復(fù)變函數(shù)課件第二節(jié)復(fù)平面上的點集

復(fù)變函數(shù)課件第二節(jié)復(fù)平面上的點集第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四1基本概念:

a的r鄰域定義:

以a為圓心,r為半徑的圓盤U(a,r)定義為：以a為圓心，r為半徑的閉圓盤定義為：第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四極限點、內(nèi)點、邊界點:中有無窮個點，則稱a為E的極限點；,則稱a為E的內(nèi)點；中既有屬于E的點，又有不屬于E的點，則稱a為的E邊界點；集E的全部邊界點所組成的集合稱為E的邊界，記為第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四閉包、孤立點、開集、閉集:稱為D的閉包，記為若對存在一個r>0，使得則稱a為的E孤立點（是邊界點但不是聚點）；開集：所有點為內(nèi)點的集合；閉集：或者沒有聚點，或者所有聚點都屬于它；1、任何集合的閉包一定是閉集；2、如果存在r>0

，使得，則稱E是有界集，否則稱E是無界集；3、復(fù)平面上的有界閉集稱為緊集。第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四區(qū)域的例子:例1、圓盤U(a,r)是有界開集；閉圓盤是有界閉集；例2、集合{z||z-a|=r}是以為a心，r為半徑的圓周，它是圓盤U(a,r)和閉圓盤的邊界。例3、復(fù)平面、實軸、虛軸是無界集，復(fù)平面是無界開集。例4、集合E={z|0<|z-a|<r}是去掉圓心的圓盤。圓心a邊界點，它是E邊界的孤立點，是集合E的聚點。第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四無窮遠點的鄰域:對一切r>0,集合稱為無窮遠點的一個r鄰域。類似地，我們可以定義聚點、內(nèi)點、邊界點與孤立點，開集、閉集等概念。我們也稱擴充復(fù)平面為復(fù)平面的一點緊化。第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四2區(qū)域、曲線:復(fù)平面C上的集合D，如果滿足：（1）D是開集；（2）D中任意兩點可以用有限條相銜接的線段所構(gòu)成的折線連起來，而使這條折線上的所有點完全屬于D。則稱D是一個區(qū)域。結(jié)合前面的定義，可以定義有有界區(qū)域、無界區(qū)域。第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四連通性:性質(zhì)（2）我們稱為連通性，即區(qū)域是連通的開集。區(qū)域D內(nèi)及其邊界上全部點所組成的集稱為閉區(qū)域。

第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四擴充復(fù)平面:在擴充復(fù)平面上，不含無窮遠點的區(qū)域的定義同上；含無窮遠點的區(qū)域是C上的一個區(qū)域與無窮遠點的一個鄰域的并集。注意：加上無窮遠點后，許多性質(zhì)將有很多變化。第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四曲線:設(shè)已給如果Rez(t)和Imz(t)都是閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)，則稱這些點組成集合為一條連續(xù)曲線。如果對上任意不同兩點t及s，但不同時是的端點，我們有:即是一條除端點外不自交的連續(xù)曲線，那么上述集合稱為一條簡單連續(xù)曲線，或若爾當曲線。若還有z(a)=z(b)，則稱為一條簡單連續(xù)閉曲線，或約當閉曲線。第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四約當（Jordan）定理:約當定理：任意一條約當閉曲線把整個復(fù)平面分成兩個沒有公共點的區(qū)域：一個有界的稱為內(nèi)區(qū)域，一個無界的稱為外區(qū)域。第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四光滑曲線:光滑曲線：如果Rez(t)和Imz(t)都在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且有連續(xù)的導函數(shù)，在[a,b]上，其導函數(shù)恒不為零，則稱此曲線為一條光滑曲線；類似地，可以定義分段光滑曲線。第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四區(qū)域的連通性:設(shè)D是一個區(qū)域，在復(fù)平面C上，如果D內(nèi)任何簡單閉曲線所圍成的內(nèi)區(qū)域中每一點都屬于D，則稱D是單連通區(qū)域;

否則稱D是多連通區(qū)域。第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四例1:集合為半平面，它是一個單連通無界區(qū)域，其邊界為直線：第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四例2、集合為一個垂直帶形，它是一個單連通無界區(qū)域，其邊界為兩條直線：第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四例3、集合為一角形，它是一個單連通無界區(qū)域，其邊界為半射線：第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四例4、集合:

為一個圓環(huán)，它是一個多連通有界區(qū)域其邊界為圓：第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期四例5、在擴充復(fù)平面上，集合為單連通的無界區(qū)域，其邊界分別