2010第三屆優(yōu)秀第一階段題特一等

2010年第三屆“ScienceWord杯”數(shù)學(xué)中國(guó) 關(guān)鍵 側(cè)位停車(chē)，有效車(chē)位，動(dòng)力學(xué)模型，理想路 要聰明的汽車(chē)不僅能識(shí)別有效車(chē)位，而且能以最理想的路徑進(jìn)行側(cè)位停車(chē)，側(cè)位停車(chē)是廣大車(chē)主難以解決的問(wèn)題.根據(jù)汽車(chē)的長(zhǎng)寬、軸距、最大偏向角等幾何尺寸，由幾何算法得出可以實(shí)現(xiàn)側(cè)位泊車(chē)的最小有效車(chē)位，從而判斷本車(chē)是否能在該處停車(chē).路徑規(guī)劃方面，根據(jù)停車(chē)空間的幾何形狀，車(chē)輛的動(dòng)力學(xué)模型，碰撞約束等,通過(guò)控制汽車(chē)轉(zhuǎn)向角和相對(duì)停車(chē)位置，實(shí)現(xiàn)汽車(chē)泊車(chē).滿(mǎn)足動(dòng)力學(xué)模型約束條件的汽車(chē)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是若干相切圓弧的組合，其進(jìn)入車(chē)位路徑，分為車(chē)位外調(diào)整路徑和汽車(chē)以最小半徑至最優(yōu)位置路徑兩部分.另外，運(yùn)用假設(shè)情況定量分析來(lái)了解允許偏差.首先假定初始點(diǎn)都在同一條豎直直線上，并且它們一開(kāi)始都做最小半徑的圓周運(yùn)動(dòng).顯然在一定范圍內(nèi)對(duì)于每個(gè)不同的初始點(diǎn)的圓弧我們都可以找到唯一的一個(gè)半徑軌跡與之相切，并且這個(gè)半徑軌跡不是無(wú)限大的（是有界的）.在最小半徑與邊界半徑之間有無(wú)數(shù)條不相交的路徑，這就是允許的偏差路徑.（填寫(xiě)（填寫(xiě)所選題目SMART:Smartcarcannotonlyidentifyparkingspaceseffectively,butalsofindthebestpathtolalparking.Solvingthegeneralsideparkingisadifficultproblemforcarowners.Accordingtovehiclelengthandwidth,wheelbase,umdeviationanglegeometry,obtainedbygeometricalgorithmscanachievelalminimumcarparkingspaces,whichcanhelptodeterminewhetherthecarcanparkinthearea.Pathnning,accordingtothegeometricshapeofparkingspace,vehicledynamicsmodel,collisionconstraints,etc.,bycontrollingthesteeringangleandtherelativelocationofparkingspaces,parkingcontrolvehiclestoachieve.Meettheconstraintsofthevehicledynamicsmodel,itsorbitisacombinationofanumberoftangentialarcs,itspathintotheparkingspaceisdividedintospacesoutsidetheadjustmentpathandthecarparkingtoaminimumradiusoftheoptimallocationofthepathoftwoparts.Inaddition,wetakeadvantageofthetativeysisofscenariostounderstandtolerance.Paperfirstlyassumesthattheinitialpointsareinthesameverticalstraightline,andtheyallstartngtheminimumradiusofcircularmotion.Apparentlywithinacertainrangeforeachdifferentinitialpoint'sarccanbefoundauniquetangentwiththeradius,andtheradiusinofcoursenotinfinite(theyarelimited).ThisisthepathdeviationthatisallowedbetweenMinimumRadiusandboundary: