GCT數(shù)學 微積分（講義）

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第11章函數(shù)的極限與連續(xù)

11.1函數(shù)一函數(shù)

1定義設x和y是兩個變量，D是給定的數(shù)集，假使對于每個數(shù)x?D，變量y依照一定的法則，總有一個確定的值與它對應，則稱y是x的函數(shù)，記作y?f(x)，數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量。2表示法

3基本初等函數(shù)

?1x?0?xx?0?例11．1．1（1）y?C；（2）y?x??；（3）y??0x?0。

??xx?0??1x?0?（4）設x是任一實數(shù)，y??x?表示不超過x的最大整數(shù)部分。例11.1.2以下函數(shù)是否一致？（1）f(x)?lgx2g(x)?2lgx；（否）（2）f(x)?3x4?x3,（是）g(x)?x3x?1；

（3）f(x)?(x?1)2,g(x)?x?1。（否）

例11.1.3求函數(shù)的定義域。

（1）y?1；答x?0x?x1，求f(x)的定義域.x?e?2x?1（2）設f(ex?1)?

二特性

1函數(shù)的有界性

設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，假使?M?0，使得對?x?I，有f(x)?M，則稱f(x)在區(qū)間I上有界，否則，稱f(x)在區(qū)間I上無界。2函數(shù)的單調性

設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義,假使?x1,x2?I且x1?x2時，有f(x1)?f(x2)（或f(x1)?f(x2)）則稱f(x)在區(qū)間I上是單調增（或單調減）的。3函數(shù)的奇偶性

設函數(shù)f(x)的定義域X關于原點對稱，（即若x?X，則必有?x?X），假使?x?X，有f(?x)?f(x)成立，則稱f(x)為偶函數(shù)，假使?x?X，有f(?x)??f(x)成立，則稱f(x)為奇函數(shù)。4函數(shù)的周期性

設函數(shù)f(x)的定義域是X，假使?常數(shù)T?0，使得對?x?X，有x?T?X，且

f(x?T)?f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，使上式成立的最小正數(shù)T稱為f(x)的周期。

例11.1.4判斷函數(shù)的奇偶性。

ax?a?x（1）y?；（2）y?(1?x2)ln(x?1?x2)；（3）y?2x3?x2。

2[（1）偶；（2）奇；（3）非奇非偶]

三函數(shù)的運算1四則運算2反函數(shù)

3復合函數(shù)與初等函數(shù)（1）復合函數(shù)

設y?f(u)，定義域為Du；u??(x)，定義域為Dx，值域為Wu，當Wu?Du時，稱

y?f[?(x)]為x的復合函數(shù)，它是由y?f(u)和u??(x)復合而成的函數(shù)，它的定義域為Dx，稱u為中間變量。

（2）初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合運算所構成的并用一個式子所表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。

?xx?0例11．1．5（1）設f(x)?x?x，g(x)??2，求f(g(x)),g(f(x))。

?xx?00x?0?2x2x?0（f(g(x))??，g(f(x))??）?24xx?0??0x?0

?1?x?1?x?0?x2?10?x?1（2）求y??2的反函數(shù)。（y??）

?x?1?x?0??x0?x?1例11．1．6設函數(shù)f(x)的定義域是(??,??)，且f(x)的圖形關于直線x?a與x?b對稱，(a?b)，證明f(x)是以2(b?a)為周期的周期函數(shù)。

四補充題例11．1．7

11f(x)在(??,??)上有定義，且f(x?k)?，則f(x)是[]（其中k為大

f(x)于零的常數(shù)）

(A)周期函數(shù)(B)單調函數(shù)(C)奇函數(shù)(D)偶函數(shù)2設f(x)?ex，且f(?(x))?1?x，則函數(shù)?(x)的定義域為[(A)]

(A)(??,1)(B)(??,0)(C)(0,??)(D)(??,??)3以下函數(shù)中關于y軸對稱的是[(B)]

(A)y?x2?2x?1(B)y?xln(x?1?x2)(C)y?2x?2?x(D)y?2xe?x4設函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]，則函數(shù)

g(x)?1?x?f(sin?x)?1?x?f(1?cos?x)的定義域是[(D)]

