2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)

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2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

1．評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，填空題只設(shè)7分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格依照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次．

2．假使考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中至少4分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次．一、填空（共8小題，每題7分，共56分）

x?f?f?f?x??1．若函數(shù)f?x??且f(n)?x??f?，則f?99??1??．?????????????1?x2n1

101f???x??f?x??x1?x2，xf?2??x???x??f??f?x????x21?2x2

……

1?99x1故f?99??1??．

10f?99?．

2．已知直線L:x?y?9?0和圓M:2x2?2y2?8x?8y?1?0，點(diǎn)A在直線L上，B，C為

圓M上兩點(diǎn)，在?ABC中，?BAC?45?，AB過圓心M，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)范圍為．

?3，6?設(shè)A?a，9?a?，則圓心M到直線AC的距離d?AMsin45?，由直線AC與圓M相交，

34．2解得3≤a≤6．

得d≤

?y≥0?3．在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域M和N，M為?y≤x，N是隨t變化的區(qū)域，它由不等式

?y≤2?x?t≤x≤t?1所確定，t的取值范圍是0≤t≤1，則M和N的公共面積是函數(shù)f?t??．

12由題意知

f?t??S陰影部分面積?t2?t??S?AOB?S?OC?DS?B112?1?t2??1?t?

221??t2?t?

2

yACODFEBx《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料.ZXSX.COM版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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1111?????a?2023對(duì)一切正整數(shù)n都成立的最小正整數(shù)a的n?1n?22n?13值為．2023

111設(shè)f?n??．顯然f?n?單調(diào)遞減，則由f?n?的最大值????n?1n?22n?11f?1??a?2023，可得a?2023．

3

x2y25．橢圓2?2?1?a?b?0?上任意兩點(diǎn)P，Q，若OP?OQ，則乘積OP?OQ的最小值

ab為．2a2b222a?b設(shè)P?OPcos?，OPsin??，4．使不等式

?π?π????Q?OQcos????，OQsin?????．

2?2?????由P，Q在橢圓上，有

cos2?sin2???2①22abOP1sin2?cos2?②?2?22abOQ1①+②得

1111??2?2．22abOPOQ2a2b22a2b2于是當(dāng)OP?OQ?2時(shí)，OPOQ達(dá)到最小值2．

a?b2a?b2

6．若方程lgkx?2lg?x?1?僅有一個(gè)實(shí)根，那么k的取值范圍是．k?0或k?4

?kx?0???x?1?0?2??kx??x?1?當(dāng)且僅當(dāng)kx?0x?1?0x2??2?k?x?1?0

①②③

對(duì)③由求根公式得

1x1，x2??k?2?k2?4k?④

?2???k2?4k≥0?k≤0或k≥4．(ⅰ)當(dāng)k?0時(shí)，由③得?x1?x2?k?2?0?xx?1?0?12《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料.ZXSX.COM版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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所以x1，x2同為負(fù)根．?x?1?0又由④知?1

x?1?0?2所以原方程有一個(gè)解x1．

k?1?1．2?x?x?k?2?0(ⅲ)當(dāng)k?4時(shí)，由③得?12

?x1x2?1?0(ⅱ)當(dāng)k?4時(shí)，原方程有一個(gè)解x?所以x1，x2同為正根，且x1?x2，不合題意，舍去．綜上可得k?0或k?4為所求．

7．一個(gè)由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從其次行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個(gè)數(shù)之

和，最終一行僅有一個(gè)數(shù)，第一行是前100個(gè)正整數(shù)按從小到大排成的行，則最終一行的數(shù)是（可以用指數(shù)表示）101?298

易知：

(ⅰ)該數(shù)表共有100行；(ⅱ)每一行構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且公差依次為

d1?1，d2?2，d3?22，…，d99?298

(ⅲ)a100為所求．

設(shè)第n?n≥2?行的第一個(gè)數(shù)為an，則an?an?1?an?1?2n?2?2an?1?2n?2

n?3n?2?2??2an?2?2???2

n?4n?2n?2?22??2an?3?2???2?2?2

???23an?3?3?2n?2……

?2n?1a1??n?1??2n?2

??n?1?2n?2

故a100?101?298．

∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，8．某車站每天8且兩者到站的時(shí)間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為8∶108∶308∶50到站時(shí)刻9∶109∶309∶50111概率623一旅客8∶20到車站，則它候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為（確切到分）．27旅客候車的分布列為1030507090候車時(shí)間（分）11111111???概率26626336候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為1111110??30??50??70??90??27

23361218《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料.ZXSX.COM版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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二、解答題

x2y21．（本小題總分值14分）設(shè)直線l:y?kx?m（其中k，m為整數(shù)）與橢圓??1交于

1612x2y2不同兩點(diǎn)A，B，與雙曲線??1交于不同兩點(diǎn)C，D，問是否存在直線l，使得

412????????向量AC?BD?0，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由．?y?kx?m?由?x2y2消去y化簡(jiǎn)整理得

