第七章思考題

第七章思考題1?自旋可在坐標(biāo)空間中表示嗎？它與軌道角動(dòng)量性質(zhì)上有何差異？解答：（1）白旋是內(nèi)稟角動(dòng)量，它不能在坐標(biāo)空間中表示出來。（2）軌道角動(dòng)量是微觀粒子的外部空間角動(dòng)量，它可在坐標(biāo)表象中表示出來，量子數(shù)為整數(shù)，本征態(tài)為球諧函數(shù)；自旋是內(nèi)稟角動(dòng)量，量子數(shù)為整數(shù)或半奇整數(shù)，自旋函數(shù)需用多分量波函數(shù)表示。此外，二者的旋磁比不同。2.電子2.電子$的本征態(tài)常被寫為a；它們的含義是什么?解答：S解答：S的本征態(tài)是自旋波函數(shù)x=的特例。由于在S的本征態(tài)中，本征值僅有+_與量子數(shù)m=+1對應(yīng)，分別記為*2 s*1(S*1(Sz)=P=V1)；a,P是電子的兩個(gè)線性獨(dú)立的自旋態(tài)組成一組正交完備基矢，以此為基矢的表象為S表象。任一自旋態(tài)完備基矢，以此為基矢的表象為S表象。任一自旋態(tài)*=*中可展開為…a+bB。人—a+。在S表象3?對于自旋為1/2的粒子，是否存在態(tài)3?對于自旋為1/2的粒子，是否存在態(tài)*=*，在其中解答：首先令在*=入態(tài)中，廠=*+b*=ab?" 0、zl2-bl2=0再由廠=0ncos8=0x=0n=0nsin8=0由于8無法同時(shí)滿足cos8=sin8=0，所以，對y于自旋為1/2的粒子，使s=s=s=0態(tài)是不存在的。4.微觀粒子的全同性原理表述為“全同粒子體系中，體系的物理狀態(tài)不因交換任意兩個(gè)粒子而改變”。問：“物理狀態(tài)”是指宏觀態(tài)還是微觀態(tài)？“交換任意兩個(gè)粒子”的準(zhǔn)確含義是什么？它與全同粒子的不可區(qū)分性有什么聯(lián)系？解答：物理狀態(tài)不變是指體系的微觀態(tài)和宏觀態(tài)都不因全同粒子間的交換而改變，全同性原理中強(qiáng)調(diào)的是微觀態(tài)(量子態(tài))的不變；交換任意兩個(gè)粒子是指在描述全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)中交換兩個(gè)粒子的包括自旋在內(nèi)的全部坐標(biāo)；實(shí)質(zhì)相同。所以，全同性原理彳主彳主也被稱為不可區(qū)分(分辨)原理。5.量子力學(xué)中，角動(dòng)量是如何定義的？答：量子力學(xué)中，角動(dòng)量是按下式定義"xjTJ任何滿足此式的算符所代表的力學(xué)量，都可以認(rèn)為是角動(dòng)量。此定義較之角動(dòng)量的仿佛經(jīng)典定義^=rxp更具普遍性。后者只能適用于軌道角動(dòng)量而不能適用于自旋。6.能量本征態(tài)有可能是角動(dòng)量己的本征態(tài)嗎？有可能是力的本征態(tài)嗎？答：要看L與L2是否與H對易，對易就可能。實(shí)例有：Z（1） 有心力場中運(yùn)動(dòng)的粒子，例如，氫原子中的定態(tài)也是己的L2本征態(tài)。（2） 沿z方向傳播的平面波eikz就是粒子能量及萬的共同本征態(tài)。Z7.在s態(tài)中，L=0,因?yàn)檐壍澜莿?dòng)量的本征函數(shù)可以是非球形對稱的？概率密度呢？答：廣0時(shí)，粒子波函數(shù)與概率分布都是球?qū)ΨQ的。角動(dòng)量指向任何方向是等概率的。因而，角動(dòng)量在任何方向的投影皆零，需特別注意的是：靈=0，切不可理解為粒子停止運(yùn)動(dòng)。8.試述電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)證據(jù)與理論依據(jù)。答：在球?qū)ΨQ勢場中，角動(dòng)量的本征函數(shù)可以是非球?qū)ΨQ的，概率分布也可以是非球?qū)ΨQ的。首先，從數(shù)學(xué)上，有心力場中定態(tài)波動(dòng)方程存在均的解；其次，從物理意義上，球?qū)ΨQ勢場只是表明外界對體系的作用是各向同性的，沒有理由要求體系本身也必須是球?qū)ΨQ的。經(jīng)典力學(xué)中也是如此。例如，太陽對行星的萬有引力勢具有球?qū)ΨQ性，但行星運(yùn)動(dòng)并非球?qū)ΨQ的。9.斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中，只有使用處于s態(tài)的中性原子，而不能使用電子，為什么？