)＝EQ\o(?,G'D)，故EQ\o(?,GG')＝EQ\o(?,GA)＝5△GDC與△G'DB，EQ\o(?,BD)＝EQ\o(?,CD)，EQ\o(?,GD)＝EQ\o(?,G'D)，∠GDC＝∠G'DB∴△GDC△G'DB（S