2021-2022學年云南省昆明市高二年級下冊學期開學考試學能力測數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年云南省昆明市高二下學期開學考試學能力測數(shù)學試題一、單選題1．已知直線，.若，則實數(shù)（

）A． B．2 C．或2 D．0【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，所以有：，故選：A2．已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．21 B．42 C．63 D．84【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列公比為q，根據(jù)給定條件求出即可計算作答.【詳解】等比數(shù)列公比為q，由得：，即，而，解得，所以.故選：D3．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式化簡，即可求解【詳解】故選：A4．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由導數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標，求出切點到直線的距離即為所求最小距離．【詳解】點是曲線上的任意一點，設(shè)，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點為，點到直線的最小距離.故選：D.5．從集合中隨機地取一個數(shù)，從集合中隨機地取一個數(shù)，則向量與垂直的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再根據(jù)向量垂直得到，即可求出符合條件的，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：從集合中隨機地取一個數(shù)，從集合中隨機地取一個數(shù)，基本事件總數(shù)．當向量與向量垂直時，即，即，滿足條件的基本事件有，，，共3個，則所求概率．故選：C6．已知，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中間值法進行判斷.【詳解】,即故選：A7．如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（

）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x【答案】B【分析】分別過A，B作準線的垂線，交準線于E，D，設(shè)|BF|=a，運用拋物線的定義和直角三角形的性質(zhì)，求得p，可得所求拋物線的方程．【詳解】如圖分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a，由拋物線定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因為|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，從而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此拋物線方程為y2＝6x.故選：B8．如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項和，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，進而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項和，所以，故選：B.二、多選題9．已知向量，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實數(shù)，使得D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)向量的模的計算公式，可判定A選項正確；根據(jù)向量垂直的條件，列出方程，可判定B選項錯誤；根據(jù)共線向量的條件，列出方程組，可判定C選項正確；根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，列出方程，可判定D選項錯誤.【詳解】對于A中，由，可得，解得，故A選項正確；對于B中，由，可得，解得，故B選項錯誤；對于C中，若存在實數(shù)，使得，則，顯然無解，即不存在實數(shù)，使得，故C選項正確；對于D中，若，則，解得，于是，故D選項錯誤.故選：AC.【點睛】本題主要考查了空間向量的垂直與共線的表示及應用，以及空間向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記空間向量的垂直與共線的條件，以及數(shù)量積的運算公式，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.10．已知橢圓的左、右兩個焦點分別為，，P為橢圓上一動點，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的周長為8 B．的最大面積為C．存在點P使得 D．的最大值為5【答案】AB【分析】利用橢圓的定義及幾何性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】解：對A，由橢圓，可得的周長為：，故A正確；對B，當P為橢圓短軸頂點時，的面積最大，且最大面積為：，故B正確；對C，當P為橢圓短軸頂點時，為最大，此時，即為銳角，所以不存在點P使得，故C錯誤；對D，由橢圓，所以，又，所以，所以，故D錯誤.故選：AB.11．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0，|φ|<π）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點對稱C．y=1與圖象的所有交點的橫坐標之和為D．函數(shù)f（x）的圖象可由y=cos2x的圖象向右平移個單位得到【答案】BC【分析】根據(jù)圖象通過函數(shù)的周期性求出ω，結(jié)合正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性、圖象的變換性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0，|φ|<π）的部分圖象，可得A=2，，∴ω=2．結(jié)合五點法作圖，可得，∴，∴，故，為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；令，求得f（x）=0，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；直線y=1與圖象的所有交點的橫坐標x滿足．由于，故滿足的x值共計有4個，設(shè)它們分別為a、b、c、d．則，故交點的橫坐標之和為，故C正確；把函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移個單位得到的圖象，故D錯誤，故選：BC．12．如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說法中不正確的是（

