2023年高考數(shù)學(xué)必做模擬卷-新高考Ⅱ考綱卷03（解析版）

PAGE12023年高考必做模擬卷—新高考Ⅱ考綱卷03一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)的模等于，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)的值為（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵則，，故選D。2．已知全集，集合，集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，，、、、，∴集合的個數(shù)為，故選D。3．在一次國際學(xué)術(shù)會議上，來自四個國家的五位代表被安排在一張圓桌就座，為了使他們能夠自由交談，事先了解到的情況如下：甲是中國人，還會說英語；乙是法國人，還會說日語；丙是英國人，還會說法語；丁是日本人，還會說漢語；戊是法國人，還會說德語；則這五位代表的座位順序應(yīng)為（）。A、甲乙丙丁戊B、甲丁丙乙戊C、甲丙戊乙丁D、甲戊丙丁乙【答案】C【解析】戊是法國人，還會說德語，只能用法語交流，則兩側(cè)只能是乙和丙，乙旁邊是丁，丙旁邊是甲，故選C。4．函數(shù)（）的圖像大致是（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】易得為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，故排除A，C，，顯然存在，使得當(dāng)時，，時，，即在上先增后減，排除D，故選B。5．下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖。其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為，且相鄰的圓都相切，、、、是其中四個圓的圓心，則（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】如圖所示，建立以、為一組基底的基向量，其中且、的夾角為，∴，，∴，故選B。6．已知數(shù)列滿足，，則（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】由得，∴數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴，∴，設(shè)的前項和為，則，兩邊同乘，得，兩個式子相減得，∴，∴，故選D。7．過點作雙曲線（，）的一條近線的平行線，交雙曲線的另一條漸近線于點，為坐標(biāo)原點，若銳角三角形的面積為，則該雙曲線的離心率為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】不妨設(shè)點在第一象限，如圖，由題意知，∴是以為頂角的等腰三角形，∵是銳角三角形，∴，即有，進而，由與，得，∴，即，∴，解得（舍）或，∴，故選A。8．在底面是邊長為的正方形的四棱錐中，點在底面的射影為正方形的中心，異面直線與所成角的正切值為，則四棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】由題意，四棱錐為正四棱錐，，如圖所示：∵，∴異面直線與所成的角為，取中點，則，∴，∵，∴，∴四棱錐的表面積，四棱錐的體積為，∴四棱錐的內(nèi)切球半徑，設(shè)四棱錐外接球的球心為，外接球的半徑為，則，∴，∴，∴，故選A。二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。9．設(shè)，，則以下不等式中恒成立的是（）。A、B、C、D、【答案】ACD【解析】A選項，，則，一定成立，B選項，舉反例，如取，時，左邊為，右邊為，不滿足左邊大于右邊，不成立，C選項，，當(dāng)時等號成立，一定成立，D選項，當(dāng)時左邊右邊，當(dāng)時左右兩邊都大于，比較它們平方即可，左右兩邊平方差為，則恒成立，故選ACD。10．已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)（，、、）的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于對稱，且越大圖像越靠近右邊，∴，BC錯誤，又越小數(shù)據(jù)越集中，圖像越瘦長，∴，AD正確，故選AD。11．如圖所示，在棱長為的正方體中，、分別為、的中點，則（）。A、直線與的夾角為B、平面平面C、點到平面的距離為D、若正方體每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面只能是三角形和六邊形【答案】ABD【解析】A選項，連結(jié)、，則為直線與，∴為等邊三角形，對，B選項，易得、，∴平面，∴平面平面，對，C選項，，又，∴點到平面的距離為，錯，D選項，通過圖像可知，對，故選ABD。12．已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）。A、函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是B、函數(shù)有且只有個零點C、存在正實數(shù)，使得成立D、對任意兩個正實數(shù)、，且，若，則【答案】ABD【解析】A選項，∵的定義域為，，令，解得，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，對，B選項，令，的定義域為，，恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，∴函數(shù)有且僅有一個零點，對，C選項，若，可得，令，的定義域為，則，令，的定義域為，則，令，解得，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，對，∴，∴恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)無最小值，∴不存在正實數(shù)，使得成立，錯，D選項，令，則、，令，則，∴在上單調(diào)遞減，則，即，令，由得，則，當(dāng)時，顯然成立，∴對任意兩個正實數(shù)、，且，若則，對，故選ABD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我校位同學(xué)報考了北京大學(xué)“強基計劃”第I專業(yè)組，并順利通過各項考核，已知位同學(xué)將根據(jù)綜合成績和志愿順序隨機地進入教學(xué)類?物理學(xué)類?力學(xué)類這三個專業(yè)中的某一個專業(yè)，則這三個專業(yè)都有我校學(xué)生的概率是________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）?！