111111工程力學答案 高斌主編

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第一章靜力學基礎(chǔ)知識

思考題：1.×;2.√;3.√;4.√;5.×;6.×;7.√;8.√

習題一

1．根據(jù)三力匯交定理，畫出下面各圖中A點的約束反力方向。解：（a）桿AB在A、B、C三處受力作用。

?????R由于力p和B的作用線交于點O。

如圖（a）所示，根據(jù)三力平衡匯交定理，

可以判斷支座A點的約束反力必沿通過A、O兩點的連線。

?????R（b）同上。由于力p和B的作用線

?????T解：（a）取桿AB為研究對象，桿除受力p外，在B處受繩索作用的拉力B，在A????????NN和E兩處還受光滑接觸面約束。約束力A和E的方向分別沿其接觸表面的公法線，????N并指向桿。其中力E與桿垂直，

????N力A通過半圓槽的圓心O。AB桿受力圖見下圖（a）。

交于O點，根據(jù)三力平衡匯交定理，可判斷A點的約束反力方向如下圖（b）所示。

2．不計桿重，畫出以下各圖中AB桿的受力圖。????????NN(b)由于不計桿重，曲桿BC只在兩端受鉸銷B和C對它作用的約束力B和C，

故曲桿BC是二力構(gòu)件或二力體，此兩力的作用線必需通過B、C兩點的連線，且????????NB=?NC。研究桿AB，桿在A、B兩點受到約束反力NA和NB，以及力偶m的作用而

????????NN平衡。根據(jù)力偶的性質(zhì)，A和B必組成一力偶。

??????TT(d)由于不計桿重，桿AB在A、C兩處受繩索作用的拉力A和C，在B點受到支

??????????NTT座反力B。A和C相交于O點，

根據(jù)三力平衡匯交定理，

????N可以判斷B必沿通過

B、O兩點的連線。

見圖(d).

其次章

力系的簡化與平衡

思考題：1.√;2.×;3.×;4.×;5.√;6.×;7.×;8.×;9.√.

1．平面力系由三個力和兩個力偶組成，它們的大小和作用位置如圖示，長度單位為cm，求此力系向O點簡化的結(jié)果，并確定其合力位置。

???RR解：設(shè)該力系主矢為R?，其在兩坐標軸上的投影分別為x、y。由合力投影定

理有：

Rx??xi?1.5?3=-1.5kN

Ry??yi??2kNR??(?xi)2?(?yi)2?2.5kNsin???yi/R???0.8cos???xi/R???0.6；

??233?

由合力矩定理可求出主矩：

???M0??M0(Fi)?3?0.3?103?1500?0.2?100?80?2000?0.5??580??m

?合力大小為：R?R'?2.5kN，方向??233

2．

580?d?M0?/R2500?0.232m?23.2cm，位于O點的右側(cè)。

位置：???25火箭沿與水平面成角的方向作勻速直線運動，如下圖?；鸺耐屏1?100kN與運動方向成??5?角。F如火箭重P?200kN，求空氣動力2和它與飛

行方向的交角?。

解：火箭在空中飛行時，若只研究它的運行軌道問題，可將火箭作為質(zhì)點處理。這時畫出其受力和坐標軸x、y如下圖所示，可列出平衡方程。?y?0；F

2?Gcos(???)?0?F?Gcos30?173kN2故空氣動力??F??90???952由圖示關(guān)系可得空氣動力與飛行方向的交角為。4．梁AB的支承和荷載如圖，CB?AB，梁的自重不計。則其支座B的反力

大小為多少？

解：梁受力如下圖：

由

RB???MA(F)?0得：

22?1?40??4?RBsin30??4?022R?502?1?69.7kN解得；B?4?2?1?10?40?5．起重機構(gòu)架如圖示，尺寸單位為cm，滑輪直徑為d?20cm，鋼絲繩的傾斜部分平行于BE桿，吊起的荷載Q?10kN，其它重量不計。求固定鉸鏈支座A、B的反力。

解：先研究桿AD如圖(a)(a)(b)由幾何關(guān)系可知：由

tan?????MA(F)?0A3310sin??CD?4，5，sin?，

YD?800?Qsin?(800?CD)?0

?Qsin??YD?0

Y??5.875kN，YA??0.125kN

解得：D再研究整體，受力如圖(b),由

?Y?0，Y?Y?0，Y?Y?Q?0?X?0，X?X?0

???M(F)?0，X?600?Q?800?300?10??0

ABABAB解得：BkN，AkN，BkN

6．平面桁架的支座和荷載如下圖，求桿1，2和3的內(nèi)力。解：用截面法，取CDF部分，受力如圖(b),Y?10.125X??18.5X?18.5由?X?0，?F???MD(F)?03?02?aF?aF2?0，32F??F2F?033解得：，（壓）

再研究接點C，受力如圖（c）有

??M(?FF)?0aaF1??F2??023，4F1??F9（壓）解得：1。8.圖示夾鉗夾住鋼管,已知鉗口張角為20,問鋼管與夾鉗間的靜摩擦因數(shù)

至少應(yīng)為多少才夾得住而不至滑落?

