初中數(shù)學(xué)每日一題練習(xí)題（含答案）

星期一(三角)2020年____月____日【題目1】(本小題滿分12分)已知a，b分別是△ABC內(nèi)角A，B的對邊，且bsin2A＝eq\r(3)acosAsinB，函數(shù)f(x)＝sinAcos2x－sin2eq\f(A,2)sin2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求A；(2)求函數(shù)f(x)的值域.星期二(數(shù)列)2020年____月____日【題目2】(本小題滿分12分)已知遞增數(shù)列{an}，a1＝2，其前n項和為Sn，且滿足3(Sn＋Sn－1)＝aeq\o\al(2,n)＋2(n≥2).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足log2eq\f(bn,an)＝n，求其前n項和Tn.

星期三(立體幾何)2020年____月____日【題目3】(本小題滿分12分)如圖在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1＝90°，BB1∥CC1，CC1＝B1C1＝2BB1＝2，D是CC1的中點.四邊形AA1C1C可以通過直角梯形BB1C1C以CC1為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B1－CC1－A1為120°.(1)若點E是線段A1B1上的動點，求證：DE∥平面ABC；(2)求二面角B－AC－A1的余弦值.星期四(概率統(tǒng)計)2020年____月____日【題目4】(本小題滿分12分)隨著生活水平和消費(fèi)觀念的轉(zhuǎn)變，“三品一標(biāo)”(無公害農(nóng)產(chǎn)品、綠色食品、有機(jī)食品和農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志)已成為不少人的選擇，為此某品牌植物油企業(yè)成立了有機(jī)食品快速檢測室.假設(shè)該品牌植物油每瓶含有機(jī)物A的概率為p(0<p<1)，需要通過抽取少量油樣化驗來確定該瓶油中是否含有有機(jī)物A，若化驗結(jié)果呈陽性則含A，呈陰性則不含A.若多瓶該種植物油檢驗時，可逐個抽樣化驗，也可將若干瓶植物油的油樣混在一起化驗，僅當(dāng)至少有一瓶油含有有機(jī)物A時混合油樣呈陽性，若混合油樣呈陽性，則該組植物油必須每瓶重新抽取油樣并全部逐個化驗.(1)若p＝eq\f(1,3)，試求3瓶該植物油混合油樣呈陽性的概率；(2)現(xiàn)有4瓶該種植物油需要化驗，有以下兩種方案：方案一：均分成兩組化驗；方案二：混在一起化驗；請問哪種方案更適合(即化驗次數(shù)的期望值更小)，并說明理由.星期五(函數(shù)與導(dǎo)數(shù))2020年____月____日【題目5】(本小題滿分12分)設(shè)f(x)＝ex(lnx－a)(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…).(1)若y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝2ex＋b，求a，b的值.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.星期六(解析幾何)2020年____月____日【題目6】(本小題滿分12分)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，設(shè)點F1，F(xiàn)2與橢圓短軸的一個端點構(gòu)成斜邊長為4的直角三角形.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A，B，P為橢圓C上三點，滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))，記線段AB中點Q的軌跡為E，若直線l：y＝x＋1與軌跡E交于M，N兩點，求|MN|.星期日(選考內(nèi)容)2020年____月____日【題目7】在下面兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個題目計分.1.(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，若以該直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ－4cosθ＝0.(1)求直線l與曲線C的普通方程；(2)已知直線l與曲線C交于A，B兩點，設(shè)M(2，0)，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|MA|)－\f(1,|MB|)))的值.2.(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講.設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋3|－|2x－a|，a∈R.(1)若不等式f(x)≤－5的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))對稱，求實數(shù)a的值.星期一(三角)2020年____月____日【題目1】(本小題滿分12分)已知a，b分別是△ABC內(nèi)角A，B的對邊，且bsin2A＝eq\r(3)acosAsinB，函數(shù)f(x)＝sinAcos2x－sin2eq\f(A,2)sin2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求A；(2)求函數(shù)f(x)的值域.解(1)在△ABC中，bsin2A＝eq\r(3)acosAsinB，由正弦定理得，sinBsin2A＝eq\r(3)sinAcosAsinB，又A，B為△ABC的內(nèi)角，故sinAsinB≠0，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\r(3)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)由A＝eq\f(π,3)，∴函數(shù)f(x)＝sinAcos2x－sin2eq\f(A,2)sin2x＝eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(1,4)sin2x＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)·eq\f(1,2)sin2x＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x－\f(\r(3),2)cos2x))＋eq\f(\r(3),4)＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),4)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，∴eq\f(\r(3)－2,4)≤－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),4)≤eq\f(\r(3),2)，所以f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－2,4)，\f(\r(3),2))).星期二(數(shù)列)2020年____月____日【題目2】(本小題滿分12分)已知遞增數(shù)列{an}，a1＝2，其前n項和為Sn，且滿足3(Sn＋Sn－1)＝aeq\o\al(2,n)＋2(n≥2).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足log2eq\f(bn,an)＝n，求其前n項和Tn.解(1)因為3(Sn＋Sn－1)＝aeq\o\al(2,n)＋2(n≥2)，所以3(Sn－1＋Sn－2)＝aeq\o\al(2,n－1)＋2(n≥3).兩式相減得3(an＋an－1)＝(an＋an－1)(an－an－1)，由遞增數(shù)列{an}，a1＝2，得an－an－1＝3(n≥3).由題意得3(a1＋a2＋a1)＝aeq\o\al(2,2)＋2，且3(a1＋a2＋a3＋a1＋a2)＝aeq\o\al(2,3)＋2，解之得a2＝5，a3＝8.由等差數(shù)列的通項公式得an＝2＋3(n－1)＝3n－1，上式對n＝1，2也成立，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1.(2)數(shù)列{bn}滿足log2eq\f(bn,an)＝n，可得bn＝(3n－1)·2n，前n項和Tn＝2·2＋5·22＋8·23＋…＋(3n－1)·2n，2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋…＋(3n－1)·2n＋1，兩式相減得，－Tn＝4＋3(22＋23＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1＝4＋3·eq\f(4（1－2n－1）,1－2)－(3n－1)·2n＋1，化簡可得Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8.

