多元統(tǒng)計分析第三章

多元統(tǒng)計分析第三章第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四本章學(xué)習(xí)目標(biāo)熟練掌握多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想、基本步驟以及統(tǒng)計量的選取。掌握Hotelling分布和Wilks分布的定義。會運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)的方法解決實(shí)際的問題。第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)檢驗(yàn)的步驟第一步：提出待檢驗(yàn)的假設(shè)和；第二步：給出檢驗(yàn)的統(tǒng)計量及它服從的分布；第三步：給定檢驗(yàn)水平，查統(tǒng)計量的分布表，確定臨界值，從而得到否定域；第四步：根據(jù)樣本觀測值計算出統(tǒng)計量的值，看是否落入否定域中，以便對待判假設(shè)檢驗(yàn)做出決策。第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四3.1均值向量的檢驗(yàn)Hotelling分布均值向量的檢驗(yàn)單個正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)協(xié)差陣已知時的檢驗(yàn)協(xié)差陣未知時的檢驗(yàn)兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)協(xié)差陣相等時協(xié)差陣不等時多個正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四3.1均值向量的檢驗(yàn)

1Hotelling分布⑴定義：設(shè)則統(tǒng)計量的分布為非中心Hotelling

分布，記為當(dāng)，稱服從（中心）Hotelling分布，記為。（這個統(tǒng)計量的分布首先由HaroldHotelling提出來的，我國著名統(tǒng)計學(xué)家許寶騄先生在1938年用不同的方法也導(dǎo)出了此分布的密度函數(shù)）

第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四在一元統(tǒng)計中，若來自總體的樣本，則統(tǒng)計量：

其中

顯然，

與上面給出的統(tǒng)計量形式類似。分布是一元統(tǒng)計中分布的推廣。第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

⑵基本性質(zhì)：定理若令，則第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2均值向量的檢驗(yàn)

設(shè)元正態(tài)總體，從總體中抽取容量為的樣本

⑴已知時均值向量的檢驗(yàn)

檢驗(yàn)統(tǒng)計量：

給定檢驗(yàn)水平，查分布表，可確定出臨界值，再用樣本值計算出，判斷是否接受。

思考：統(tǒng)計量的選取，聯(lián)系一元統(tǒng)計為什么取這樣的統(tǒng)計量；二這個統(tǒng)計量為什么服從這樣的分布。

第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

⑵未知時均值向量的檢驗(yàn)

檢驗(yàn)統(tǒng)計量：

其中給定檢驗(yàn)水平，查分布表，確定出臨界值,判斷是否接受原假設(shè)。統(tǒng)計量的選?。寒?dāng)未知時，用的無偏估計來代替，而樣本離差陣第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

Hotelling第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四3協(xié)差陣相等時，兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)

（1）有共同協(xié)差陣時檢驗(yàn)統(tǒng)計量：

給出檢驗(yàn)水平，查表，確定出臨界值。

思考：這個統(tǒng)計量當(dāng)時是我們學(xué)習(xí)過的三大統(tǒng)計量中的哪一個？第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

檢驗(yàn)統(tǒng)計量：

其中：給定檢驗(yàn)水平，做出判斷第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

下述假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計量的選取和前面的思路是一樣的，只給出統(tǒng)計量和分布。

4協(xié)差陣不等時，兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)

分兩種情況：

⑴

令檢驗(yàn)統(tǒng)計量：第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

⑵，不妨假設(shè)令檢驗(yàn)統(tǒng)計量：第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四5多個正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)復(fù)習(xí)一元方差分析Wilks分布多個正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四5多個正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)⑴復(fù)習(xí)一元方差分析（單因素方差分析）多元方差分析是一元方差分析的推廣，先復(fù)習(xí)一元方差分析。第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

⑵Wilks分布

在一元總體中，方差是刻劃隨機(jī)變量分散程度的一個重要特征，而方差概念在多變量情況下變?yōu)閰f(xié)差陣。使用一個數(shù)量指標(biāo)來反映協(xié)差陣所體現(xiàn)的分散程度的方法很多，我們用行列式這種方法。第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

定義1

若，則稱協(xié)差陣的行列式為的廣義方差。稱為樣本廣義方差。其中。

定義2

若且和相互獨(dú)立，則稱為Wilks統(tǒng)計量，的分布稱為Wilks分布，其中為自由度在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常把統(tǒng)計量化為統(tǒng)計量進(jìn)而化為統(tǒng)計量，利用統(tǒng)計量來解決多元統(tǒng)計分析中有關(guān)檢驗(yàn)問題。

第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

①

得到下面的關(guān)系式：

②

第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四對一些特殊的統(tǒng)計量可以化為統(tǒng)計量，而當(dāng)，可用統(tǒng)計量或統(tǒng)計量來近似表示。第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

⑶多個正態(tài)總體均值向量檢驗(yàn)

第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

給定檢驗(yàn)水平,查Wilks分布表，確定臨界值，作出判斷。當(dāng)查Wilks分布表不方便時，可用的或來近似。

想一想：Wilks分布與，的關(guān)系。

第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

3.2協(xié)差陣的檢驗(yàn)一個正態(tài)總體協(xié)差陣檢驗(yàn)多個協(xié)差陣相等檢驗(yàn)第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

1一個正態(tài)總體協(xié)差陣檢驗(yàn)

第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2.多個協(xié)差陣相等檢驗(yàn)

第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

例1

人的出汗多少與人體內(nèi)鈉和鉀的含量有一定的關(guān)系。今測20名健康成年女性的出汗多少其數(shù)據(jù)如下：第30頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四