解:取鋼管為研究對象,受力如圖.列出平衡方程:?F?F?F1'cos10??N1cos80??N1'cos80??0①

'''N?NF?F1111根據(jù)結(jié)構(gòu)的對稱性及F?F知:,②

?1?X?0，F(xiàn)cos10''F?fNF?fN1111鋼管處于臨界狀態(tài)時:,③cos80?f??0.176?cos10聯(lián)立可解得:既鋼管與夾鉗的靜摩擦因數(shù)至少應(yīng)為0.176才夾得住而不至滑落。

10．桿子的一端A用球鉸鏈固定在地面上，桿子受到30kN的水平力的作用，用兩根鋼索拉住，使桿保持在鉛直位置，求鋼索的拉力

解：研究豎直桿子，受力如圖示。

FT1、FT2和A點的約束力。

???M(F)?030?4?9FT2cos?sin??0由?Xi，①

????MY(Fi)?0?6FT1?FT2cos?cos??0

，

②

?X?0，F(xiàn)cos?cos??X?F?0③?Y?0，Y?Fcos?sin??30?0④?Z?0，?Fsin??Z?0⑤

T2AT1AT2T2A

cos??由三角關(guān)系知：59?0.486sin???0.874106106，sin??0.6，cos??0.8⑥

將⑥代入①得：將將

FT2?45.8kN

FT2?45.8kN代入②可得：FT1?26.7kNFT1，F(xiàn)T2分別代入③、④、⑤可得：

XA?8.90kN，YA?16.67kN，ZA?40.00kN

???F?8.90i?16.67j?40.00k（kN）既NA14．已知木材與鋼的靜滑動摩擦因數(shù)為s，動滑輪摩擦因數(shù)為自卸貨車車廂提升多大角度時，才能使重的木箱開始發(fā)生滑動？

解：取木材為研究對象，受力如下圖由

f?0.6fd?0.4，求

?X?0，F(xiàn)?psin??0（1）?Y?0，N?pcos??0（2）

SS式中S（3）

聯(lián)立（1）、（2）、（3）可得：

F?FNtan??fS?0.6，??arctan0.6?31?第三章點的合成運動

判斷題：

1．√；2.×;3.√

習題三

1．指出下述狀況中絕對運動、相對運動和牽連運動為何種運動？畫出在圖示的牽連速度。定系固結(jié)于地面；

（1）.圖（a）中動點是車1，動系固結(jié)于車2；（2）.圖（b）中動點是小環(huán)M，動系固結(jié)于桿OA；

（3）.圖（c）中動點是L形狀的端點A，動系固結(jié)于矩形滑塊M；（4）.圖（d）中動點是腳蹬M，動系固系于自行車車架；

（5）.圖（e）中動點是滑塊上的銷釘M，動系固結(jié)于L形桿OAB。VeAMO(b)

(a)(c)

(d)

解：（1）絕對運動：向左做直線運動；相對運動：斜相上方的直線運動；牽連運動：向下直線運動。牽連速度e如圖（a）。

（2）絕對運動；圓周運動；相對運動：沿OA的直線運動；牽連運動：繞O的定軸轉(zhuǎn)動。牽連速度e如圖（b）。

（3）絕對運動：以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓周運動；相對速度：沿BC的直線運動；牽連運動：豎直方向的直線運動；牽連運動

vvve如圖（c）

（4）絕對運動：曲線運動

v（旋輪線）；相對速度：繞O的圓周運動；牽連運動：水平向右的直線運動。牽連速度e如圖（d）。

（5）絕對運動：豎直方向的直線運動；相對運動：沿AB的直線運動；牽連運動：繞O的圓周運動。牽連速度e如圖（e）。(e)v?0?5rad/s轉(zhuǎn)動，滑塊E使刨床枕沿

OO?L?3r。試求OA水平日O1B角速度和

水平支承面往復運動。已知OA=r=15cm,14.牛頭刨床急回機構(gòu)如圖示，輪O以角速度刨床速度。

解：（1）先求1的角速度。取滑塊A為動點，動系與搖桿機架相固連。因而有：

絕對運動：滑塊A相對與機架的圓周運動；相對運動：滑塊A沿槽作直線運動；

OBO1B相固連。定系與

O1B相對于機架作定軸轉(zhuǎn)動。

??????????V?VeA?VrA

根據(jù)速度合成定理，動點A的絕對速度aA牽連運動：隨搖桿

式中各參數(shù)為：速度大小方向????VaAOA?W0???VeA未知???VrA未知沿桿?OA桿?O1A向上由圖示的速度平行四邊形得：O1BVeA?VaAcos??O1A??0cos?故搖桿O1B的角速度：2wo1B1?5??1.25rad/s?VeA/o1A?w0cos?4。

（2）求刨枕速度，即滑塊E的速度取滑塊E為動點，動系與搖桿1相連接，定系與機架相固連。因而有：絕對運動：滑塊E沿滑道作水平直線運動；相對運動：滑塊E沿斜滑槽作直線運動；

OBO1B相對于機架作定軸轉(zhuǎn)動。????????????V?VeE?VrE

根據(jù)速度合成定理：aE牽連運動：隨搖桿式中各參數(shù)為：速度大小方向????VaE????VeEO1C?WO1B?桿O1B偏左上????VrE未知未知水平E?O1由圖示速度平行四邊形可得：桿CD沿鉛直導槽運動。在圖示位置時，∠AOC=?，試求桿CD的速度。

4?0.15?1.25O1C?wo1BV3VaE?eE??0.866m/s,方向水平相左。sin?sin?26．L形直O(jiān)AB以角速度?繞O軸轉(zhuǎn)動，OA?l，OA垂直于AB；通過滑套C推動

?解：取DC桿上的C為動點，OAB為動系，定系固結(jié)在支座上。

?????????V?Ve?Vr，作出速度平行四邊形，如圖示：由aOAl????Ve?OC??cos?cos?l?l?sin??tan??Va?Ve?tan?cos?cos2?l?sin??2V?Vcos?CDa即：?7．

圖示平行連桿機構(gòu)中，?O1A?O1B?100mm,O1O2?AB。曲柄O1A以勻角速度??2rad/s繞O1軸轉(zhuǎn)動，通過連桿AB上的套筒C帶動桿CD沿垂直于O1O2的導軌運動。試示當??60時桿CD的速度和加速度。

?????????V?Ve?Vr

圖（a）、（b）所示。圖中：a則

解：取CD桿上的點C為動點，AB桿為動系。對動點作速度分析和加速度分析，如

Ve?Va?O1A?w?200(mm/s)

