轉(zhuǎn)化靈活的圓中角

第十九

轉(zhuǎn)化靈的圓中角角是幾何圖形中最重要的元素明兩直線位置關(guān)系用全等三角形法似形法都要涉及角，而圓的特征，賦角極強(qiáng)的活性，使得角能靈活地互相轉(zhuǎn)化．根據(jù)圓心角與圓周角的倍半關(guān)系可實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化；由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等將周角在大不變的情況下變點(diǎn)在圓上的位置進(jìn)行探索圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和外角等于對(duì)角，可將與圓有關(guān)的角互相聯(lián)系起來．熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論．注：根據(jù)頂點(diǎn)、角的兩邊與圓的置關(guān)系，我們定義了圓心角與圓周角，類似地，當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓外或圓內(nèi)們以定義外角與圓內(nèi)角角分別與它們的所夾弧度數(shù)有怎樣的關(guān)讀自行作一番探討【題解【例】如直線AB與⊙相于A，B再，O在，點(diǎn)C在O上，AOC，點(diǎn)E是AB上動(dòng)點(diǎn)O不重合線交另一點(diǎn)D，則使DE=DO的共有個(gè)思點(diǎn)在線AB上DE=DO的動(dòng)點(diǎn)E與⊙O怎樣的位置關(guān)分點(diǎn)在AB上(E在O內(nèi)在BA或AB的長(zhǎng)線上E點(diǎn)O種況考慮，通過角度的計(jì)算，確定E點(diǎn)置、存的個(gè)數(shù)．注：弧系與圓有關(guān)的角的介，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法．【例】如圖知ABC為腰直角三形D為邊BC的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、D的O與邊AB分相交于于下個(gè)論∠FMC=45°②AE+AF＝AB；

BABC

；④2BM=BF×BA；四邊形AEMF

為矩形．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．2個(gè)B．3個(gè)C個(gè)D．5個(gè)思點(diǎn)充運(yùn)用與圓有關(guān)的角特角形殊四邊形三角驗(yàn)證．1

22注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)一種新題型，解這類問題重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的探究，方能作小正確的選擇．【例3圖，已知四邊形ABCD外⊙半徑為5對(duì)角線AC與BD的點(diǎn)為E，且

=AE，BD，ABD的積思點(diǎn)條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD點(diǎn)，是解本例的關(guān)鍵．【例】如圖知是⊙的直CO上一點(diǎn)，連結(jié)AC，點(diǎn)作CD⊥AB于，點(diǎn)E是AB上任意一除線交O點(diǎn)F，AF與線交于點(diǎn)G．求AC

2

=AG；若AD(點(diǎn)A除外任點(diǎn)，上述結(jié)論是否仍然成若．請(qǐng)畫出圖形并給予證明；若不成立，請(qǐng)說明由．思點(diǎn)作圓常輔線明ACG△AFC；（2判斷上述結(jié)論在E點(diǎn)情況下是否成立，依題意準(zhǔn)確畫出圖形是關(guān)鍵．注：構(gòu)造直徑上90°的周角是解與圓相關(guān)問題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條．【例】如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿AB=CD=EF，對(duì)交于一點(diǎn)，設(shè)AD與CF的點(diǎn)為．求證

CPPE

ACCE

22

．思點(diǎn)解例關(guān)在運(yùn)與相的能發(fā)現(xiàn)多對(duì)相似三角形．明△∽△ACF

CPQCPEDE

過三角形相似并結(jié)常規(guī)問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題的證明．2

⌒⌒22⌒⌒22注：有些幾何問題雖然表面與圓關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點(diǎn)，就能運(yùn)用圓的豐富性質(zhì)為解題服，確定四點(diǎn)共圓的主要方法有：利的定義判定；利內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命判定．學(xué)訓(xùn)1．一條弦把圓分成2：3兩部，么條所的周的數(shù)2．如圖AB是O直徑C、D、E都⊙上的點(diǎn)則1+∠2=．3．如圖AB是的，弦⊥AB是CG中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF⊙O于E，CF=2，AF=3則EF的．4ABC接于⊙O于＝3O的為，AB的，x的式表示y，．5．如圖ABCD是⊙O的邊形，延長(zhǎng)BC到E，已知BCD∠ECD＝3，那么等于)A．120°B．144°D．150°6．如圖，，弦，DA=DC，∠AOC=160°則BOC于)A．20°B．30°C．40°D．50°7．如圖BC半圓的直徑A為圓上兩點(diǎn)AB=為)A．60°B．120°．135°D．150°

3，BC=2，D的數(shù)8．如圖，直徑垂于CD，PAC上點(diǎn)P與、C兩合連結(jié)PC點(diǎn)E在AP的長(zhǎng)線上PD與交于點(diǎn)．給下列四個(gè)結(jié)論：①CH=AH×BH=DF×DP∠APD正確的個(gè)數(shù)(A．1．2C．3D．49．如圖，已知正△接圓O的徑CD是ABC的高．證：；知CD=6，BD=8，求O的徑BE的．3

⌒⌒10．圖，已知是ABC外角∠的分線，交的線于點(diǎn)D，長(zhǎng)DA交的接圓于點(diǎn)F，結(jié)．證：FB=FC證：FB

=FAFD；是△的外接圓的徑，°，AD的如圖線段AD的三等分點(diǎn)P以直徑的圓周上的任意一點(diǎn)除外則∠APB∠CPD=．12．圖，在圓內(nèi)接四邊形中，AB=AD，∠BAD=60°a的面積為．

，則四邊形ABCD13．圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD

中，，，則BC=．14．圖AB是圓的直徑DAC中點(diǎn)，∠°則A等()A．60°BC．80°D．70°15．圖，已知ABCD是個(gè)AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形AB=5分別延長(zhǎng)AB和，相交于，若∠APD=60°，則O的()A．25πB．16．15D(2001年市競(jìng)賽)16．圖AD是eq\o\ac(△,Rt)ABC的BC上高AB=AC過兩的圓與AB、AC分別相交于點(diǎn)E弦EF與AD相于點(diǎn)G則中與GDE相三角形的個(gè)數(shù)()A．5C．3D．217邊外圓O徑為2AC與BD的點(diǎn)為E，AB=

2AE，BD=23，邊形ABCD

的面積．4

18．圖，已知ABCD為⊙的內(nèi)四形E是上一點(diǎn)，且有∠BAE=∠DAC．求證：△ABE∽△ACD；(2)ABDC+AD·BC＝AC·BD．19．圖，已知O直徑AB延線的點(diǎn)直PCD交O于C兩弦DF⊥AB于H交于點(diǎn)證PA·PB=PO若DE⊥CF°徑為2，求弦的．20．圖，△

內(nèi)接于⊙