高中數(shù)學-冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(經典練習題)

高中數(shù)學精英講解-----------------冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)【第一部分】知識復習【第二部分】典例講解考點一：冪函數(shù)例1、比較大小例2、冪函數(shù)，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又，則m=A．0B．1C．2D．3解析：函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則有，又，故為偶函數(shù)，故m為1．例3、已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論的奇偶性．∵冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，∴，解得，∵，∴．又是偶數(shù)，∴，∴．(2)，．當且時，是非奇非偶函數(shù)；當且時，是奇函數(shù)；當且時，是偶函數(shù)；當且時，奇又是偶函數(shù)．例4、下面六個冪函數(shù)的圖象如圖所示，試建立函數(shù)與圖象之間的對應關系(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).變式訓練：1、下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y=2xB．y=2x－1C．y=(x＋1)C．奇函數(shù)，在R上為減函數(shù)D．偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)9、若函數(shù)f(x)=x2＋ax是偶函數(shù)，則實數(shù)a=（）A．－2B．－110、已知f(x)為奇函數(shù)，定義域為，又f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，且f(－1)=0，則滿足f(x)>0的的取值范圍是（）A．B．(0，1)C．D．11、若冪函數(shù)的圖象過點，則_____________．12、函數(shù)的定義域是_____________．13、若，則實數(shù)a的取值范圍是_____________．14、是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是_____________．DACADABACD9、，函數(shù)為偶函數(shù)，則有f(－x)=f(x)，即x2－ax=x2＋ax，所以有a=0．10、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上有相同的單調性，則有函數(shù)f(x)在上單調遞增，則當x<－1時，f(x)<0，當－1<x<0時，f(x)>0，又f(1)=－f(－1)=0，故當0<x<1時，f(x)<0，當x>1時，f(x)>0．則滿足f(x)>0的．11、解析：點代入得，所以．12、解：13、解析：，解得．14、解：則有，又為偶函數(shù)，代入驗證可得整數(shù)a的值是5．考點二：指數(shù)函數(shù)例1、若函數(shù)y=ax＋m－1(a>0)的圖像在第一、三、四象限內，則（）A.a>1B.a>1且m<0例2、若函數(shù)y=4x－3·2x＋3的值域為[1,7]，試確定x的取值范圍．例3、若關于x的方程有負實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．例4、已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)f(x)在其定義域內是增函數(shù)；(2)求函數(shù)f(x)的值域．例5、如果函數(shù)（a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．例1、解析：y=ax的圖像在第一、二象限內，欲使其圖像在第一、三、四象限內，必須將y=ax向下移動．而當0<a<1時，圖像向下移動，只能經過第一、二、四象限或第二、三、四象限．只有當a>1時，圖像向下移動才可能經過第一、三、四象限，故a>1．又圖像向下移動不超過一個單位時，圖像經過第一、二、三象限，向下移動一個單位時，圖像恰好經過原點和第一、三象限．欲使圖像經過第一、三、四象限，則必須向下平移超過一個單位，故m－1<－1，∴m<0．故選B．答案：B例2、分析：在函數(shù)y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，則y=t2－3t＋3是t的二次函數(shù)，由y∈[1,7]可以求得對應的t的范圍，但t只能取正的部分.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性我們可以求出x的取值范圍．解答：令t=2x,則y=t2－3t＋3，依題意有：∴x≤0或1≤x≤2，即x的范圍是(－∞，0]∪[1,2]．小結：當遇到y(tǒng)=f(ax)類的函數(shù)時，用換元的思想將問題轉化為較簡單的函數(shù)來處理，再結合指數(shù)函數(shù)的性質得到原問題的解．例3、分析：求參數(shù)的取值范圍題，關鍵在于由題設條件得出關于參數(shù)的不等式．解答：因為方程有負實數(shù)根，即x＜0，所以，解此不等式，所求a的取值范圍是例4、分析：對于(1)，利用函數(shù)的單調性的定義去證明；對于(2)，可用反解法求得函數(shù)的值域．解答：(1)，設x1＜x2，則．因為x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋1＞0,＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函數(shù)f(x)在其定義域(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．(2)設，則，因為102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函數(shù)f(x)的值域為(－1，1)．例5、分析：考慮換元法，通過換元將函數(shù)化成簡單形式來求值域．解：設t=ax>0，則y=t2＋2t－1，對稱軸方程為t=－1．若a>1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈，∴當t=a時，ymax=a2＋2a－1=14．解得a=3或a=－5(舍去)．若0<a<1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈．∴當時，．解得（舍去）．