Va?Ve?cos??100（mm/s）

故

?????????a?aA?O1A??400(mm/s)，因aa?ae?ar

又有：e2VCD?Va=100（mm/s）

232??400?346.4(mm/s)a?asin?ae2故：2a?a?346.4(mm/s)CDa即：

第四章剛體的平面運動

思考題

1．×；2.√;3.√;4.√;5.×.習題四

1．圖示自行車的車速v?1.83m/s,此瞬時后輪角速度w?3rad/s,車輪接觸點A打滑，試求點A的速度。

解：如圖示，車輪在A點打滑，以O(shè)為基點。

v0?v?1.83m/s,??3=rad/s,車輪作平面運動，

??????????vA?vO?vAO

故A點速度為：

vA?vO?R??1.83?0.6604?3??0.15m/s(方向向左)

v?1.5cm/s,求圖示曲

2．圖示平面機構(gòu)中，滑塊B沿水平軌道向右滑動，速度B柄OA和連桿AB的角速度。

解：速度分析如圖示，AB作平面運動。由速度投影定理得：

vAsin??vBcos?1.5?10?2?25?v?vcot?AB?6.25?10?3m/s60故：6.25?10?3vA??OA??6.25?10?3rad/s1OA??????????v?v?vBAB作出速度平行四邊形如圖：由AvAB?vB/sina?1.625cm/s?ABvAB?1.625?602?2522.5?10?2rad/sABr?r2?303cm,OA????6rad/s時，曲柄O1B及齒??60l長r?75cm,AB長=150cm。試求、??90、03.瓦特行星傳動機構(gòu)如下圖。齒輪Ⅱ與連桿AB固結(jié)。已知：1輪Ⅰ的角速度。

解：OABO1是四桿機構(gòu)。速度分析如圖。點P是AB桿和輪Ⅱ的速度瞬心，故：

?AB??0vAOA??PA2?AB3??0vB?PB??AB2OA?

桿1的角速度為：兩輪齒合點M的速度和輪Ⅰ的角速度分別為：

OB?OB?1vB?3.75r1?r2rad/svm?PM??AB，?1?vm?6r1rad/s6.在圖所示星齒輪結(jié)構(gòu)中，齒輪半徑均為r?12cm。試求當桿OA的角速度

??2rad/s、角加速度??8rad/s2時，齒輪Ⅰ上B和C兩點的加速度。

解：（1）B為輪Ⅰ的速度瞬心，

vB?0vA?2r?.設(shè)輪工角速度為?1

則

2r??r?1，?1?2?

d?1d???2?dtdt?2?輪工角加速度12vB2大?。海?？2r?，2r?，2r?，r?????????????????????n?n?na?aB?aA?aA?aBA?aBA取A為基點，對B點作加速度分析如圖（b），有B方向皆如下圖：

nnn2?96(cm/s2)a?a?aBABA?2r?向AB方向投影得：

?a?0向AB垂線方向投影得：B2n22aB?(a?B)?(aB)?96(cm/s)故；B點的加速度?????????????????????n?n?na?aC?aA?aA?aCA?aCA

（2）以A為基點，對C點作加速度分析如圖（c）,有C大??？？2r?，2r?，2r?，4r?方向皆如下圖

將上式分別向AB和AB垂線方向投影，得：22?n?4r?aC?6r?2，aC故C點加速度：n2?2aC?(aC)?(aC)?480(cm/s2)ω8.圖示小型精壓機的傳動機

構(gòu)

，

EF在鉛直位置。已知曲柄OA的轉(zhuǎn)速n=120r/min,求此時壓頭F的速度。

OA?O1B?r?0.1m,EB?BD?AD?l?0.4m。在圖示瞬時，OA⊥AD，O1D和

解：速度分析如圖，桿ED及AD均作平面運動，點P是桿ED的速度瞬心，故：

VF?VE?VD由速度投影定理，有VDcos??VAr?2?nl2?r2VA??VF??1.295m/s60lcos?解得：

第五章思考題

1.判斷題

（1）×（2）×（3）√（4）√（5）√

?????????2．Fn不做功是由于在Fn方向上位移為零且速度為零Fn；瞬心上的力不做功是由于瞬心的

速度永遠為零，位移產(chǎn)生。

3．一般平面運動的剛體上式不成立。齒輪是由于兩個原因：a.均值－重力對質(zhì)心。瞬心的力矩為零；b.做純滾動。4.一致

5.地面給運動員的反作用力，使質(zhì)心產(chǎn)生加速度；反作用力的水平分力使運動員動能增加；產(chǎn)生加速度的力不一定做功。

第五章動力學普遍定理的綜合應(yīng)用

說明：動量定理、動力矩定理和動能定理統(tǒng)稱為動力學普遍定理。這些普遍定理都可以當作是對質(zhì)點系中各質(zhì)點的運動微分方程進行一次積分的結(jié)果。因此在求解動力學問題時，不必每次都從動力學基本方程出發(fā)，而只須直接應(yīng)用普遍定理即可求解。5.1解：圓柱體的受力與運動分析5.2如下圖

由平面運動微分方程得

maC=mgsin6?0-F-FrFN-mgcos6?0=012mra=(Fr-F)r2且有F=fFN，ac=r?a聯(lián)立以上方程解得：ac=0.33g55.2解；分別研究重物A與鼓輪，受力與加速度分析如圖，對重物A有：m1aA=m1g-F1對輪子有：m2a0=F2-Fs2mra=F2r+FsR2aAa=R+r，其中a0=Ra，F(xiàn)1=F2m1g(R+r)2aA=2m1g(R+r)2+m2(R2+r)解得5.3解：該系統(tǒng)初動能為零，設(shè)曲柄轉(zhuǎn)過j角時的角速度為w，則有21驏pl11w221w22÷?÷?w+?rwA+v01=M?÷?÷2桫3g22g2gjR+rw=w01v=rw00r1式中13Mjg9w+2p解得對時間求一階導數(shù)且j=w解得

w=2R+ra=6Mg(2p+9w)l2w3MwFT=rw01=g(2p+9w)l習題五

?q=30?，b=604.如下圖機構(gòu)中，已知均質(zhì)桿AB長為l,質(zhì)量為m，滑塊A的質(zhì)量不計。試求當繩子OB突然斷了瞬時滑槽的約束力即桿AB的角加速度。

