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§1.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(習(xí)題課)教學(xué)設(shè)計【教材分析】本節(jié)課是人教A版選修2-2第一章第三節(jié)內(nèi)容,前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點等問題,本節(jié)課是在前節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,進一步學(xué)習(xí)如何利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題。這個問題屬于高考壓軸題的范疇,本節(jié)主要從“套路”和“模型”的角度出發(fā),體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性特征?!緦W(xué)情分析】學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識,知道了一些解題的基本思路,但如何利用導(dǎo)數(shù)來解決一些較難的問題,完成對壓軸題的“破冰”,學(xué)生還是無能為力,這是本節(jié)課的困難,需要進行不斷的引導(dǎo)與強化?!窘虒W(xué)目標(biāo)】1、知識與技能:(1)能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點等問題及不等式恒成立問題;(2)能夠利用導(dǎo)數(shù)作圖,反之可以利用圖像來研究函數(shù)的性質(zhì);2、過程與方法:導(dǎo)數(shù)作為一種工具,是高中數(shù)學(xué)諸多知識的一個交匯點。通過教師思路上的引導(dǎo),小組合作探究,能讓學(xué)生從諸多條件中抽絲剝繭,發(fā)現(xiàn)解決方法,從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,深化對問題的認識,在過程中獲得思維能力的提高。3、情感與價值觀:培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí),合作交流的意識,互相啟發(fā),相互促進,充分發(fā)揮各自的主觀能動性,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,完善學(xué)習(xí)成果?!窘虒W(xué)重點】利用“套路”和“模型”來研究導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題。【教學(xué)難點】(1)基本模型的熟悉與應(yīng)用;(2)問題如何轉(zhuǎn)化成“模型”來處理?!菊n時設(shè)計】兩個課時,其中一個0.5個課時完成課堂練習(xí),1.5個課時完成后面內(nèi)容。【教學(xué)策略】采用練、評、講的教學(xué)方法,利用幾何畫板、多媒體投影儀輔助教學(xué)?!窘虒W(xué)過程】課堂練習(xí)(提前印發(fā)給學(xué)生)問題設(shè)計意圖師生活動1、解決導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用問題的一般步驟:構(gòu)造函數(shù)求求導(dǎo)求求極值、最值求問題的解回顧定義,明確方法。學(xué)生自主完成。2、曲線在處的切線方程為.左邊5個題均是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基礎(chǔ)題型,練習(xí)的目的如下:1、鞏固求解切線、單調(diào)區(qū)間、極值點、零點的一般步驟;2、熟練掌握簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),并能根據(jù)導(dǎo)函數(shù)畫出原函數(shù)圖像,深化對導(dǎo)數(shù)的理解。學(xué)生自主完成,并總結(jié)求解步驟,注意事項。3、函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.4、函數(shù)的極小值點為()A.1B.C.D.5、函數(shù)的零點個數(shù)為()A.0B.1C.2D.36、若不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A.B.C.D.二、列表比較??己瘮?shù)的圖像與性質(zhì):(課堂完成)教師:通過以上5個題目我們發(fā)現(xiàn),含對數(shù)指數(shù)的復(fù)合函數(shù)出現(xiàn)的頻率很高,事實上在高考中考查的也很頻繁,下面我們對這幾類函數(shù)進行單獨研究,后期就會有意想不到收獲。