高一數(shù)學必修二課件第十章 第四節(jié)隨機事件的概率

第四節(jié)

隨機事件的概率1.概率和頻率(1)頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的______，稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的_____.(2)概率：對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A).頻數(shù)頻率2.事件的關(guān)系與運算(A，B分別代表事件A，B)

名稱條件結(jié)論符號表示包含關(guān)系A發(fā)生?B發(fā)生事件B_____事件A(事件A_______事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若___________事件A與事件B相等A=B并(和)事件A發(fā)生或B發(fā)生事件A與事件B的并事件(或和事件)_____________交(積)事件A發(fā)生且B發(fā)生事件A與事件B的交事件(或積事件)____________互斥事件A∩B為_______事件事件A與事件B互斥A∩B=對立事件A∩B為_______事件,A∪B為必然事件事件A與事件B互為對立事件A∩B=,P(A∪B)=1包含包含于B?A且A?BA∪B(或A+B)不可能不可能A∩B(或AB)3.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:___________.(2)必然事件的概率為__.(3)不可能事件的概率為__.(4)概率的加法公式:如果事件A與事件B互斥,則P(A∪B)=__________.(5)對立事件的概率:若事件A與事件B互為對立事件,則A∪B為必然事件,P(A∪B)=__,P(A)=_______.0≤P(A)≤110P(A)+P(B)11-P(B)判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.

(

)(2)隨機事件和隨機試驗是一回事.

(

)(3)在大量重復試驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.

(

)(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生.

(

)【解析】(1)錯誤.頻率是在相同的條件下重復n次試驗,頻數(shù)與試驗次數(shù)的比值,它是概率的一個近似值,頻率是隨機的,概率是一個客觀存在的確定的數(shù)值.(2)錯誤.在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件;條件每實現(xiàn)一次,叫做一次試驗,如果試驗結(jié)果無法確定,叫做隨機試驗.(3)正確.由概率的定義可知,在大量重復試驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.(4)錯誤.兩個事件的和事件是指兩個事件至少有一個發(fā)生,不一定是同時發(fā)生.答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×1.下列事件中不是隨機事件的是(

)(A)某人購買福利彩票中獎(B)從10只杯子(8只正品,2只次品)中任取2只,2只均為次品(C)在標準大氣壓下,水加熱到100℃沸騰(D)某人投籃10次,1次也沒投中【解析】選C.由隨機事件的概念可知,A,B,D均為隨機事件,而C為必然事件.2.在n次重復進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為若試驗次數(shù)n很大時，則P(A)滿足()(A)P(A)≈(B)P(A)＜(C)P(A)＞

(D)P(A)=【解析】選A.由頻率與概率的關(guān)系可知A正確.3.甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是對立事件,那么(

)(A)甲是乙的充分不必要條件(B)甲是乙的必要不充分條件(C)甲是乙的充要條件(D)甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件【解析】選B.∵兩個事件互斥,不一定對立,而兩個事件對立,一定是互斥的,∴甲乙,乙?甲.4.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是0.05和0.03，則抽驗一件是正品(甲級品)的概率為_____.【解析】記抽驗的產(chǎn)品是甲級品為事件A，是乙級品為事件B，是丙級品為事件C，這三個事件彼此互斥，因而抽驗一件是正品(甲級品)的概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.答案:0.925.盒子中共有除顏色不同其他均相同的3只紅球，1只黃球，若從中隨機取出兩只球，則它們顏色不同的概率為_____.【解析】從盒子中取出兩只球共有6種方式，其中顏色不同的有3種，因此，它們顏色不同的概率為答案:考向1