敬鸢浮俊窘馕觥繉⑽煌瑢W(xué)將根據(jù)綜合成績和志愿順序隨機地進入教學(xué)類?物理學(xué)類?力學(xué)類三個專業(yè)中的某一個專業(yè)，所有的不同分配方式有種，三個專業(yè)都有我校學(xué)生的情況有種不同分配方式，三個專業(yè)都有我校學(xué)生的概率：。14．已知的展開式中含與的項的系數(shù)的絕對值之比為，則的最小值為。【答案】【解析】的展開式中含項的系數(shù)為，含的項的系數(shù)為，則由題意得，即，則。15．設(shè)函數(shù)（，，，），將的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為。若，，且的最小正周期大于，則，。（本小題第一個空2分，第二個空3分）【答案】【解析】將的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），則，由題意可得，其中、，∴，、，又，∴，當(dāng)時，，此時不存在滿足題意的、，當(dāng)時，，此時存在滿足題意的、，∴，，，又，∴。16．銳角的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則的取值范圍為。【答案】【解析】由得，∴，又，即，∴，∴。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）在中，、、分別是角、、的對邊，。（1）求角的大?。唬?）若，，求的面積?！窘馕觥浚?）在中，，∵，∴由正弦定理得：，1分∴，整理得，2分∴由余弦定理得：，3分又，∴；4分（2）∵，，∴，又，5分∴由余弦定理得：，解得，7分∴由正弦定理得：，∴，9分∴的面積為。10分18．（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱臺中，已知上底面、下底面均為正三角形，且，。（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小。【解析】解法一：（1）取的中點，連接，在三棱臺中，∵，為的中點，∴，2分∴四邊形是平行四邊形，∴，，3分又，，∴，∴，∴，5分取的中點，連接，同理可得，又、是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴平面；6分（2）由（1）易知平面，∴為直線與平面所成角的余角，8分在中，，，∴是等腰直角三角形，10分∴，∴直線與平面所成角的大小為。12分解法二：（1）延長、、，交于一點，如圖，在三棱臺中，易知，∴與相似，又，，∴，2分∴，∴，同理可得，4分又，、平面，∴平面，即平面；6分（2）如圖，分別取、的中點、，連接、、，∵三棱臺的上底面、下底面均為正三角形，∴，，∵平面，∴，又，∴平面，設(shè)點到平面的距離為，分別過點、作的垂線，垂足分別為、，則平面，平面，且，易知，則，得，8分以為原點，、所在直線分別為、軸，過點且垂直于平面的直線為軸建立的空間直角坐標(biāo)系，9分如圖所示，則、、、，∴，，，10分設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，∴為平面的一個法向量，11分設(shè)直線與平面所成的角為，則，又，∴，即直線與平面所成角的大小為。12分19．（本小題滿分12分）在等差數(shù)列中，，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，且，。（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項和為，求（）的最大值與最小值。【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，1分則，2分解得，，3分∴，；4分（2）由（1）得，故，5分當(dāng)為奇數(shù)時，，隨的增大而減小，∴，6分當(dāng)為偶數(shù)時，，隨的增大而增大，∴，7分令，，則，故在時為單調(diào)遞增函數(shù)，9分故當(dāng)為奇數(shù)時，，10分當(dāng)為偶數(shù)時，，11分綜上所述，的最大值為，最小值為。12分20．（本小題滿分12分）為提升銷量，某電商在其網(wǎng)店首頁設(shè)置了一個“勇闖關(guān)，贏紅包”的游戲小程序，其游戲規(guī)則如下：在網(wǎng)頁上設(shè)置三個翻牌關(guān)卡，每個關(guān)卡翻牌結(jié)果只有兩種：（通過）與（失?。?，若買家通過這三關(guān)，則認(rèn)為闖關(guān)成功；若三關(guān)均未通過或只通過三關(guān)中的一關(guān)，則游戲失?。蝗羧P(guān)中恰好通過兩關(guān)，則允許參加復(fù)活環(huán)節(jié)。復(fù)活環(huán)節(jié)有兩個翻牌關(guān)卡，若兩關(guān)均通過，也認(rèn)為闖關(guān)成功，否則認(rèn)為闖關(guān)失敗。假定買家每一關(guān)通過的概率均為，且各關(guān)卡之間是否通過相互獨立。若闖關(guān)成功，則買家可贏得元的購物紅包。若闖關(guān)失敗，則可獲得元紅包，紅包均可直抵在該網(wǎng)店購物的貨款。某日有人參與了游戲且均在該網(wǎng)店消費。（1）求某買家參加這個游戲闖關(guān)成功的概率；（2）求該日所有買家所獲紅包總金額的數(shù)學(xué)期望；（3）假定該電商能從未中獎的買家的購物中平均獲利元/人，從中獎的買家的購物中平均獲利元/人（均不含所發(fā)紅包在內(nèi)）。試從數(shù)學(xué)期望的角度判斷該電商這一日通過游戲搞促銷活動是否合算，并說明理由。【解析】（1）買家通過三關(guān)的概率為，1分買家參加復(fù)活環(huán)節(jié)并闖關(guān)成功的概率為，2分∴買家闖關(guān)成功的概率；3分（2）由（1）可知，一名買家闖關(guān)成功的概率，設(shè)這名買家中闖關(guān)成功的人數(shù)為，則，且，5分∴的數(shù)學(xué)期望為，7分∴該日所有買家所獲紅包總金額的數(shù)學(xué)期望為：元；9分（3）設(shè)電商該日剔除紅包款后盈利元，則元，11分由此可見，該電商該日通過游戲搞促銷活動盈利較多，很合算。12分21．（本小題滿分12分）已知過點的橢圓：（）的左、右焦點分別為、，為橢圓上的任意一點，且、、成等差數(shù)列。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：交橢圓于、兩點，若點始終在以為直徑的圓外，求實數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?）∵、、成等差數(shù)列，∴，1分由橢圓定義得，∴，2分又橢圓過點，焦點在軸上，則，3分∴，截得，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；4分（2）設(shè)、，聯(lián)立方程，5分消去得：，恒成立，6分∴，，7分∴，8分