解：t=0時；w=0，e10

取x軸平行于斜面，故AB的運動微分方程為

malx=mgsin30?①maly=mgcos30?-N②

12lmle=Ncos30??2③2又由于?????????????tnal=aA+ar+ar④????nar=0對④向Y軸投影得aly=atr?cos3?0atr=1le21lecos30?2Tmgcos30?N==0.266mg2?1+3cos30代入②得：aly=6gcos230?18ge==1+3cos230?13l再代入③得：第六章分析力學基礎(chǔ)

1.堆靜止的質(zhì)點不加慣性力，對運動的質(zhì)點不一定加慣性力。2.一致

3.第一節(jié)車廂掛鉤受力最大，因慣性力與質(zhì)量成正比。4.是理想約束，音樂書反力不做功。

5.不正確。實位移是真正實現(xiàn)的位移與約束條件、時間及運動的初始條件有關(guān)，而虛位移僅與約束條件有關(guān)。

6.廣義力不一定都具有力的量綱。廣義的力是由系統(tǒng)所有主動力的虛功總和除以廣義虛位移而得。

7.質(zhì)點在非慣性坐標系中的相對運動，拉格朗日方程不適用。

第六章分析力學基礎(chǔ)

本章介紹了靜力學中研究平衡問題的方法來解決動力學問題的達朗伯原理，介紹了從動力學功與能的角度來解決靜力學平衡問題的虛位移原理。以及廣泛用于動力學問題的拉格朗日方程。

3.如下圖雙錘擺，擺錘M1、M2各重P1和P2，擺桿各長為a和b。設(shè)在M2上加一水平力F以維持平衡，不計擺桿重量，求擺桿與鉛垂線所成的角φ和θ。T1cos??p1?p2T1sin??F（圖）T2cos??FFtan??p1?p2Fp2T2sin??p2tan??4.．質(zhì)量為m、長度為l的均質(zhì)桿在端點O通過光滑鉸鏈懸掛，試用拉格朗日方程建立桿的動力學微分方程。解：選平衡位置為系統(tǒng)的零勢能位置，

以?為廣義坐標，則該系統(tǒng)的動能勢能和拉格朗日函數(shù)為

T?系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為111J?2??ml2??22231v?mgl(1?cos?)2代入拉格朗日方程有：111L?T?v??ml2??2?mgl(1?cos?)232可得動力學方程：11d(?ml2?2)d?L?L1()??23?mglsin?dt????dt2121ml??mglsin??0326.質(zhì)量為m、長度為l的均質(zhì)桿AB在端點A通過光滑鉸鏈連接于半徑為r、質(zhì)量為M的均

質(zhì)圓盤的中心，如下圖。圓盤可在水平面上純滾動，若系統(tǒng)從圖示位置（此時桿處于水平位置）由靜止開始運動，求運動初始時刻桿與輪的角加速度。桿解：t?0時，輪

以桿AB為研究對象畫受力圖列方程w?w?0macx?xAmacy?mgYAmaA?xAmaCA?mg?YA?①②112lYA??ml?ABml?AB??YA?bk2即③以輪為研究對象列方程'MaA?F?xA④⑤N?YA'?01Mr2??F?r⑥21??aCA??AB?2⑦''xA?xAY?YAA；將①和③代入②得由于輪做純滾動

?aCA??r6g??5r?AB?6g5l8.如下圖兩等長桿AB與BC在點B用鉸鏈連接，又在桿的D、E兩點連一彈簧。彈簧的剛度系數(shù)為k，當距離AC等于a時，彈簧內(nèi)拉力為零，不計各構(gòu)件自重與各處摩擦。如在點C作用一水平力F，桿系處于平衡，求距離AC之值。解：（圖）

bFk?Fk'?k(x?a)l彈簧力如圖：為各力作用點橫向坐標及其變分為

nxD?(l?b)cos??xD??(l?b)si???nxE?(l?b)cos??xC??(l?b)si??xC?2lcos??xC??2lsin??

代入虛功方程

?F?xxD?0

Fk?xD?Fk'?xE?F?xc?0Fl2x?a?2kb解出

第七章拉伸與壓縮

習題七

1=2kN、P2=3kN，d1=12mm、d2=8mm，l=500mm。試求：1.圖示階梯桿，P（1）繪軸力圖；（2）最大正應(yīng)力。

N1?P1?P2?5kNN?P2?3kN2解：（1）?1?(2)N1N1?4?A1?d125?103?4???122?44.2MPaN2N2?43?103?4?2??2?A?d??82=59.7MPa22??max?59.7MPa

2.鋼桿受力P=400kN，已知拉桿材料的許用應(yīng)力[試確定a、b的尺寸。

解：根據(jù)強度條件，應(yīng)有將b?2a代入上式，解得s]=100MPa，橫截面為矩形，如b=2a,

??PP?Aa?b????3P400?10a?2?????2?100?106m?44.72mm由b?2a，得b?89.44mm所以，截面尺寸為b?89.44mm，a?44.72mm。