隨機事件、隨機事件的頻率與概率【典例1】(1)下列敘述中錯誤的是()(A)在2013年出生的366人中至少有2人的生日相同(B)頻率是隨機的，在試驗前不能確定，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會穩(wěn)定于某個常數(shù)值，即概率(C)若隨機事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0<P(A)<1(D)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率(2)指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件？①從分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10張?zhí)柡?除標有數(shù)字不同外其他均相同)中任取一張，得到4號簽；②當a>1時，函數(shù)y＝ax在定義域R上是增函數(shù)；③當0<a<1時，函數(shù)y＝ax在定義域R上是增函數(shù)；④若a，b∈R，則a＋b＝b＋a.【思路點撥】(1)根據(jù)隨機事件的頻率與概率的關(guān)系以及概率的性質(zhì)來判斷.(2)根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的定義判斷.【規(guī)范解答】(1)選D.由于2013年共365天，因此同一年出生的366人中至少有2人的生日相同，這一事件能發(fā)生，即選項A正確；由頻率和概率的意義及相互關(guān)系，可知選項B正確；由于事件的分類為隨機事件、必然事件和不可能事件，而P(必然事件)＝1，P(不可能事件)＝0，從而P(隨機事件)∈(0,1)，即選項C正確；抽簽是隨機的且是等可能的，因此，甲、乙中獎的概率相等，且均為故選項D錯誤，故應選D.(2)①取到4號簽，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事件是隨機事件；②當a>1時，函數(shù)y＝ax在定義域R上一定是增函數(shù)，故此事件是必然事件；③當0<a<1時，函數(shù)y＝ax在定義域R上是減函數(shù)，不是增函數(shù)，故此事件是不可能事件；④對任意兩個實數(shù)，滿足加法的交換律，故此事件是必然事件.【拓展提升】1.概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.【變式訓練】某市2012年4月1日－4月30日對空氣污染指數(shù)的檢測數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物)：67,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95，91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.根據(jù)國家標準，污染指數(shù)在0～50之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51～100之間時，為良；在101～150之間時，為輕微污染；在151～200之間時，為輕度污染.請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標準，對該市一年內(nèi)(365天)的空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的概率給出一個預測.【解析】該市一個月中空氣質(zhì)量為優(yōu)的有2天，發(fā)生的頻率為空氣質(zhì)量為良的有26天，發(fā)生的頻率為因此空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的頻率為視其頻率為空氣質(zhì)量為優(yōu)或良這一事件發(fā)生的概率，故一年內(nèi)該市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的概率為考向2

隨機事件間的關(guān)系【典例2】(1)下列命題：①將一枚硬幣拋兩次，設事件M：“兩次出現(xiàn)正面”，事件N：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件M與N互為對立事件;②若事件A與B互為對立事件，則事件A與B為互斥事件；③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對立事件；④若事件A與B互為對立事件，則事件A+B為必然事件.其中，真命題是()(A)①②④(B)②④(C)③④(D)①②(2)某縣城有兩種報紙甲、乙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”.在①A與C；②B與E；③B與D；④B與C中，互斥事件有________；對立事件有_______.【思路點撥】要判斷兩個事件是互斥事件還是對立事件，只需找出各個事件包含的所有結(jié)果，根據(jù)它們之間能不能同時發(fā)生即可.在互斥的前提下，看兩個事件中是否必有一個發(fā)生，即可判斷是否為對立事件.【規(guī)范解答】(1)選B.對①，將一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn){正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結(jié)果，則事件M與N是互斥事件，但不是對立事件，故①錯；對②，對立事件首先是互斥事件，故②正確；對③，互斥事件不一定是對立事件，如①中兩個事件，故③錯；對④，事件A，B互為對立事件，則這一次試驗中A，B一定有一個要發(fā)生，故④正確.(2)①由于事件C“至多訂一種報”中有可能“只訂甲報”，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件.②事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故B與E是互斥事件.由于事件B發(fā)生可導致事件E一定不發(fā)生，且事件E發(fā)生會導致事件B一定不發(fā)生，故B與E還是對立事件.③事件B“至少訂一種報”中有可能“只訂乙報”，即有可能“不訂甲報”，即事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件.④事件B“至少訂一種報”中有如下可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”，事件C“至多訂一種報”中有如下可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”.由于這兩個事件可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件.答案:②②【互動探究】若本例題(1)①條件不變，根據(jù)拋擲結(jié)果試寫出三對對立事件.【解析】由已知條件及對立事件的定義可知：對立事件有①“兩次都是正面”與“至少一次反面”；②“兩次都是反面”與“至少一次正面”；③“正反各一次”與“全正或全反”.【拓展提升】1.互斥事件的理解(1)互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系.(2)所研究的兩個事件是在一次試驗中所涉及的.(3)兩個事件互斥是從“試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn)”來確定的.2.從集合的角度理解互斥事件和對立事件(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集.(2)事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.【變式備選】對同一試驗來說，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，則事件A與事件B的關(guān)系是()(A)互斥不對立(B)對立不互斥(C)互斥且對立(D)不互斥、不對立【解析】選C.不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，故事件A與事件B的關(guān)系是互斥且對立.考向3

