正定矩陣的判定

1x21dn1x21dn正定矩陣的判定摘要鑒于正定矩陣的重要性及其應(yīng)用的廣泛性本文給出了正定矩陣判定的若干等價(jià)條件并逐條予以證明，并輔助典型例題。關(guān)鍵詞：正定矩陣；正交矩陣；判定；特征值；正定二次型TheDeterminationOfThePositiveDefiniteName:ZhengNumber:200640501443Abstract:Inviewoftheimportanceandthewideofapplicationsofpositivedefinitematrix,thisseveralequivalentofofdetermintionpositivedefinitealsothemoneoneandtypicalKeywords:Positivedefinitematrix;determinant;Characteristicvalue;Positivedefinitequadratic一、利用定義（一）

n

階實(shí)對(duì)稱矩陣

稱為正定矩陣，如果對(duì)于任意的

n

維實(shí)非零列向量

，都有X

T

AX

。正定的實(shí)對(duì)稱矩陣簡為正定陣，記作。例

設(shè)

是正定矩陣，

是非奇異實(shí)方陣，則

P

T

AP

也是正定矩陣。證明因A

是實(shí)對(duì)稱陣

P

顯然也是實(shí)對(duì)稱陣又對(duì)任何實(shí)的非零列向量

，由于

0

(

是非奇陣,故

XT

,即

P

是正定陣。

．實(shí)對(duì)稱矩陣是定矩陣的充分而且必要條是對(duì)于任意的

維實(shí)非零列向量X

=

,二型

X

'

AX

是正定二次型。

．實(shí)對(duì)角矩陣

是正定矩陣的充分而且必要條件是

0(i,2,i

)。

．實(shí)對(duì)稱矩陣A

是正定矩陣的必要而且充分條件是二次型

X

'

AX

的秩與符號(hào)差都等于n。1n，111'n1n，111'n2'二、利用主子式（一）階對(duì)稱矩陣

的一切順序主子式都大于

0

，則A

為正定矩陣。證明：對(duì)n作學(xué)歸納法。當(dāng)n時(shí)，

1

111

，由條件

11

，顯然有f1令

是正定的。假設(shè)該論斷論斷對(duì)n元次已經(jīng)成立，現(xiàn)在來證的情形。

a1,nnn

an于是矩陣

可以分塊寫成

a

。既然

的順序主子式全大于零，當(dāng)然

1

的順序主子式也全大于零。由歸納法假定，

1

是正定矩陣，換句話說，有可逆的n

級(jí)矩陣

使G

1n

，這里

E

n

代表n級(jí)矩陣。令

C1

0

,于1

G0

'

0

ann

01nn再令

n0

1

,有C''AC211

E0na

0

1

E0n

令

,a1

,有

CAC

1兩邊取行列式，

CA

。由條件，，此。然nn2nn2

1

1

a

1

1

a

這就是說，矩陣A

與單位矩陣合同，因之

是正定矩陣。例

判斷二次型

f

2Xii

i

是否正定。i

i解：二次型f的陣為三角矩陣A的意的k階序子式A

，所以矩陣A為定矩陣，原二次型為正定二次型。（二）

階實(shí)對(duì)稱矩陣

的一切主子式都大于

，則

為正定矩陣。證明：設(shè)

Ai

是

的一個(gè)

k

階主子矩陣,由于

Ai

的任意一個(gè)順序主子式均為

的一個(gè)主子式所它們都大于所以為A正定矩陣。i例3證明若A稱正定矩陣，則的切主子式都大于證明：反法設(shè)A()ijn

是正定矩陣若在

k

階主子矩陣i

iiiiii

iiiiii

aiiaiiaii

,Ai則由于

Ai

是階實(shí)對(duì)稱矩陣由理知存在

k

階正交矩陣使

T(,,Ui2

,其中

,u,u為的特征值。由于1i

i

，Ai

u知的征值12ki,u,u1

k

中至少有一個(gè)小于

0

。不失一般,設(shè)

01

，令

Y

T

,則Y

且

0i1

，再令X

T

(x,x,x)1n

，當(dāng)

i,i12k

xii

；當(dāng)

i

為其他時(shí)，

xi

。則0,且X

T

AX

T

Yi

,這與A為正定矩陣的假設(shè)矛盾。（三）

階實(shí)對(duì)稱矩陣

的一切順序主子矩陣都是正定矩陣，則

為正定矩陣。證明于

的一切主子矩陣都是正定矩陣,

也是它自身的一個(gè)主子矩,所

也是正定矩陣。例t取何值時(shí)，二次型

f21

xxx1111

xx2233

是正定二次型。解：二次型

f

對(duì)應(yīng)的矩陣為

12t

t5

，要使二次型

正定，必須

的各順序主子式全大于零，即滿足1

，

,

1d122t25

2

t

。得到

32

，所以當(dāng)

3t,2

時(shí)，二次型f為定二次型。三、利用標(biāo)準(zhǔn)型（一）

合同于階位矩陣

，則

為正定矩陣。證明：若合于E,存在可逆矩陣B,使得A

T

EB

。任取

,

12

n

,則Y0。是X

T

AXX

T

B

T

EBX

T

Yy1

22

y

2n

，故A為正定矩陣。1n11n2n2n1n11n2n2n2n例

設(shè)