lParking,EffectiveSpace,DynamicsModel,Best一、問(wèn)題的提聰明的汽車(chē)駛員技術(shù)與信心的問(wèn)題.有報(bào)告稱(chēng)：57%的駕駛員對(duì)自己的停車(chē)技術(shù)缺乏自信，這入.請(qǐng)你建立合理的模型，以判斷本車(chē)是否能在該處側(cè)位停車(chē).我們假設(shè)可以得到停車(chē)位我們假設(shè)停車(chē)位置的平面圖能夠顯示在汽車(chē)的車(chē)載顯示器上.請(qǐng)給出本車(chē)為了進(jìn)入二、問(wèn)題的分(一)有效車(chē)位由車(chē)體幾何尺寸和最大偏轉(zhuǎn)角可得出汽車(chē)最大轉(zhuǎn)彎半徑(二)理想路線之，多數(shù)時(shí)候用入庫(kù)的方法泊車(chē)比較合適.如果試圖直頭泊車(chē)，則出現(xiàn)車(chē)頭用盡了如果前進(jìn)太多，時(shí)車(chē)頭右側(cè)很容與前車(chē)尾部有相觸的.此時(shí)如果回正方向盤(pán)如果前進(jìn)太少，前進(jìn)未到位就開(kāi)始進(jìn)入車(chē)位，雖然前車(chē)距離很遠(yuǎn)，但可以用于的距離卻縮短了，往往當(dāng)與后車(chē)非常接近時(shí)，大部分車(chē)頭還在車(chē)位外面.此時(shí)就如果角度過(guò)大，汽車(chē)的偏轉(zhuǎn)半徑過(guò)小，入庫(kù)時(shí)車(chē)頭右側(cè)很容與前車(chē)尾部有相觸的，并且這時(shí)會(huì)出現(xiàn)車(chē)子橫擺角度太大，就算后輪可以入庫(kù)，剩余的距離是將車(chē)身開(kāi)直，當(dāng)達(dá)到某個(gè)最恰點(diǎn)時(shí)就可以開(kāi)始.而路線要求最優(yōu)，只需要相(三)允許偏差三、模型假設(shè)及說(shuō)駕齡在10年的駕駛員經(jīng)驗(yàn)，車(chē)速假定穩(wěn)定在3km/h.假設(shè)前后停置的汽車(chē)都在三上沾滿(mǎn)整個(gè)車(chē)位，車(chē)位邊角線為汽車(chē)向碰的點(diǎn)；即汽車(chē)及汽車(chē)在地面的垂直投影，在整個(gè)過(guò)程當(dāng)中都不與車(chē)庫(kù)垂直方向的汽車(chē)結(jié)束后，汽車(chē)及汽車(chē)在地面的垂直投影離車(chē)庫(kù)四邊的最小距離都不能小假設(shè)車(chē)主開(kāi)始調(diào)整入車(chē)位時(shí)都以最小半徑，再轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)本文汽車(chē)側(cè)位停車(chē)都時(shí)調(diào)整入車(chē)位的四、文中用(一)按照題目中提供的平面圖，測(cè)量出相關(guān)數(shù)據(jù)如下：二) 由于題目中提供的平面圖不能測(cè)量出如軸距、后輪到杠距離等數(shù)據(jù)，為了建模需要和方，下面按比例列某款車(chē)際整車(chē)參數(shù)：長(zhǎng)寬θmax方向盤(pán)右左前輪轉(zhuǎn)方向盤(pán)右右前輪轉(zhuǎn)(三 相關(guān)符號(hào)及其說(shuō)明LWa后輪到杠的距離dθmax最大偏轉(zhuǎn)角mOQN汽車(chē)最初的后軸中心