互斥事件、對立事件的概率【典例3】(1)在一次投擲骰子的試驗中，記事件A1＝{出現(xiàn)4點}，A2＝{出現(xiàn)大于3點}，A3＝{出現(xiàn)小于6點}，A4＝{出現(xiàn)6點}，下列等式中正確的是()(A)P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)(B)P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)(C)P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)(D)P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)(2)從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，質(zhì)量小于4.8g的概率是0.3，質(zhì)量不小于4.85g的概率是0.32，那么質(zhì)量在［4.8，4.85)g范圍內(nèi)的概率是()(A)0.62(B)0.38(C)0.7(D)0.68(3)已知在6個電子元件中有2個次品，4個正品，每次任取1個進行測試，測試后不再放回，直到2個次品都找到為止，求經(jīng)過4次測試恰好將2個次品都找到的概率.【思路點撥】(1)由于選項中的公式只有兩個互斥事件的和事件的概率才滿足,所以只需判斷A1與A2,A1與A3,A1與A4以及A2與A3是否互斥即可;(2)利用概率的性質(zhì)及互斥事件概率的公式即可解決;(3)4次測試恰好將2個次品都找到可分為“前3次測試僅有一次取到次品,第4次測試恰好取到次品”與“前4次測試都取到正品”兩種情況.【規(guī)范解答】(1)選D.由題設,只有事件A1與A4是互斥事件,因此P(A1+A4)=P(A1)+P(A4),即選D.(2)選B.設一個羽毛球的質(zhì)量為ξg,則P(ξ<4.8)+P(4.8≤ξ<4.85)+P(ξ≥4.85)=1.所以P(4.8≤ξ<4.85)=1-0.3-0.32=0.38.(3)設A表示事件“前3次測試僅有一次取到次品,第4次測試恰好取到次品”，B表示事件“前4次測試都取到正品”，則因為A，B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=故經(jīng)過4次測試恰好將2個次品都找到的概率是【拓展提升】求復雜的互斥事件的概率的兩種方法(1)直接求法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運用互斥事件概率的加法公式計算.(2)間接求法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求得,即運用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法就會較簡便.【提醒】應用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先確定各個事件是否彼此互斥,然后求出各事件發(fā)生的概率,再求和.【變式訓練】一個口袋里共有除顏色外其他均相同的7個白球和4個紅球，現(xiàn)在一次取出三個球，則這三個球中至少有一個紅球的概率是多少？【解析】方法一：記“三個球中至少有一個紅球”為事件A，“三個球中恰有一個紅球”為事件A1，“三個球中有兩個紅球”為事件A2，“三個球全是紅球”為事件A3，則A＝A1＋A2＋A3，且A1，A2，A3這三個事件兩兩互斥，故得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝方法二：記“三個球中至少有一個紅球”為事件A，則“三個球全是白球”為事件A的對立事件故【滿分指導】解答隨機事件概率的綜合題【典例】(2012·陜西高考)某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業(yè)務所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：從第一個顧客開始辦理業(yè)務時計時.(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務的概率.(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.【思路點撥】

【規(guī)范解答】設Y表示顧客辦理業(yè)務所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：

①Y

12345P

0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務”，則事件A對應三種情形：第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘；第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘；第一個和第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為2分鐘.②…………3分所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.…………

6分(2)方法一：X所有可能的取值為0,1,2.X=0對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過2分鐘，所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5；③X=1對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為2分鐘，所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)③=0.1×0.9+0.4=0.49;X=2對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為1分鐘，所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01.③……………9分所以X的分布列為E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.……………12分X012P0.50.490.01方法二：X所有可能的取值為0,1,2.X=0對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過2分鐘，所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5；X=2對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為1分鐘，所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01；P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49.………9分所以X的分布列為E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.………………12分X012P0.50.490.01【失分警示】(下文①②③見規(guī)范解答過程)1.(2013·株洲模擬)將一枚硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是()(A)必然事件(B)隨機事件(C)不可能事件(D)無法確定【解析】選B.正面向上恰有5次的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即該事件為隨機事件.2.(2013·長沙模擬)某人打靶，連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是()(A)至多有一次中靶(B)兩次都中靶(C)兩次都不中靶(D)只有一次中靶【解析】選C.由對立事件的定義可知：至少有一次中靶的對立事件是兩次都不中靶.

3.(2012·浙江高考)從邊長為1的正方形的中心和頂點這五點中，隨機(等可能)取兩點，則該兩點間的距離為的概率是_________.【解析】該兩點間的距離為的概率答案:4.(2011·湖南高考)某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量Y(單位:萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位:毫米)有關(guān).據(jù)統(tǒng)計,當X=70時,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值為:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140