(A)x?1(B)0?x?1(C)x?0.5(D)0.5?x?1

?x,x＞0,5（08）設f(x)??則有[]。

?1?x,x＜0,（A）f(f(x))?(f(x))2（B）f(f(x))?f(x)

＜f(x)（C）f(f(x))＞f(x)（D）f(f(x))答（B）。

分析：此題主要考察函數(shù)的概念與函數(shù)求值的運算。

x?0,?x,解法1：由f(x)??易知，當x?0時，f(x)?0。

1?x,x?0,?x),f(fx)x??0,?ff(x又f(f(x))??所以?f(xf)(f(x))?f(x)。

x))??00,?1?f(x),ff((x故正確選項為（B）．

解法2：利用特別值代入法與排除法更簡單．取x?2，則

f(2?)2f,f(?(2f))?，這時選項（A）,（C）,（Ｄ）都不成立。

故正確選項為（B）．

11.2數(shù)列的極限

1定義給定數(shù)列{xn}，假使當n無限增大時，其通項xn無限趨近于某個常數(shù)A，則稱數(shù)列{xn}以A為極限，記作limxn?A或者xn?A(n??)。

n??2單調性設數(shù)列{xn}，假使對于?n，有xn?xn?1（xn?xn?1），則稱數(shù)列{xn}是單調遞增（單調遞減）的。

3假使?M?0，對于?n有xn?M，則稱數(shù)列{xn}是有界的。4數(shù)列極限的性質

（1）若數(shù)列{xn}是收斂的，則它的極限是唯一的。（2）數(shù)列{xn}是收斂的，則稱數(shù)列{xn}是有界的。5數(shù)列極限的四則運算設limxn?A，limyn?B

n??n??（1）lim(xn?yn)?A?B

n??（2）limxnyn?AB

n??（3）limn??xnA?ynB(B?0)

11.3函數(shù)的極限1函數(shù)極限的定義

（1）設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,??)上有定義，A為常數(shù)，假使當x???時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于A，則稱當x???時，f(x)以A為極限，記作limf(x)?A。

x???（2）設函數(shù)f(x)在區(qū)間(??,a]上有定義，假使當x???時，函數(shù)f(x)A為常數(shù)，

的值無限趨近于A，則稱當x???時，f(x)以A為極限，記作limf(x)?A。

x???（3）設函數(shù)f(x)在區(qū)間(??,?a)?(a,??)(a?0)上有定義，A為常數(shù)，假使當x無限增大時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于A，則稱當x??時，f(x)以A為極限，記作limf(x)?A。

x??（4）定理limf(x)?A的充分必要條件是limf(x)?A且limf(x)?A。

x??x???x???（5）當x無限趨近于x0（x?x0）時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于A，則稱x趨

近于x0時，函數(shù)f(x)以A為極限，記作limf(x)?A。

x?x0（6）當x?x0無限趨近于x0（x?x0）時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于A，則稱x趨近于x0時，函數(shù)f(x)的左極限為A，記作f(x0?0)?lim?f(x)?A。

x?x0（7）當x?x0無限趨近于x0（x?x0）時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于A，則稱x趨近于x0時，函數(shù)f(x)的右極限為A，記作f(x0?0)?limf(x)?A。