6.圖示結(jié)構(gòu)中，梁AB的變形及重量可忽略不計。桿①、②的橫截面積均為400mm，材

2料的彈性模量均為200GN/m。已知：L=2m,l1=1.5m,l2=1m,為使梁AB在加載后仍保持水平，載荷P的作用點C與點A的距離x應(yīng)為多少？解：對AB桿進行受力分析2?Px?N2?L?0P(L?x)PxN1?N2?LL解上二式得：A?M?MB?0?0?N1?L?P?(L?x)?0欲使加載后AB保持水平，應(yīng)有?l1??l2N1l1N2l2?EA??l2EAP(L?x)?l1P(2?x)?1.5P?x?1??L22得：解得：x?1.2m?l1?7.試校核圖示聯(lián)接銷釘?shù)募羟袕姸取Ｒ阎狿=100kN，銷釘直徑d=30mm，材料的許用剪應(yīng)力[t]=60MPa。若強度不夠，應(yīng)改用多大直徑的銷釘？

PQ?2解：（1）剪切面上的剪力。校核銷釘剪切強度100?103?4P?4Q????A2?d22???302?10?6?70.7MPa????

所以銷釘強度不合格。（2）根據(jù)強度條件

??P?4Q?A2?d2????d?所以

8．木榫接頭如下圖，a=b=12cm，h=35cm，h=4.5cm。p=40kN。試求接頭的剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力。

解：作用在接頭上的剪力Q?P，剪切面積為bh

4?P4?100?1032??????2???60?106?32.57mm40?103P?Pa???4?0.952MPabh12?35?10接頭的剪切應(yīng)力為作用在接頭上的擠壓力和擠壓面積分別為P和bc，

40?10?3P??j?bc12?4.5?10?4Pa=?7.41MPa接頭的擠壓應(yīng)力為29.由五根鋼桿組成的桿系如下圖。各桿橫截面積均為500mm，E=200GPa。設(shè)沿對角

線AC方向作用一對20kN的力，試求A、C兩點的距離改變。解：A鉸鏈受力如下圖，由平衡條件

?X?0N?Pcos45?Y?0Psin45?N1???0?0222PN2?P22解上式得,N?N4

由于結(jié)構(gòu)對稱，故有3N1?2?P?N12B鉸鏈受力如圖，由平衡條件

?X?0N解得

5cos45??N1?0

N5?P

N12?aN522a?4??U2EA2EA桿系的總變形能為應(yīng)用卡氏定理，A、C兩點的距離改變?yōu)镻2a(2?2)?2EA20?103a?UPa?A??(2?2)?(2?2)?200?109?500?10?6?PEA?0.683?10?3a10.厚度為10mm的兩塊鋼板，用四個直徑為12mm的鉚釘搭接，若在上、下各作用拉力P=20kN，如圖示，試求：（1）鉚釘?shù)募魬?yīng)力；（2）鋼板的擠壓應(yīng)力；（3）繪出上板的軸力圖。

解：（1）鉚釘?shù)募魬?yīng)力P由題分析可得，每個鉚釘剪切面上的剪力為420?103QP?4??=?2??122?10?6?44.23MPaA4??d所以（2）鋼板的擠壓應(yīng)力

?j?P?Aj4?td20?103?4?10?12?10?6?41.67MPaPj（3）上板的軸力圖

11．求圖示結(jié)構(gòu)中桿1、2的軸力。已知EA、P、h，且兩桿的EA一致。解：物塊A受力如圖

?X?0

P?N1?N2?cos30??0①

由圖可知系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)關(guān)系為?L2??L1?cos30?N2?L2N1?L1?cos30?EA即EAL2?2h，L1?3h代入上式3N2?N14②得：N?0.606PN2?0.455P將②式代入①式，解得1將

第八章軸的扭轉(zhuǎn)

判斷題：

1.傳動軸的轉(zhuǎn)速越高，則軸橫截面上的扭矩也越大。(錯)

2.扭矩是指桿件受扭時橫截面上的內(nèi)力偶矩，扭矩僅與桿件所收的外力偶矩有關(guān)，而與桿件的材料和橫截面的形狀大小無關(guān)。(對)

3圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的平面假設(shè)，僅在線彈性范圍內(nèi)成立。(錯)

4.一鋼軸和一橡皮軸，兩軸直徑一致，受力一致，若兩軸均處于彈性范圍，則其橫截面上的剪應(yīng)力也一致。(對)

5.鑄鐵圓桿在扭轉(zhuǎn)和軸向拉伸時，都將在最大拉應(yīng)力作用面發(fā)生斷裂。(錯)

6.木紋平行于桿軸的木質(zhì)圓桿，扭轉(zhuǎn)時沿橫截面與沿縱截面剪斷的可能性是一致的。(錯)7.受扭圓軸橫截面之間繞桿軸轉(zhuǎn)動的相對位移，其值等于圓軸表面各點的剪應(yīng)變。(錯)

習題八

1．直徑D=50mm的圓軸，受到扭矩T=2.15kN.m的作用。試求在距離軸心10mm處的剪應(yīng)力，并求軸橫截面上的最大剪應(yīng)力。T??T???322.15?103?10?10?3?32??4I?35MPa??504?10?12P??D解：3T2.15?10?16?max??WP??0.053?87.6MPa截面上的最大剪應(yīng)力為：???4．實心軸與空心軸通過牙嵌式離合器連在一起，已知軸的轉(zhuǎn)速n=1.67r/s，傳遞功率N=7.4kW，材料的[t]=40MPa，試選擇實心軸的直徑d1和內(nèi)外徑比值為1/2的空心軸的外徑D2。

解：軸所傳遞的扭矩為T?9550N7.4?9550?n1.67?60?705N.m

由實心軸強度條件：?max?T16T?W???d13????16?7053???????40?106?44.8mm16T16?7053?????(1??4)??40?106?(1?0.54)?45.7mm16T可得實心圓軸的直徑為d1?3空心圓軸的外徑為：D2?35．機床變速箱第Ⅱ軸如下圖，軸所傳遞的功率為N=5.5kW,轉(zhuǎn)速n=200r/min，材料為45鋼，[]MPa，試按強度條件設(shè)計軸的直徑。