答：電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)證據(jù)：（1） 斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)；（2） 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)；（3） 反常塞曼效應(yīng)以上實(shí)驗(yàn)事實(shí)，只有引入自旋概念才能得到解釋。理論依據(jù)：從相對論量子力學(xué)的狄拉克方程出發(fā)，可以證明軌道角動(dòng)量不是運(yùn)動(dòng)積分，必須引入補(bǔ)充項(xiàng)構(gòu)成總角動(dòng)量，才能滿足角動(dòng)量守恒定律。引入的補(bǔ)充項(xiàng)就是自旋。10.（1）自旋可以在坐標(biāo)表象中表示嗎？它是否與外部空間毫無關(guān)系呢？（2）自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量，性質(zhì)上有那些差異？答：斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中，不能使用自由電子的原因是：（1） 電子帶有電荷，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)要受到洛倫茲力作用；（2） 電子質(zhì)量輕，德布羅意波長較長，不易清晰成象。使用中性s態(tài)原子，原因有三：（1）質(zhì)量較重；（2）不帶電荷；處于s態(tài)，i=0,可排除軌道角動(dòng)量的影響。.泡利矩陣中，。盧。,為實(shí)矩陣，°y為純虛矩陣。問：是否可經(jīng)表象變換，使（1）三個(gè)泡利矩陣都是實(shí)的；或Q）兩個(gè)是虛的，另一個(gè)是實(shí)矩陣。答：（1）自旋是內(nèi)稟角動(dòng)量，故不能在坐標(biāo)空間表示出來。（2）軌道角動(dòng)量是外部空間角動(dòng)量，可在坐標(biāo)表象中表示。量子數(shù)為整數(shù)，本征態(tài)為球諧函數(shù)。自旋是內(nèi)稟角動(dòng)量，量子數(shù)為整數(shù)或半奇整數(shù)，自旋函數(shù)需用多分量波函數(shù)表示。此外，兩者的旋磁比不同。因?yàn)?$$=i與表象無關(guān)。而乘積結(jié)果中』勺出現(xiàn)使在任xyz何表象中，三和泡利矩陣Gx、3G不可能都是實(shí)的，也不可能兩個(gè)是純虛數(shù)的另一個(gè)實(shí)矩陣.試比較經(jīng)典角動(dòng)量的相加與量子角動(dòng)量的耦合，二者有什么區(qū)別？答：經(jīng)典力學(xué)中，兩角動(dòng)量可按矢量相加法則簡單地相加。它們相加的角度可以是任何的（取決于體系的性質(zhì)）因此得到的合動(dòng)量其數(shù)值與取向也是連續(xù)變化的。量子力學(xué)中，角動(dòng)量總是一個(gè)量子化的量。不僅兩個(gè)任意角動(dòng)量的大小與取向是量子化的，如果它們相互耦合。則合角動(dòng)量的大小和與取向也是量子化的，因此兩角動(dòng)量的耦合方式要受到限制，不能是任意的。例如，在量子力學(xué)中，兩角動(dòng)量的耦合滿足三角形關(guān)系，而按照經(jīng)典方式描述，這種耦合的限制就相當(dāng)于兩角動(dòng)量的夾角不能是任意的，而是量子化的。.全同粒子是:所有性質(zhì)均相同的粒子。質(zhì)量、速度、動(dòng)量、能量、角動(dòng)量均相同的粒子。自旋相同的粒子(有時(shí)被稱為同類粒子)。所有固有物理性質(zhì)如質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩 ?均相同的粒子。所有固有物理性質(zhì)相同，且彼此間無相互作用的粒子。你認(rèn)為哪個(gè)更確切？答：(4).微觀的全同粒子可區(qū)分時(shí)，粒子可以被標(biāo)記編號(hào)，這是否意味著這些微觀粒子服從經(jīng)典力學(xué)規(guī)律，粒子按軌道運(yùn)動(dòng)？答：微觀的全同粒子即使是可區(qū)分時(shí)仍具有波動(dòng)性，仍似波函數(shù)描述體系狀態(tài)，波函數(shù)滿足波動(dòng)方程???…總之，仍遵守量子力學(xué)規(guī)律，只是此時(shí)不存在波函數(shù)的交換對稱性。.微觀粒子的全同性原理如表述為：“全同粒子體系中，體系的物理狀態(tài)不因交換任意兩個(gè)粒子而改變?！眴?(1)“物理狀態(tài)”是指宏觀態(tài)？還是微觀態(tài)？“交換任意兩個(gè)粒子”的確切含義是什么？它與全同粒子的不可區(qū)分性有什么聯(lián)系？