PrR1R2Rmin最小偏向半徑mHhmGNsNf五、模型的建立、求解及驗(yàn)車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型：圖看出，左、右前輪偏轉(zhuǎn)角度是不相同的.可以把兩個(gè)前輪等效于車(chē)軸中點(diǎn)F輪，等效的偏轉(zhuǎn)角度為.假設(shè)車(chē)輛前車(chē)軸中點(diǎn)F的運(yùn)行速度為v，后車(chē)軸中點(diǎn)R（一）模型一：有效 W θ(θmax)最大偏轉(zhuǎn)角圖對(duì)于側(cè)位停車(chē)的車(chē)位長(zhǎng)度要求H>D+2mRmintandr W/R

W/ R2rR2r

(L③對(duì)于側(cè)位停車(chē)的車(chē)位寬度要求E>h+ hR2R2a2(rW

⑥由上述式子得出有效車(chē)位長(zhǎng)和寬的最小值方程L=4.908米，W=2.114米，d=2.350米，a=0.884米，θ=45°，m=0.113Emin≈2.215米，與車(chē)的寬度相似檢驗(yàn)結(jié)論H=6.652米；E=4.213米3）

Hmin≈6.195米；Emin≈2.215米H>Hmin；E>于是可以判斷，本車(chē)能夠順利在該處側(cè)位停車(chē)（二）模型二:理想路我們首先假設(shè)車(chē)身在最初時(shí)刻與豎直方向成θ角度，因此第一步首先是將車(chē)身開(kāi)徑最短即可，因此讓汽車(chē)以最大偏轉(zhuǎn)角θmax即最小半徑行駛即是最優(yōu).我們參照題目給出的停車(chē)位置平面圖以及可以知道，最理想的停車(chē)位置是車(chē)體后身中心點(diǎn)與圖上的點(diǎn)Nf重合，且此時(shí)車(chē)身呈豎起方向.為方便起見(jiàn)，我們用此時(shí)的汽車(chē)后軸中心點(diǎn)N作為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.下面以理想路線來(lái)進(jìn)行模型建3km/h，并且為保證平緩開(kāi)行，不妨假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的N簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系可以知道AB的偏轉(zhuǎn)角也為θ，并且在水平方向上車(chē)的位移為 至最優(yōu)位置（即點(diǎn)Nf此時(shí)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合：dy.dx=XA-x下他們應(yīng)該滿(mǎn)足的關(guān)系式.首先給出運(yùn)動(dòng)的模擬圖，如圖5：由簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系式，我們不難列出下面的方程，其中 dxxf 2Rmin1cos s消去，s

dyyN

yN2Rminsin4Rmin4Rmindxdx由上式不難知當(dāng)給當(dāng)一個(gè)具體的dx時(shí)，我們總可以確定一個(gè)相應(yīng)的dy值，從而使得在坐地各數(shù)據(jù)也可以按照相應(yīng)比例對(duì)應(yīng)圖上一定的長(zhǎng)度.基于這樣的事實(shí)，在所在的平車(chē)長(zhǎng)L=3.32cm,車(chē)寬=1.43cm,車(chē)庫(kù)長(zhǎng)=4.5cm,車(chē)庫(kù)寬W=2.85cm,后輪到杠的a=0.598cm,兩車(chē)相距的安全距離m=0.0676cm，圖中汽車(chē)在初始位置的偏轉(zhuǎn)角為車(chē)的軸距為d=1.59cm.模型一的②式可以知道

Rmintand，從而可以知道 RSinθ=R1-Cos）=0.0097R，在這里我們?yōu)榉奖闫鹨?jiàn)，不妨以Rmin代替R的值進(jìn)行計(jì)算，有結(jié)果如下：x=0.0297*2.35=0.00611=0.07m*x=0.047cm另根據(jù)弧長(zhǎng)，l1r=Rmin=1.5914/180=0.1237cm d dd從而可知只要讓汽車(chē)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)（0，0

x2y2Rminx2代入數(shù)據(jù)整理x2同理對(duì)于圓o，據(jù)下面的圖及幾何關(guān)系可以知道，它的半徑也 ，圓心（ －dx,dy）.從而有方程 (x dx)2(ydy)2 x24.26xx24.26xx2x2x2x24.26x

(1.86x0)(3.72x1.86) 從 l2lNG 2

cosON2GN2 2ONfGN l2＝5.5332

2ON綜上所述，可知此車(chē)最優(yōu)路NNSGNfL＝l1+l2＝0.1237cmRmin7現(xiàn)在我們運(yùn)動(dòng)中的右前輪T，它也是以O(shè)為圓心，以某固定半徑做圓運(yùn)動(dòng).要判斷此方案是否可行，我們只要論證當(dāng)和右前輪T運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)K時(shí)，是否有LxH(RminW/2)2(L(RminW/2)2(L(RminW/2)2Lx2 ((Rmin((RminW/2)2(La)2m)2(RminW/