∴所求的a值為3或．變式訓練：1、函數(shù)在R上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．2、函數(shù)是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)3、函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．4、已知,則函數(shù)的圖像必定不經過（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．6、函數(shù)，滿足f(x)>1的x的取值范圍是（）A．B．C．D．7、函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．8、已知，則下列正確的是（）A．奇函數(shù)，在R上為增函數(shù)B．偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)C．奇函數(shù)，在R上為減函數(shù)D．偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)9、函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．10、下列說法中，正確的是（）①任取x∈R都有；②當a>1時，任取x∈R都有；③是增函數(shù)；④的最小值為1；⑤在同一坐標系中，的圖象對稱于y軸．A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤ 11、若直線y=2a與函數(shù)y=|ax－1|(a＞0且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍__.12、函數(shù)的定義域是______________．13、不論a取怎樣的大于零且不等于1的實數(shù)，函數(shù)y=ax－2＋1的圖象恒過定點________．14、函數(shù)y=的遞增區(qū)間是___________.15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函數(shù)y=()x－1－4()x＋2的最大值和最小值．16、若關于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有實根，求m的取值范圍．17、設a是實數(shù)，．(1)試證明對于a取任意實數(shù)，f(x)為增函數(shù)；(2)試確定a的值，使f(x)滿足條件f(－x)＝－f(x)恒成立．18、已知f(x)＝（a>0且）．（1）求f(x)的定義域、值域．（2）討論f(x)的奇偶性．（3）討論f(x)的單調性．答案及提示：1-10DADADDDACB1、可得0<a2－1<1，解得.2、函數(shù)定義域為R，且，故函數(shù)為奇函數(shù).3、可得2x>0，則有，解得y>0或y<－1.4、通過圖像即可判斷.5、.6、由，由，綜合得x>1或x<－1.7、即為函數(shù)的單調減區(qū)間，由，可得，又，則函數(shù)在上為減函數(shù)，故所求區(qū)間為.8、函數(shù)定義域為R，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，又，函數(shù)在R上都為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).9、可得.10、①中當x=0時，兩式相等，②式也一樣，③式當x增大，y減小，故為減函數(shù)．11、0＜a＜提示：數(shù)形結合.由圖象可知0＜2a＜1，0＜a＜.12、提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，．13、(2,2)提示：當x=2時，y=a0＋1=2．14、(－∞，1]提示：∵y=()x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，而函數(shù)y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的遞減區(qū)間是(－∞，1］，∴原函數(shù)的遞增區(qū)間是(－∞，1］．15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2，令()x=t，則≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1.當t=即x=1時，ymin=1；當t=1即x=0時，ymax=2.16、解法一：設y=5－|x＋1|，則0＜y≤1，問題轉化為方程y2－4y－m=0在(0，1］內有實根.設f(y)=y2－4y－m，其對稱軸y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)．17、(1)設，即f(x1)＜f(x2)，所以對于a取任意實數(shù)，f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)．(2)由f(－x)=－f(x)得，解得a=1，即當a=1時，f(－x)=－f(x)．18、解：（1）定義域為R．．．∴值域為（－1，1）．（2），∴f(x)為奇函數(shù)．（3）設，則當a>1時，由，得，，∴當a>1時，f(x)在R上為增函數(shù)．同理可判斷當0<a<1時，f(x)在R上為減函數(shù)．考點三：對數(shù)函數(shù)例1、求函數(shù)的定義域和值域，并確定函數(shù)的單調區(qū)間．例2、已知函數(shù)f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）.（1）若函數(shù)f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f(x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.例3、已知的最大值和最小值以及相應的x值.例4、已知f(x)=loga(ax－1)（a＞0，a≠1）.（1）求f(x)的定義域；（2）討論f(x)的單調性；（3）求函數(shù)y=f(2x)與y=f－1(x)的圖象交點的橫坐標.例1解：由－x2＋2x＋3＞0，得x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，定義域為(－1，3)；又令g(x)=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴當x∈(－1，3)時，0＜g(x)≤4.∴f(x)≥=－2，即函數(shù)f(x)的值域為[－2，＋∞）；∵g(x)=－(x－1)2＋4的對稱軸為x=1.