）A．B．平面C．向量與的夾角是D．直線與所成角的余弦值為【答案】AC【分析】利用向量的基底運算可求，利用向量垂直及線面垂直的判定可得B的正誤，利用向量的基底運算可求C,D的正誤.【詳解】對于A，，，所以，選項A錯誤；對于B，，所以，即，，所以，即，因為，平面，所以平面，選項B正確；對于C：向量與的夾角是，所以向量與的夾角也是，選項C錯誤；對于D，，,所以，，同理，可得;，所以，所以選項D正確．故選：AC．三、填空題13．在中，，，，則此三角形的最大邊長為___________.【答案】【分析】可知B對的邊最大，再用正弦定理計算即可.【詳解】利用正弦定理可知，B對的邊最大，因為，，所以，.故答案為：14．直線被圓截得的弦長為__________．【答案】【分析】先求出圓心和半徑，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再根據(jù)弦心距，半徑和弦的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】圓化為標準方程為，則圓心為，半徑為，因為圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為．故答案為：.15．若函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為個，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】令，根據(jù)二倍角公式可得，即可求出函數(shù)的零點，從而求出參數(shù)的范圍；【詳解】解：令，得，即，故當時，零點分別為，因為函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為個，所以.即故答案為：16．設(shè)過原點的直線與雙曲線：交于兩個不同點，為的一個焦點，若，，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】如圖所示：連接，根據(jù)對稱性知為平行四邊形，計算得到，利用余弦定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，根據(jù)對稱性知為平行四邊形.，則，，，，故.根據(jù)余弦定理：，化簡得到，故.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項為a1，根據(jù)已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項公式即可得答案；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項和公式，利用分組求和法即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項為a1，由題意，有，解得，所以；（2）解：，所以．18．已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.(1)求的值；(2)若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；（2）當時，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，則，因為函數(shù)在處的切線方程為，可得，解得.（2）解：當時，可得，則，令，即，解得或，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.19．已知拋物線C的方程為：，點(1)若直線與拋物線C相交于A、B兩點，且P為線段AB的中點，求直線的方程.(2)若直線過交拋物線C于M，N兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，求的最小值．【答案】(1)(2)16【分析】（1）設(shè)，代入拋物線方程由點差法可得答案；（2）設(shè)直線為：，，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和基本不等式可得答案.【詳解】（1）設(shè)則，由兩式相減可得：，，即直線的方程為.（2）設(shè)直線為：，由可得，，，，又因為點坐標為，所以，從而，，所以當且僅當時，有最小值16．20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，.(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使二面角的大小為？若存在，請指出點的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點M位于靠近點C的四等分處【分析】（1）由已知易得四邊形為平行四邊形，有，進而有，利用面面垂直的性質(zhì)有平面，最后根據(jù)面面垂直的判定證結(jié)論；（2）首先證明兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標系，設(shè)且求的坐標，再求面、面的法向量，根據(jù)已知角大小及空間向量夾角坐標表示求即可判斷存在性.【詳解】（1）因為，，Q為的中點，所以四邊形為平行四邊形，則．所以，即．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面．（2）由（1）知：平面，平面，則，又，為的中點，則，所以兩兩垂直，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系，所以，，則，假設(shè)存在點M，設(shè)且，得，所以，又，設(shè)平面法向量為，則，令，則．由（2）知平面的法向量為，二面角為，所以，解得，故線段上存在點M使二面角大小為，且點M位于靠近點C的四等分處．21．已知數(shù)列中，，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知條件，求，再利用已知數(shù)列的前項和，求通項公式，再利用等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）可知，再利用錯位相減法求和.【詳解】（1）時，，得，,兩式相減，，則，又，，因此數(shù)列是以1首項，以3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，，所以，，

，所以，所以.22．設(shè)，分別是橢圓（）的左?右焦點，E的離心率為.短軸長為2.(1)求橢圓E的方程：(2)過點的直線l交橢圓E于A，B兩點，是否存在實數(shù)t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】(1)由條件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得橢圓E的方程：(2)當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程化簡可得，設(shè)，，可得，，由此證明，再證明當直線的斜率不存在時也成立，由此確定