,

是

n

實(shí)對(duì)稱矩陣，

是正定矩陣，證明：存在實(shí)可逆陣

T

，使'為對(duì)角陣。證明：由于是定陣，從而合同于E，存在實(shí)可逆陣，P

'AP。'

BP仍為是對(duì)稱陣，從而存在正交陣

，使'

,其

1n

是

'BP

的特征值，令TPQ，'

得證。（二）若

存在正定矩陣

,使得

B

2

，則

為正定矩陣。證明：如果正定,使得A

B

2

,則B為對(duì)稱可逆矩,且有2TB

T

EB

,即A合同于E,所以A正定。（三）

n

階實(shí)對(duì)稱矩陣

的所有特征值都大于

，則

為正定矩陣。證明：設(shè)

的全部特征值

,,12n

全大于零，由引理得Tdiag(,)T1n(,,)T(,,)11

B

2

,其中

(,,)T1

。因?yàn)?/p>

為實(shí)對(duì)稱矩陣，且特征值

i

，

,n

,所以

為正定矩陣。例

試證二次型：

fx,x12n

2

n

2i

2

n

xi

j

為正定二次型。i

1證明：設(shè)

f

對(duì)應(yīng)的矩陣為

，則

2

11

1

1

2121

1

11

計(jì)算可得

n1n由于A的特征值全為正，所以為正定陣從而f為定二次型。（四）半定且≠，A為定矩陣。證明：設(shè)

的特征值為

1

，

2

，

n

，由

半正定可知

i

，

,n

，所以A正定。例7設(shè)是階定矩陣，是n階正定矩陣，求證:

AA

，當(dāng)且僅當(dāng)

B

或

n

時(shí)等號(hào)成立。證明:由

知，存在

n

階可逆矩陣

，使得

PTBPn

，有

T

A

En

T

，P

T

ABPEPn

T

BP又因?yàn)門BP顯然是半正定的，設(shè)

PTBPijTn

11c21cn1

c1222cn2

cc2ncnn

1n1

2

n

n其中

ci

是

C

的所有

i

階主子式之和i1,2,,

為

T

BP

,它的主子式都非負(fù)，因此Pn

T

n

cEn

T

BPP

T

APP

T

BP所以BPP

T

由此得AB當(dāng)

B

或

時(shí)顯然

AB

成立

B

且

時(shí)易知

PBPC

n

，于是至少有一個(gè)

c0此時(shí)的一階主子式cc不為零則ijiijj

0cij

cij0

ij

2

0

，這與

C

半正定矛盾。于是

c1

，進(jìn)一步有

Tnn

,從而

AA

成立。（五）對(duì)任意可逆矩陣P,都T正，則A正定矩陣。證明：由T正,P可逆矩陣可得

A

P

APT合同，而合同不改變矩陣的正定,所以

為正定矩陣。例如果A,B都n正定矩陣，證明：A也正定矩陣。證明：因?yàn)?/p>

,

為正定矩陣，所以

'AX'BX

為正定二次型，且

XAX0

，X'BX0

,因此于是

'

'AXX'+必為正定二次型，從而A為正定矩陣。四、以下幾個(gè)重要結(jié)論也常用來判定矩陣

是正定的與正定矩陣合同的矩陣一定是正定矩陣。正定矩陣的逆矩陣必為正定矩陣。證明:因?yàn)槎ň仃嚺c單位矩陣合以在可逆矩陣P得P

''

P

,取逆矩陣

A

,記

A

Q,則A與

合同，所以

A

是正定陣。（三）正定矩陣的任何主子式陣必為正定矩陣。證明：假設(shè)

正定矩陣，它的階子式陣ijAk

1121k

1222k2

aka2kakk

，其中

n1n1n1n1n1n1n由于

，從而知

的任何主子式陣都是正定的。（四）對(duì)于任意的實(shí)對(duì)稱矩陣

，必有實(shí)數(shù)

0，0使得

E與

是正定矩陣。證明：實(shí)對(duì)稱矩陣

的特征根都是實(shí)數(shù)，不妨記其中絕對(duì)值最大的一個(gè)特征根為

，只要取

，即可使

是正定陣。這是因?yàn)榧僭O(shè)

是正交陣，使Q

'

AQ

則Q

'

AEQ+'

其中由于

,ni

，可知

是正定陣。當(dāng)取

1

時(shí)，則,E

是正定矩陣。（五）假設(shè)AB都正定矩陣，并且ABBA，也為正定矩陣。證明易知AB特征根大于零當(dāng)ABBA時(shí)又是對(duì)稱的，從而可知是定的。

'

,說例判斷二次型

fx2xx1223

是否正定。解：二次型

f

對(duì)應(yīng)的矩陣12121ij

3

41242顯然A的素絕對(duì)值最大值者為二次型也是非正定的。f

23

32

，為非對(duì)角元，則A為非正定矩，所以五、小結(jié)正定矩陣的判定在矩理論中占有重要的地位，因此正矩陣的討論無論在矩陣?yán)碚摲矫?，或是?shí)際應(yīng)用方面都有重要的意義。參考文獻(xiàn)：[1]PullmanNP.MatrixanditsApplications[M].Academic．[2]COMPA.PrinciplesandPracticeofMathematics[M].Springer-Verlag,BerlinHeidelberg,1998.[3]John