??1??1612?3?4k?x22?8kmx?4m2?48?0

8km23?4k

設(shè)A?x1，y1?，B?x2，y2?，則x1?x2???1??8km??4?3?4k2??4m2?48??02①………………4分?y?kx?m?由?x2y2消去y化簡(jiǎn)整理得

??1??412?3?k?x22?2kmx?m2?12?0

2km3?k2

設(shè)C?x3，y4?，D?x4，y4?，則x3?x4??2???2km??4?3?k2??m2?12??02②………………8分

?????????0，所以?x4?x2???x3?x1??0，此時(shí)?y4?y2???y3??由于AC?BDy10?．由x1?x2?x3?x得4

8km2km．??3?4k23?k2所以2km?0或?41．由上式解得k?0或m?0．當(dāng)k?0時(shí)，由①和②得?223?4k3?k?23?m?23．因m是整數(shù)，所以m的值為?3，?2，?1，0，1，2，3．當(dāng)m?0，

由①和②得?3?k?3．因k是整數(shù)，所以k??1，0，1．于是滿足條件的直線共有9條．………14分

2．（本小題15分）已知p，q?q?0?是實(shí)數(shù)，方程x2?px?q?0有兩個(gè)實(shí)根?，?，數(shù)

列?an?滿足a1?p，a2?p2?q，an?pan?1?qan?2?n?3，4，??(Ⅰ)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式（用?，?表示）；

1(Ⅱ)若p?1，q?，求?an?的前n項(xiàng)和．

4方法一：

(Ⅰ)由韋達(dá)定理知????q?0，又????p，所以

an?pxn?1?qxn?2??????an?1???an?2，?n?3，4，5，??

整理得an??an?1???an?1??an?2?

2，??．所以?bn?是公比為?的等比數(shù)列．令bn?an?1??an，則bn?1??bn?n?1，數(shù)列?bn?的首項(xiàng)為：

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b1?a2??a1?p2?q??p??????????????????2．所以

bn??2??n??1?n?2，即

an?1??an??n?1???n?1，2，．所以

2，??．a(chǎn)n?1??an??n?1?n?1，????0，①當(dāng)??p2?4q?0時(shí)，a1?p?????2?，2，??an?1??an??n?1?n?1，變?yōu)閍n?1??an??n?1?n?1，2，??．整理得，

an?1?na2??a?數(shù)列?nn?成公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1??2．所以

??????an?n?1an2，??．所以，?1，?n?1，于是數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為

?n?2?1?n?1??n?1．

an??n?1??n；…………………5分②當(dāng)??p2?4q?0時(shí)，???，

an?1??an??n?1

???n?1??an??

???????an??n?1??n?1?n?1，2，??．

??????整理得

??n?2?n?1?an?1????an?2，??．?，?n?1，??????????n?1?所以，數(shù)列?an??成公比為?的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為

??????2?2?2?n?1?2a1?????????n?1．．所以an?????????????????n?1??n?1于是數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?．…………………10分

???11(Ⅱ)若p?1，q?，則??p2?4q?0，此時(shí)????．由第(Ⅰ)步的結(jié)果得，數(shù)列?an?42n?1?n?1的通項(xiàng)公式為an??n?1????n，所以，?an?的前n項(xiàng)和為

2?2?234nn?1sn??2?3???n?1?n

222221234nn?1sn?2?3?4????22222n2n?113n?3以上兩式相減，整理得sn??n?1

222n?3所以sn?3?n．…………………15分

2方法二：(Ⅰ)由韋達(dá)定理知????q?0，又????p，所以

a1????，a2??2??2???．

特征方程?2?p??q?0的兩個(gè)根為?，?．

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①當(dāng)????0時(shí)，通項(xiàng)an??A1?A2n??n?n?1，2，??由a1?2?，a2?3?2得

???A1?A2???2??22???A1?2A2???3?解得A1?A2?1．故an??1?n??n．……………5分②當(dāng)???時(shí)，通項(xiàng)an?A1?n?A2?n?n?1，由a1????，a2??2??2???得2，??．

??A1??A2??????2222A??A??????????12???解得A1?，A2?．故

????????n?1?n?1?n?1??n?1??an?．………………10分?????????(Ⅱ)同方法一．

3．（本小題總分值15分）求函數(shù)y?x?27?13?x?x的最大和最小值．函數(shù)的定義域?yàn)?0，13?.由于

y?x?x?27?13?x?x?27?13?2x?13?x?≥27?13?33?13

當(dāng)x?0時(shí)等號(hào)成立．故y的最小值為33?13．……………5分又由柯西不等式得y2??x?x?27?13?x?2

1??1≤??1???2x??x?27??3?13?x???121

3??2所以y≤11．……………………10分

由柯西不等式等號(hào)成立的條件，得4x?9?13?x??x?27，解得x?9．故當(dāng)x?9時(shí)等號(hào)

成立．因此y的最大值為11．……………………15分

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①當(dāng)????0時(shí)，通項(xiàng)an??A1?A2n??n?n?1，2，??由a1?2?，a2?3?2得

???A1?A2???2??22???A1?2A2???3?解得A1?A2?1．故an??1?n??n．………