星期三(立體幾何)2020年____月____日【題目3】(本小題滿分12分)如圖在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1＝90°，BB1∥CC1，CC1＝B1C1＝2BB1＝2，D是CC1的中點.四邊形AA1C1C可以通過直角梯形BB1C1C以CC1為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B1－CC1－A1為120°.(1)若點E是線段A1B1上的動點，求證：DE∥平面ABC；(2)求二面角B－AC－A1的余弦值.(1)證明如圖所示，連接B1D，DA1.由已知可得BB1綉eq\f(1,2)CC1綉CD，∴四邊形B1BCD是平行四邊形，∴B1D∥BC.又BC?平面ABC，B1D?平面ABC；∴B1D∥平面ABC.同理可得DA1∥平面ABC.又A1D∩DB1＝D，∴平面B1DA1∥平面ABC.且DE?平面B1DA1，∴DE∥平面ABC.(2)解作C1M⊥C1B1交A1B1于點M，分別以C1M，C1B1，C1C為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則C1(0，0，0)，A1(eq\r(3)，－1，0)，B(0，2，1)，C(0，0，2)，A(eq\r(3)，－1，1).eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1，－1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，2，－1)，eq\o(C1C,\s\up6(→))＝(0，0，2).設(shè)平面ABC的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(CA,\s\up6(→))＝0，,m·\o(CB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x1－y1－z1＝0，,2y1－z1＝0.))取m＝(eq\r(3)，1，2).設(shè)平面A1ACC1的一個法向量為n＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(CA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(C1C,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x2－y2－z2＝0，,2z2＝0.))取n＝(1，eq\r(3)，0).∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(2\r(3),\r(8)×\r(4))＝eq\f(\r(6),4).∴二面角B－AC－A1的余弦值是eq\f(\r(6),4).星期四(概率統(tǒng)計)2020年____月____日【題目4】(本小題滿分12分)隨著生活水平和消費(fèi)觀念的轉(zhuǎn)變，“三品一標(biāo)”(無公害農(nóng)產(chǎn)品、綠色食品、有機(jī)食品和農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志)已成為不少人的選擇，為此某品牌植物油企業(yè)成立了有機(jī)食品快速檢測室.假設(shè)該品牌植物油每瓶含有機(jī)物A的概率為p(0<p<1)，需要通過抽取少量油樣化驗來確定該瓶油中是否含有有機(jī)物A，若化驗結(jié)果呈陽性則含A，呈陰性則不含A.若多瓶該種植物油檢驗時，可逐個抽樣化驗，也可將若干瓶植物油的油樣混在一起化驗，僅當(dāng)至少有一瓶油含有有機(jī)物A時混合油樣呈陽性，若混合油樣呈陽性，則該組植物油必須每瓶重新抽取油樣并全部逐個化驗.(1)若p＝eq\f(1,3)，試求3瓶該植物油混合油樣呈陽性的概率；(2)現(xiàn)有4瓶該種植物油需要化驗，有以下兩種方案：方案一：均分成兩組化驗；方案二：混在一起化驗；請問哪種方案更適合(即化驗次數(shù)的期望值更小)，并說明理由.解(1)設(shè)X為3瓶該植物油中油樣呈陽性的瓶數(shù)，所求的概率為P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(19,27)，所以3瓶該種植物油的混合油樣呈陽性的概率為eq\f(19,27).(2)設(shè)q＝1－p，則0<q<1.方案一：設(shè)所需化驗的次數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為2，4，6次，P(Y＝2)＝q4，P(Y＝4)＝Ceq\o\al(1,2)(1－q2)q2，P(Y＝6)＝(1－q2)2，E(Y)＝2×q4＋4×Ceq\o\al(1,2)(1－q2)q2＋6×(1－q2)2＝6－4q2.方案二：設(shè)所需化驗的次數(shù)為Z，則Z的所有可能取值為1，5次，P(Z＝1)＝q4，P(Z＝5)＝1－q4，E(Z)＝1×q4＋5×(1－q4)＝5－4q4.因為E(Y)－E(Z)＝6－4q2－(5－4q4)＝(2q2－1)2≥0，即E(Y)≥E(Z)，所以方案二更適合.星期五(函數(shù)與導(dǎo)數(shù))2020年____月____日【題目5】(本小題滿分12分)設(shè)f(x)＝ex(lnx－a)(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…).(1)若y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝2ex＋b，求a，b的值.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)因為f′(x)＝ex(lnx－a)＋ex·eq\f(1,x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)－a))，所以由題意，得f′(1)＝e(1－a)＝2e，解得a＝－1.所以f(1)＝e(ln1－a)＝e，由切點(1，e)在切線y＝2ex＋b上，得e＝2e＋b，b＝－e，故a＝－1，b＝－e.(2)由題意可得f′(x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)－a))≤0在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上恒成立.因為ex>0，所以只需lnx＋eq\f(1,x)－a≤0，即a≥lnx＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上恒成立.令g(x)＝lnx＋eq\f(1,x).因為g′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x－1,x2)，由g′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))1(1，e)g′(x)－0＋g(x)極小值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝lneq\f(1,e)＋e＝e－1，g(e)＝1＋eq\f(1,e)，因為e－1>1＋eq\f(1,e)，所以g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝e－1，所以a≥e－1.