解：軸所傳遞的扭矩為t=40T?9549N5.5?9549n200?263N.m由圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件?max?可得軸的直徑為T16?T?W???d3????16T16?2633?????40?106???32.2mm取軸徑為d?33mmd?36.某機床主軸箱的一傳動軸，傳遞外力偶矩T=5.4N.m，若材料的許用剪應(yīng)力[?q=0.5[]G=80GN/m,/m，試計算軸的直徑。

2t]=30MPa，

解：由圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件

?max?T16?T?W???d13????16?5.43???????30?106?9.7mm16T可得軸的直徑為d1?3由圓軸剛度條件Q?可確定圓軸直徑T18032T180???G?d24?????GIP?4180?T?32180?5.4?3242?G??????80?109??2?0.5?16.7mm所以取直徑d?16.7mmd2?7．駕駛盤的直徑f=520mm，加在盤上的力P=300N，盤下面豎軸的材料許用應(yīng)力

[t]=60MPa。（1）當豎軸為實心軸時，試設(shè)計軸的直徑；（2）如采用空心軸，且試設(shè)計軸的內(nèi)外直徑；（3）比較實心軸和豎心軸的重量。

解：方向盤傳遞的力偶矩

a=dD=0.8，m?P???300?520?10?3?156N.m

（1）由實心軸強度條件?max?T16T?W??d3????16?1563???????60?106?23.6mm16T得軸的直徑：d?3(2)空心軸的外徑為：16T16?1563?????(1??4)??60?106?(1?0.84)?28.2mmd?D???28.2?0.8?22.6mmD?3W實（3）

W空?A實A空?d2實D2空?d2空?1.968．直桿受扭轉(zhuǎn)力偶作用如下圖，做扭矩圖并寫出解：（1）

Tmax。NAB?20?10?5?5kN.mNBC??10?5??15kN.mNCD??5kN.mTmax?15kN.m（2）T1??20kN.mT2??20?10??10kN.m

T3?20kN.mTmax?20kN.m

第九章梁的彎曲

判斷題：

1.梁發(fā)生平面彎曲時，梁的軸線必為載荷作用面內(nèi)的平面曲線。（對）2.最大彎矩必定發(fā)生在剪力為零的橫截面上。（錯）

3梁上某一橫截面上的剪力值等于截面一側(cè)橫向力的代數(shù)和。而與外力偶無關(guān)；其彎矩值等于截面一側(cè)外力對截面形心力矩的代數(shù)和。（對）

4.兩梁的跨度、承受載荷及支承一致，但材料和橫截面面積不同，因而兩梁的剪力圖和彎矩圖也不一定一致。（錯）

5.純彎曲時，梁變形后橫截面保持為平面，且其形狀、大小均保持不變。（錯）6.平面彎曲時，中性軸垂至于載荷作用面。（對）

7.若梁上某一橫截面上彎矩為零，則該截面的轉(zhuǎn)角和撓度必也為零。（錯）

8.若梁上某一段內(nèi)各截面上的彎矩均等于零，則該段梁的撓曲線必定是一直線段。（對）9.兩梁的橫截面、支承條件以及承受載荷均一致，而材料不同，則兩梁的撓曲線方程一致。（錯）

10.不管載荷怎樣變化，簡支梁的最大撓度可以用梁的中點撓度來代表。（錯）

習題九1．設(shè)P、q、M0、l、a均為已知，如下圖試列出各題的剪力方程和彎矩方程式，繪出Q、M圖并出max值和（a）解：AB段：QMmax值。Q(x)??P(0?x?L)M(x)??Px(0?x?L)BC段：Q(x)??P(L?x?2L)M(x)?2PL?Px(L?x?2L)max（b）解：AB段Q(x)??qxQmax?PM?PL(0?x?L)21M(x)??qx22L(0?x?)29Q(x)??qx?qL8BC段L3L(?x?)22199M(x)??qx2?qLx?qL22816L3L(?x?)22Qmax?5qLM8max1?qL282．繪出圖示各梁的剪力圖和彎矩圖，求出（a）解：根據(jù)平衡方程求支反力Qmax和Mmax，并用微分關(guān)系對圖形進行校核。

163kN，26RB?3kNRA?做剪力圖，彎矩圖Qmax?Mmax203kN，64?9kN.m（b）解：根據(jù)平衡條件球求支反力RA=做剪力圖、彎矩圖

2p3pRB=3Qmax=2p3Mmax=pa3．（a）(b)1．4.已知圖示各梁的載荷P、q，M和尺寸。（1）作剪力圖和彎矩圖；（2）確定max值。和|（a）(b)Qmax值M

(c)(d)(e)(f)(g)Qmax=75pMmax=pa22Qmax=30knMmax=1k5nmQmax=qaMmax=12qa2(h)5.設(shè)梁的剪力圖如下圖，試作彎矩圖及載荷圖。已知梁上設(shè)有作用集中力偶。(a)(b)Qmax=qa1Mmax=qa228b2???10MPa,試確定此梁橫6.矩形截面懸臂梁如下圖，已知l=4m,h3,q=10kN/m,??截面尺寸。

解：梁的最大彎矩發(fā)生在固定端截面上，

121ql=(創(chuàng)1042)=80knm22m80′103s==[s]1wbh26梁的強度條件Mmax=6創(chuàng)80106￡[s]3創(chuàng)68010332232h3()mh×hb=h62創(chuàng)10103代入上式得3將，所以h=416mm，8．T字形截面梁的截面尺寸如下圖，若梁危險截面承受在鉛垂對稱平面的正彎矩M=30kNm,試求：（1）截面上的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力；（2）證明截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力之和，而其組成的合力矩等于截面的彎矩。