答：(1)物理狀態(tài)不變是指體系的微觀態(tài)及宏觀態(tài)都不因全同粒子間的交換而改變。全同性原理中強(qiáng)調(diào)的是微觀態(tài)（量子態(tài)）的不變（2） 交換任意兩個(gè)粒子是指在描述全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)中，交換任意兩個(gè)粒子的全部坐標(biāo)（包括自旋??…）（3） 實(shí)質(zhì)相同。所以，全同性原理也被稱為不可區(qū)分（分辨）原理。.經(jīng)典的全同粒子系是否存在全同性原理？答：經(jīng)典的全同粒子總是可以區(qū)分的。在經(jīng)典全同粒子體系中交換任意兩個(gè)粒子時(shí)，雖然體系的宏觀態(tài)仍不變但微觀態(tài)改變了。所以經(jīng)典的全同粒子不存在全同性原理。.是否可能由于外場的作用，使全同粒子系從一種對稱態(tài)躍遷到具有不對稱性的態(tài)？答：全同粒子是固有性質(zhì)均相同的粒子。在同樣條件下粒子的行為是相同的。因而，體系的哈密頓量仍然是對稱的。全同粒子系如處在w態(tài)將w態(tài)。即使改變外場，也永遠(yuǎn)不會(huì)躍遷至*態(tài)。YS YS A18.態(tài)疊加原理對全同粒子系是否仍適用？全同粒子系的波動(dòng)方程解的任意線性疊加，是否仍描述該體系的可能態(tài)？答：全同粒子系的態(tài)必須具有確定的交換對稱性。真實(shí)的物理態(tài)是既滿足波動(dòng)方程又又滿足對稱性的那些態(tài)。因而，對全同粒子系，態(tài)疊加原理應(yīng)表述為：體系波動(dòng)方程的解任意線形疊加中，滿足交換對稱性的那些態(tài)才是體系可能的態(tài)。.氦原子是玻色子，而計(jì)算氦原子的量子能級時(shí)，氦原子的定態(tài)波函數(shù)由反對稱波函數(shù)描述，是否矛盾？答：上題解答中已強(qiáng)調(diào)指出：氫原子是玻色子的確切含義是指由氫原子組成全同粒子系時(shí)，氫原子體系的波函數(shù)應(yīng)該是對稱的。計(jì)算氫原子的量子能級時(shí)，氫原子是當(dāng)作收外場（原子氫的庫侖場）作用的兩電子體系（略去原子核的運(yùn)動(dòng)）。電子是費(fèi)米子。所以氫原子的定態(tài)波函數(shù)由反對稱波函數(shù)描述。.量子力學(xué)中以什么為依據(jù)，把全同粒子系劃分為定域系與非定域系？答：微觀的全同粒子在某些情形下是可區(qū)分的。如晶體中原子定域在空間不同區(qū)域，波函數(shù)完全不重疊，全同性原理失效。由這種定域的粒子組成的系統(tǒng)稱為定域系。含有多個(gè)、全同且近獨(dú)立定域子系的系統(tǒng)遵守玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)。滿足全同性原理的全同粒子系稱為非定域系，其中由費(fèi)米子組成的系統(tǒng)稱為費(fèi)米系，由玻色子組成的系統(tǒng)稱為玻色系。量子力學(xué)中提到全同粒子系而不加說明時(shí)，都是指非定域系。21.為什么把玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米■狄拉克統(tǒng)計(jì)統(tǒng)稱為量子統(tǒng)計(jì)，把玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)稱為經(jīng)典統(tǒng)計(jì)？量子統(tǒng)計(jì)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)是統(tǒng)計(jì)原理上的不同，還是其他方面的不同？答：受全同性原理支配的統(tǒng)計(jì)叫量子統(tǒng)計(jì)。與之對比，把不受全同性原理控制的玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)稱為經(jīng)典統(tǒng)計(jì)。因此在全同粒子系中，定域系仍遵守玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)。量子統(tǒng)計(jì)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)在統(tǒng)計(jì)基本原理上是沒有區(qū)別的。差別在于：量子統(tǒng)計(jì)中，由于全同性原理，全同粒子系內(nèi)交換任兩粒子都不給出新的微觀態(tài)。而在玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)中，計(jì)算一宏觀態(tài)所包括