故實數(shù)a的取值范圍是[e－1，＋∞).星期六(解析幾何)2020年____月____日【題目6】(本小題滿分12分)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，設(shè)點F1，F(xiàn)2與橢圓短軸的一個端點構(gòu)成斜邊長為4的直角三角形.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A，B，P為橢圓C上三點，滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))，記線段AB中點Q的軌跡為E，若直線l：y＝x＋1與軌跡E交于M，N兩點，求|MN|.解(1)由已知得2c＝4，b＝2，故c＝2，a＝2eq\r(2).故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)法一設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x1＋\f(4,5)x2，\f(3,5)y1＋\f(4,5)y2))，故點P坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x1＋\f(4,5)x2，\f(3,5)y1＋\f(4,5)y2)).由于點P在橢圓C上，故有eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x1＋\f(4,5)x2))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)y1＋\f(4,5)y2))eq\s\up12(2)＝1，eq\f(9,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),8)＋\f(yeq\o\al(2,1),4)))＋eq\f(16,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,2),8)＋\f(yeq\o\al(2,2),4)))＋eq\f(24,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2,8)＋\f(y1y2,4)))＝1，即eq\f(9,25)＋eq\f(16,25)＋eq\f(24,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2,8)＋\f(y1y2,4)))＝1，即eq\f(x1x2,8)＋eq\f(y1y2,4)＝0.令線段AB的中點坐標(biāo)為Q(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))因A，B在橢圓C上，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),8)＋\f(yeq\o\al(2,1),4)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),8)＋\f(yeq\o\al(2,2),4)＝1，))相加有eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),8)＋eq\f(yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2),4)＝2.故eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,8)＋eq\f(（y1＋y2）2－2y1y2,4)＝2，由于eq\f(x1x2,8)＋eq\f(y1y2,4)＝0，故eq\f(（2x）2,8)＋eq\f(（2y）2,4)＝2，即Q點的軌跡E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,y＝x＋1，))得3x2＋4x－2＝0.設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，則x3＋x4＝－eq\f(4,3)，x3·x4＝－eq\f(2,3).故|MN|＝eq\r(1＋k2)|x3－x4|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x3＋x4）2－4x3x4)＝eq\f(4\r(5),3).法二設(shè)A(2eq\r(2)cosα，2sinα)，B(2eq\r(2)cosβ，2sinβ)，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6\r(2)cosα＋8\r(2)cosβ,5)，\f(6sinα＋8sinβ,5)))，故點P坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6\r(2)cosα＋8\r(2)cosβ,5)，\f(6sinα＋8sinβ,5))).∵點P在橢圓上，∴(3cosα＋4cosβ)2＋(3sinα＋4sinβ)2＝25，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，∴cos(α－β)＝0，∴α－β＝eq\f(π,2)，∴B(2eq\r(2)sinα，－2cosα)，∴AB中點Q的坐標(biāo)為(eq\r(2)cosα＋eq\r(2)sinα，sinα－cosα)，設(shè)Q的點坐標(biāo)為(x，y)，∴x＝eq\r(2)cosα＋eq\r(2)sinα，y＝sinα－cosα，∴eq\f(x2,2)＝cos2α＋2cosαsinα＋sin2α＝1＋2cosαsinα，y2＝cos2α－2cosαsinα＋sin2α＝1－2cosαsinα，∴eq\f(x2,2)＋y2＝2，即線段AB中點Q的軌跡為E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.設(shè)M，N兩點的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,y＝x＋1，))消y，整理得3x2＋4x－2＝0，∴x1＋x2＝－eq\f(4,3)，x1x2＝－eq\f(2,3)，∴|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(2)×eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(4\r(5),3).星期日(選考內(nèi)容)2020年____月____日【題目7】在下面兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個題目計分.1.(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參