解：（1）計算T字形截面對形心軸的慣性矩b=2h=277mm350?1503150?5032??50?150?50??50?150?502IZ121244?5312.5?10mm最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面最下邊緣?tmaxM?y130?103?75?10?3??Iz5312.5?104?10?12?42.35MPa最大壓應(yīng)力發(fā)生在截面最上邊緣?cmaxM?y230?103?125?10?3??Iz5312.5?104?10?12?70.59MPa0.125（2）證明：①中性軸上側(cè)壓力之和為FC????0M?yM?0.050.125M?0.05?dy?ydy??3.90625?10?4?0IZIZIZ中性軸下側(cè)拉力之和為0.025Ft?00.075M?yM?y?0.05dy???0.15?dy0.025IZIZ0.075M?0.0250.05ydy?0.15ydy????0?0.025?IZ?M??3.90625?10?4IZ?Fc?Ft所以截面上拉力之和等于壓力之和。

②截面上合力矩為?0.1250220.125My0.075MyMy2?0.05?dy??0.05dy??0.15dy00.025IzIzIz?M?0.05?10?9?1062500Iz所以合力矩等于截面上的彎矩。9.T形截面的鑄鐵懸臂梁及其承載狀況如圖示，材料的許用拉應(yīng)力?應(yīng)力?c?，試求梁的許可載荷?解：梁的彎矩圖如圖，彎矩的兩個極值分別為

0.05?10?9?1062500?M?5312.5?104?10?12?M?t??40MPa，許用壓

??80MPap?

?1?0.8P，

截面對形心軸的慣性矩為

?2?0.6P

?50?2023?150?5032Iz???50?200?53.6??50?150?71.42?12?12?mm4?10180cm4根據(jù)彎曲正應(yīng)力強度條件?max?由A截面的強度要求確定許可荷載。由抗拉強度要求得6?81??t?Iz140?10?10180?10P????0.8y10.89.64?10?2N?52.8KN

Mymax????Iz由抗壓強度要求得6?81??c?Iz180?10?10180?10P????0.8y20.815.36?10?2N?66KN

由C截面的強度要求確定許可載荷：由抗拉強度得：

P?1??t?Iz140?106?10180?10?8???0.6y20.615.36?10?2N?44.1KN

顯然C截面的壓應(yīng)力大于拉應(yīng)力，不必進行計算。

許用載荷為P?44.1KN

10．矩形截面的變截面梁AB如圖示，梁的寬度為b,高度為2h（CD段）和h(AC、DB段許用應(yīng)力為??，為使截面C、E、D上的最大應(yīng)力均等于?2a應(yīng)取多少？

解：由題意可得C,D,E截面的彎矩值

???，加強部分的長度

PL?MC?MD2?(2?a)PLME??22?max?MCME?WZ1WZ2截面上最大應(yīng)力值為欲使截面C,D,E上最大應(yīng)力相等，則有

MWZPLPL(?a)?2222?12bbh(2h)26即63L2a?4解得EIz200?109???7.54?10?8????77.4m4?103?64M跨度中點C的撓度。

yC????2?LAC2?77.4?77.42?0.752?3.6mm13．用疊加法求圖示各梁截面A的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。EI為已知常數(shù)。

lm()2plpl32fA1????fA2??24EI，8EI2EI解：（a）查表得pl2mlpl2QB1?QA??QB2????8EI，EIEI3由疊加原理有pl39pl2????Q?Q?QfA?fA1?fA2B1B26EIB8EIf?fA1?fA2（b）由圖可知A5ql4fA1?f?fA2，查表得384EI因A5ql41(?)fA?fA1?768EI2所以，Q?QB1?QB2，QB?QB2由圖可知B2ql3ql31QB1?(?)QB?QB1?384EI，所以384EI2而第十章組合變形

1.已知單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖示（應(yīng)力單位為???），試求：（1）指定斜截面上

的正應(yīng)力和剪應(yīng)力；（2）主應(yīng)力的大小、主平面位置；（3）在單元體上畫出平面位置和主應(yīng)力方向；（4）最大剪應(yīng)力.

?解：（1）??30斜截面上的應(yīng)力：30?5030?50?cos(2?30?)?(?20)sin(2?30?)22=52.3???30?50???sin(2?30?)?20cos(2?30?)2=?18.7??????（2）主應(yīng)力和主平面?max?30+5030+502?()?20232?62.36???30+5030-502?min??()?20232?17.64???2?(?20)tg2??????230?50????31.72?（3）圖?1?62.36????2?17.64???（4）2.圖示起重機的最大起重吊重量為P=40kN，橫梁AC由兩根18號槽鋼組成，材料為Q235，許用應(yīng)力[?]=120Mpa，試校核橫梁的強度。

解：（1）外力分析：取AC為研究對象，受力如圖，小車位于AC中點，平衡條件?max?(30?502)?2023?22.36Mpa?MC(F)?0:NABsin30??3.5?P?1.75?0NAB?P?40kN?FY?0:YC?NABsin30??P?0PYC?2?20kN?FX?0:XC?NABcos30??34.64kN（2）內(nèi)力分析：見軸力圖，彎矩圖。AC梁為壓，彎組合變形，危險截面位于AC中點。Mmax?20?1.75?35kN.m（3）應(yīng)力分析18號槽鋼WZ?2?152.2cm3A?29.29?2cm2363???34.64?10/(29.29?2?100)?35?10/(2?152.2?10)?max?????max?121???（4）強度分析：??121?120?120?8.3?10?3?0.83%?5%???滿足要求3.手搖式提升機如圖示，已知軸的直徑d=30mm,材料為Q235鋼，試按第三強度理論求最大起重載荷Q。

解：（1）軸的外力Q向軸簡化為Q—彎曲力偶nQ—扭軸（2）內(nèi)力—見圖危險截面位中點：????80Mpa，M?200Mn?200QQL4Q?600??150Q4Mmax?軸發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形（3）強度計算：

?xd3?M2n?M2maxWZ(2023?1502)?Q?????0.1?3030.1?303?80Q?1502?2023?860N?最大起重載為860N.