∴當－1＜x≤1時，g(x)為增函數(shù)，∴為減函數(shù).當1≤x＜3時，g(x)為減函數(shù)，∴f(x)為增函數(shù)．即f(x)在（－1，1]上為減函數(shù)；在[1，3）上為增函數(shù)．例2、分析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定義域為R，故g(x)＞0對任意x∈R均成立，問題轉化為g(x)＞0恒成立，求a的取值范圍問題；若f(x)的值域為R，則g(x)的值域為B必滿足B（0，＋∞），通過對a的討論即可．解答：（1）令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定義域為R，∴g(x)＞0恒成立．∴∴函數(shù)f(x)的定義域為R時，有a＞1.（2）因f(x)的值域為R，設g(x)=ax2＋2x＋1的值域為B，則B（0，＋∞）.若a＜0，則B=（－∞，1－]（0，＋∞）；若a=0，則B=R，滿足B（0，＋∞）.若a＞0，則△=4－4a≥0，∴a≤1.綜上所述，當f(x)的值域為R時，有0≤a≤1.例3、分析：題中條件給出了后面函數(shù)的自變量的取值范圍，而根據(jù)對數(shù)的運算性質，可將函數(shù)化成關于log2x的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題來求解.解答：當t=3時，y有最大值2，此時，由log2x=3，得x=8.∴當x=2時，y有最小值－.當x=8時，y有最大值2.例4、分析：題設中既含有指數(shù)型的函數(shù)，也含有對數(shù)型的函數(shù)，在討論定義域，討論單調性時應注意對底數(shù)a進行討論，而（3）中等價于求方程f(2x)=f－1(x)的解．解答：（1）ax－1＞0得ax＞1.∴當a＞1時，函數(shù)f(x)的定義域為（0，＋∞），當0＜a＜1時，函數(shù)f(x)的定義域為（－∞，0）.（2）令g(x)=ax－1，則當a＞1時，g(x)=ax－1在（0，＋∞）上是增函數(shù).即對0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)，而y=logax在（0，＋∞）上是增函數(shù)，∴l(xiāng)ogag(x1)＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)=loga(ax－1)在（0，＋∞）上是增函數(shù)；當0＜a＜1時，g(x)=ax－1在(－∞,0)上是減函數(shù).即對x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0．而y=logax在（0，＋∞）上是減函數(shù)，∴l(xiāng)ogag(x1)＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)=loga(ax－1)在（－∞，0）上是增函數(shù).綜上所述，f(x)在定義域上是增函數(shù)．（3）∵f(2x)=loga(a2x－1)，令y=f(x)=loga(ax－1)，則ax－1=ay，∴ax=ay＋1，∴x=loga(ay＋1)(y∈R)．∴f－1(x)=loga(ax＋1)（x∈R）．由f(2x)=f－1(x)，得loga(a2x－1)=loga(ax＋1)．∴a2x－1=ax＋1，即(ax)2－ax－2=0.∴ax=2或ax=－1（舍）．∴x=loga2.即y=f(2x)與y=f－1(x)的圖象交點的橫坐標為x=loga2．變式訓練：一、選擇題1、當a>1時，在同一坐標系中，函數(shù)y=a－x與y=logax的圖象是（）A．B．C．D．2、將y=2x的圖象（），再作關于直線y=x對稱的圖象，可得函數(shù)y=log2(x＋1)和圖象．A．先向左平行移動1個單位B．先向右平行移動1個單位C．先向上平行移動1個單位D．先向下平行移動1個單位3、函數(shù)的定義域是（）A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（1，2]4、函數(shù)y=lg(x－1)＋3的反函數(shù)f－1(x)=（）A．10x＋3＋1B．10x－3－1C．10x＋35、函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）6、已知f(x)=|logax|，其中0<a<1，則下列各式中正確的是（）A．B．C．D．7、是（）A．奇函數(shù)而非偶函數(shù)B．偶函數(shù)而非奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)8、已知0<a<1,b>1，且ab>1，則下列不等式中正確的是（）A．B．C．D．9、函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則y=log0.2fA．B．C．D．10、關于x的方程（a＞0，a≠1），則（）A．僅當a＞1時有唯一解B．僅當0＜a＜1時有唯一解C．必有唯一解D．必無解二、填空題11、函數(shù)的單調遞增區(qū)間是___________.12、函數(shù)在2≤x≤4范圍內的最大值和最小值分別是___________.13、若關于x的方程至少有一個實數(shù)根，則a的取值范圍是___________.14、已知（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范圍.15、設函數(shù)f(x)=x2－x＋b，已知log2f(a)=2，且f(log2(1)求a，b的值；(2)試在f(log2x)>f(1)且log2f16、已知函數(shù)f(x)=loga(x－3a)（a＞0且a≠1），當點P（x，y）是函數(shù)y=f(x)圖象上的點時，點Q（x－2a，－y）是y=g(x)圖象上的點.（1）寫出y=g(x)的解析式；（2）若當x∈[a＋2，a＋3]時，恒有|f(x)－g(x)|≤1，試求a的取值范圍.答案及提示：1-10DDDDABBBCC1、當a>1時，y=logax是單調遞增函數(shù)，是單調遞減函數(shù)，對照圖象可知D正確.∴應選D.2、解法1：與函數(shù)y=log2(x＋1)的圖象關于直線y=x對稱的曲線是反函數(shù)y=2x－1的圖象，為了得到它，只需將y=2x的圖象向下平移1個單位.解法2：在同一坐標系內分別作出y=2x與y=log2(x＋1)的圖象，直接觀察，即可得D.3、由≥0，得0<x－1≤1，∴1<x≤2.5、應注意定義域為（－∞，1）∪（2，＋∞），答案選A.6、不妨取，可得選項B正確．7、由f(－x)=f(x)知f(x)為偶函數(shù)，答案為B.8、由ab>1，知，故且，故答案選B.10、當a＞1時，0＜＜1，當0＜a＜1時，＞1，作出y=ax與y=的圖象知，兩圖象必有一個交點.11、答案：（－∞，－