Lx3.5275Ha4.50.598的圓周運(yùn)動(dòng).而要判斷此方案是否可行，只要論證當(dāng)右后輪VULymE/ W/2)2（其中Ly是如圖所示距離，m為兩安全距離，E為車(chē)庫(kù)有效寬度） W/2)2代入數(shù)據(jù)，我們 故該方案在情形二下也是成立的綜上所述，該理想路線經(jīng)檢驗(yàn)是可以成功的（三）模型三：路徑允許我們?cè)谀Ｐ投臋z測(cè)里已經(jīng)發(fā)現(xiàn)R是有一個(gè)有界的值.其臨界條件即是LxHa(RW/2)2(L (RW/2)2(RW/2)2(L從而可以解 R＝2.4382與

Rmax(xd)2(d )2 （其中xNsNs之間的距離，dxdyNs的橫縱坐Rmax、代入數(shù)據(jù)可求

Rmin Ns坐標(biāo)為（-3.72cm，3.9913cm，與最大半徑圓相切的圓W坐標(biāo)圓心坐標(biāo)(-2.13,3.9913)，W(x2.13)2(y3.9913)2又圓W的方程為：x2y2聯(lián)立上面的二式，可以解得切點(diǎn)G NGN路徑的解析式：y

2.5281(x2.13)2 (3.72x5.9449(1.91835.9449從而我們可以知道理想路徑允許的變動(dòng)范圍即是 NNSGNf 2.5281(x2.13)22.5281(x2.13)2R23.18R1.59y其中RminR

( x x

也就是說(shuō)理想路徑是由一些滿(mǎn)足(*)R六、模型誤差分(一)系統(tǒng)誤們找了某一車(chē)型其長(zhǎng)/寬為4908mm/2114mm的車(chē)來(lái)模擬示意圖小車(chē)，從而得到相關(guān)49833進(jìn)行偏轉(zhuǎn)的，因此汽車(chē)是在做半徑不斷增大的圓周運(yùn)動(dòng).但是考慮到汽車(chē)的速度為3km/h，通過(guò)路逕積分發(fā)現(xiàn)這個(gè)偏差很小可以忽略.(二)測(cè)量誤輪胎產(chǎn)生的誤差可以將兩輪胎的轉(zhuǎn)動(dòng)等價(jià)位前軸中點(diǎn)的一個(gè)等效輪胎在做轉(zhuǎn)動(dòng).實(shí)際輪胎的前后輪的偏：(一 模型評(píng)價(jià)

七、模型的評(píng)價(jià)以實(shí)現(xiàn)側(cè)位泊車(chē)的最小有效車(chē)位，從而判斷本車(chē)是否能在該處停車(chē).經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)的過(guò)控制汽車(chē)轉(zhuǎn)向角和相對(duì)停車(chē)位的位置，控制汽車(chē)實(shí)現(xiàn)泊車(chē).此模型假設(shè)汽車(chē)能 (二 模型的實(shí)際擴(kuò)展與應(yīng)用后軸到后杠距東風(fēng)本田CR-45°： 2dWcotmax2dWcotmax(La2(a2(dcot W/

2ma(dcotmaxW/2)m次到位條件，因車(chē)實(shí)際時(shí)，至少出現(xiàn)2次或兩次以上的調(diào)整才能使汽車(chē)停好.下面對(duì)此種多次調(diào)整泊車(chē)情況進(jìn)行分析：角為，在AO3Rmin為半徑做圓周調(diào)整.A’為調(diào)整完畢.BA=Hmin-L2AC=BA=284mm；結(jié)合所以可以經(jīng)過(guò)兩次調(diào)整使車(chē)與水平線平行

八、參考文Zhao,Y,Collins,EGJr.Robustautomaticparallelparkingintightspacesviafuzzylogic.RobAutonSyst,2005,51(2–3):111~127Gómez-Bravo,F.,Cuesta,F.,Ollero,A.Parallelanddiagonalparkinginnonholonomicautonomousvehicles.Eng.Appl.Artif.In,2001,14(4):419~434ThomasDGillespie.FundamentalsofVehicleDynamics.SocietyofAutomotiveEngineers,Inc,1992,Chian-SongChiu,Kuang-YowLian,PeterLiu.FuzzyGainSchedulingforParallelParkingaCar-LikeRobot.IEEETransactionsonControlSystemsTechnology,2005,:1084-1092NguyenD,WidrowB.Thetruckbacker-upper:anex