學(xué)生:獨立完成下表,小組內(nèi)部討論結(jié)論是否正確。設(shè)計意圖:針對高考的熱點問題進行練習(xí),先追根溯源,找到構(gòu)成問題的“基本元素”,再由簡到繁,引導(dǎo)學(xué)生體會解題思路,有意識去提煉總結(jié),提高學(xué)生解題能力的同時增強自信心。原函數(shù)定義域?qū)Ш瘮?shù)增區(qū)間減區(qū)間圖像教師:小組演示,老師提出問題,注重細節(jié)的挖掘,以下面這幾個函數(shù)為例:原函數(shù)師生活動設(shè)計意圖定義域師:引導(dǎo)學(xué)生觀察細節(jié),如最高(低)點,極值點等以及圖像的走勢等等。問題1:圖像有哪里關(guān)鍵點?問題2:圖像向左與向右的走勢是什么?為什么是這樣的?問題3:圖像向左會不會穿過軸?生:各小組派代表回答問題師:對學(xué)生的回答作出評價,并提出漸近線的概念通過問題的引導(dǎo),讓學(xué)生知道遇到這類問題要從哪些方面入手,明確問題的研究方向,為以后的研究指明方向?qū)Ш瘮?shù)增區(qū)間減區(qū)間圖像教師:再看一個例子原函數(shù)師生活動設(shè)計意圖定義域師問1:這個函數(shù)與前面一個函數(shù)有什么不同?師問2:這個函數(shù)有幾條漸近線?這類函數(shù)一般很少研究左邊的半支,主要還是研究右邊的半支。但對于導(dǎo)數(shù)的正負與原函數(shù)的正負結(jié)合起來才會對漸近線的概念有更深的理解,避免圖像“過界”,提高圖像的準(zhǔn)確性。導(dǎo)函數(shù)增區(qū)間減區(qū)間,圖像后面的幾個函數(shù)表達如下:(根據(jù)小組討論的結(jié)果,演示如下)原函數(shù)定義域?qū)Ш瘮?shù)增區(qū)間減區(qū)間,圖像三、典型例題【例1】【2014年高考全國1卷理數(shù)】設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(1)求的值;(2)證明.設(shè)計意圖:含指數(shù)與對數(shù)的函數(shù)是高考考察的熱點內(nèi)容,很多學(xué)生望而生畏,不敢嘗試。通過以上幾個簡單函數(shù)模型的組合可以生成很多類型,下面通過還原,讓學(xué)生體會這種“套路”師:經(jīng)過前面的練習(xí),第一問大部分學(xué)生可以完成,不難得到,所以第二問變成了證明,讓學(xué)生利用上面的知識解決這個問題師提示1:想利用上面的知識解決問題,就要把這個式子變成含有上面幾個函數(shù)的式子師提示2:變形有式子老師可以利用作圖軟件幫大家作出圖像設(shè)計意圖:學(xué)生變形出的式子可能是各種各樣的,我們需要找到一種能自己作圖,而且根據(jù)圖形上就可以把問題解決的辦法,幫助學(xué)生作圖是為了讓學(xué)生體會這種“套路”的精髓。生:小組合作,尋找各種拆分組合的辦法師:點評各種作法,結(jié)合圖形給予指導(dǎo)。再次提示學(xué)生上面各式的特點:對指數(shù)分開生1解答:生2解答:這個證明要通過放縮法來實現(xiàn),以后再講。由圖可知,只需證明即可,這個是學(xué)生可以操作的。師:事實上,很多題目變形到這種程度并不容易,需要我們對函數(shù)模型有較深刻的認識才可以。在這里可以適度引入“凸凹性”概念,解釋的時候更容易描述一些?!纠?】已知函數(shù)。證明:當(dāng)時,不等式恒成立師:還是利用拆分合并的方法,將變成我們能處理的式子。生1解答生2解答生3解答師:經(jīng)過比較我們發(fā)現(xiàn),方法3要更容易操作一些。設(shè)計意圖:讓學(xué)生在不斷的嘗試中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,明白這種方法的使用范疇,體會數(shù)形結(jié)合的作用。四、課后練習(xí)1、設(shè)函數(shù),其中,是自然對數(shù)底。若,證明:。分析:(如右圖)設(shè),,則由前面的有結(jié)論可知:又,所以當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以設(shè)計意圖:學(xué)以致用,讓學(xué)生熟悉這種構(gòu)造方式,鞏固通過構(gòu)造實現(xiàn)一邊的最大值大于(或等于)另外一邊的最小值的這種“套路”。五、小結(jié)反思1、在高考命題突出穩(wěn)定的現(xiàn)實下,適當(dāng)進行套路與模式的研究,有助于尋找解決這類問題的一般規(guī)律,幫助學(xué)生更好地認識導(dǎo)數(shù)的工具作用。2、本節(jié)主要是通過構(gòu)造,使得一邊的最大值大于(或等于)另外一邊的最小值,這種“套路”只是眾多套路中的一種,本
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