4.圖示的鋼制圓軸上有兩個齒輪，齒輪C直徑為試用第四強度理論求軸的直徑。解：（1）外力分析，將

dc=300mm,其上作用著鉛直切向力P1=5dPkN，齒輪D的直徑為D=150mm,其上作用著水平切向力2=10kN。若[?]=100Mpa，P1，P2向AB軸簡化，如圖m?P1?dc300?5?22?750KN.mm（2）內(nèi)力分析：在m作用下軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)，在變形。P1、P2作用下軸發(fā)生彎曲變形，所以AB軸為彎曲組合MZ:MC1?3P1?1504?562.5KN.mm1MD2??562.53?187.5KN.mm3M?P2?150D1My4:?1125KN.mm1MC2??11253?375KN.mm22M?562.5?375CM:?676.1KN.mm22M?1125?187.5D?1140.5KN.mm(3)強度運算：?xd4?MD2?Mn2WZ????(1140.52?7502?103)?32d???100?51.8mm35．已知應(yīng)力狀態(tài)如下圖（應(yīng)力單位為：MPa）。

（1）分別用圖解法和解析法求（a）、(b)中指定斜截面上的應(yīng)力；（2）用圖解法求（c）、（d）、（e）、（f）上主應(yīng)力的大小與方向，在單元體上畫出主平面的位置，求最大剪應(yīng)力。（1）（a）解析法解：????45MPa50?30???sin60??8.66MPa2解析法求解：50?3050?30?cos60?22?45???5MPa50?45??sin90??20cos90?2?25MPa（2）圖解法：5050?cos90??20sin90?22???????1?OA?50??a????????3?OB??50??a?max?OD1?50MPa?????1?OA?55MPa?????3?OB??35MPa??????max?CD1?45MPa2?0?27?主平面位置（d）解：作應(yīng)力圖（e）解：作應(yīng)力圖??????OA?45MPa1?????3?OB??45MPa?????max?OD?45MPa2?0?27???????OA?5MPa（f）1?????3?OB??85MPa?????max?CD1?45MPa2?0?27?

6.圖示一鋼質(zhì)圓桿，直徑D=200mm,已知A點在與水平線60方向上的正應(yīng)變??60?4.1?10?4?2，試求載荷P。已知E?210GN/m,??0.28。解：（1）繞A點取一單元體，應(yīng)力狀態(tài)如圖：?60????30?3cos120???224??1??cos(?60?)??224???（2）由廣義虎克定律得：（3）載荷P：1??60?????30????E?2.72?3??????4E4E4?210?103?4.1?10?4??2.72?126.6????60??126.6???2023?126.6??P???A?39.78?105?443M?2.5?10??m作用在直徑D=60mm的鋼軸上，若E?210GN/m2,n7．扭矩?D2??0.28，試求圓軸表面上任一點在與母線成??30?方向上的正應(yīng)變。

解：（1）繞A點取一單元體，應(yīng)力狀態(tài)如圖：（2）2.5?103?103?60??????603??58.9????30????sin2?30??58.9sin60??51??????60????sin??2?(?60)????51???1?30????30????60?E（3）51?0.28?(?51)??0.311?10?3210?103第十一章能量法1．試計算圖示各桿的變形能，抗拉（壓）剛度EA，抗彎強度EI均為已知，其尺寸如圖。

解：（a）桿的變形能u??lN2(x)dx2EA(x)2(?P)2lP2l3Pl???2EA2E?(2A)4EA（b）梁的變形能梁的支反力RA?4P3，各段彎矩值為：1RB??P32．直桿受力作用如下圖。如已知桿的抗拉（壓）剛度EA，抗彎剛度EI和抗扭剛度p，試用卡氏定理計算桿的軸線伸長和扭轉(zhuǎn)角。

解：（a）變形能4l?x1(0?x1?)334l2l?CD??x2??l(?x2?)3331l?DB???x3(0?x3?)33l2ll222?dx?dxMdxACCDDB33u??0??l3??02??2??2??3441px1)2px2?pl)2px3)2l(2l(l(?3333??0dx1??l33dx2??0dx32??2??2??323123?l?729????C?GIp2lm2lu??2EA2GIP線伸長???upl??pEA??扭轉(zhuǎn)角?uml??mGIpm2lm2lu??2GI2EIP（b）變形能?uml????mGIp扭轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角3．試求圖示各梁A點的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角（EI為已知常數(shù)）。

???uMl??mEI解：（a）MAB??pxMBC??px?plM0??x1?l02l?A?M?Mdx?(?px?pl)?(?x)dx?0ABl????EI1?l2?pxdx??l2l(px2?plx)dx?0??EI?7pl3?(?)6EI求?B:?0?1?B?(b)解：1?2l?l(?px?pl)(1)dx???EI?1222?1????p?(2pl)?l?pl???2??EIpl2??(?)2EI?MD(F)?05lp?3l?q?3l??MB?RC?2l?029RC?p???4???MC(F)?0pl??pl?pl?RD?2l?0l2pRD????412M?px?qx1AC1?A2求：(0?x1?l)pMDB??RDx2??x2(0?x2?l)4pMBC??x3?MB(l?x3?2l)410M?x0MAC?x1BD21?l?12????1??xl?p2l?p?A?px?qxxdx?xxdx?x?M()dx??12??2?23B?3??0?121??0??l?EI???4??2??4?2????1?11pl3pl3p1?pl32?????2l??l3????2l??l2????4???EI?242483?337pl?24EI求?B：x