?x?x0（8）定理limf(x)?A的充分必要條件是f(x0?0)?lim?f(x)?A且

x?x0x?x0f(x0?0)?limx?x?f(x)?A。

0（9）設limx??f(x)?A，limx??g(x)?B

（i）若A?B，則極限點附近有f(x)?g(x)。（ii）極限點附近有f(x)?g(x)，則A?B。

2函數(shù)極限的性質

（1）假使limf(x)存在，則極限值是唯一的。

（2）假使limf(x)?A，則f(x)在極限點附近是有界的。

3函數(shù)極限的運算法則（1）四則運算

（2）復合函數(shù)的運算法則

設復合函數(shù)y?f[?(x)]在x0的某鄰域內（x0可除外）有定義，xlim?x?(x)?u

00（x?x0,?(x)?u0）且ulim?uf(u)?A，則limf[?(x)]?(u)?A。0x?x0ulim?uf04重要極限

*（1）limsinxx?0x?1

（2）limx??(1?11x)x?e或lim?0(1?x)xx?e

例11.3.1設f(x)?xx，探討limx?0f(x)是否存在。（不存在）

??4x?x?2例11.3.2設f(x)??1?1x?2，求limf(x)。

（7）?x2x?2??4?x?2?3x?2??n?m例11．3．3I?limann?10x?a1x???an?1x?anx??b????a0n?m0xm?b1xm?1???bm?1x?bm?b?0?0n?m?P(x0)例11．3．4limPn(x)?x?x??Q(xQ(x0)?00)??Q(x0)?0且P(x0Q?0)?0

m(x)?不定式Q(x0)?0且P(x0)?0?202320例11．3．5lim3x?x3?13x?x3?1x??x15?x4?2，limx??x15?x4?2?0，lim5x?x3?15x??2x20?x4?2?2假使

例11．3．6

tanx（1）lim（1）

x?0x11?cosx（2）lim（）2x?0x21?x?11（3）lim（）

x?0x2ln(1?x)（4）lim（1）

x?0xex?1（5）lim（1）

x?0xx（6）I?limn2sin2（x）

n??nn?1n（7）lim()（e2）

n??n?1

11.4無窮大量與無窮小量一1定義（1）假使函數(shù)f(x)當x?x0（或x??）時的極限為零，則稱函數(shù)f(x)當x?x0（或x??）時為無窮小量。（2）假使函數(shù)f(x)當x?x0（或x??）時f(x)無限變大，則稱函數(shù)f(x)當

x?x0

（或x??）時為無窮大量。記作limf(x)??.2無窮大量與無窮小量的關系

在自變量的同一變化過程中，假使函數(shù)f(x)為無窮大量，則

量，反之，假使函數(shù)f(x)為無窮小量且f(x)?0，則

1為無窮小f(x)1為無窮大量。f(x)3無窮小量與有極限量的關系

limf(x)?A?f(x)?A??(x)，其中l(wèi)im?(x)?04無窮小量與有界量之積為無窮小量5無窮小量的比較

設x??時，?(x)?0,?(x)?0

?(x)(1)若?0，則稱x??時?(x)比?(x)高階無窮小，記作?(x)??(?(x))

?(x)?(x)?c(c是不等于零的常數(shù)）(2)若，則稱x??時?(x)與?(x)同階無窮小。?(x)特別地，當c?1時稱x??時?(x)與?(x)是等價無窮小，記作x??時，?(x)~?(x)。當x?0時，sinx~x，(l1?x)~x，n，natx~x，

111?x?1~x，ex?1~x。1?cosx~x2,22?(x)??，則稱x??時?(x)比?(x)低階無窮小。(3)若

?(x)6等價無窮小替換定理

設x??時，?(x)?0,?(x)?0，?1(x)?0,?1(x)?0且?(x)~?1(x)，

?(x)?(x)?(x)存在，則lim。?(x)~?1(x)，lim1?lim1x???(x)x???(x)x???(x)11例11．4．1

3ln(1?3x)（1）lim（?）

x?02x21?ax2?1a（2）lim（）

x2x?02e?1sin2x（3）lim（6）

x?0tan(x/3)ln(1?3x)(4)lim（0）

x???ln(1?2x)

11.5函數(shù)的連續(xù)性1連續(xù)的定義

(1)y?f(x)在點x0連續(xù)：設y?f(x)在點的某鄰域有定義，假使lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0或limf(x)?f(x0)，則稱y?f(x)在點

?x?0?x?0x?x0x0連續(xù)。

（2）左連續(xù)，右連續(xù)

（3）y?f(x)在(a,b)內連續(xù)（4）y?f(x)在[a,b]內連續(xù)2函數(shù)的休止點及分類3連續(xù)函數(shù)的運算法則

(1)設f(x)，g(x)在x0連續(xù)，則f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，在x0連續(xù)。

(2)復合函數(shù)的連續(xù)性

設u?g(x)在x0連續(xù)，y?f(u)在u0?g(x0)連續(xù)，則復合函數(shù)y?f[g(x)]在x0連續(xù)。

結論：初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。4連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(1)有界性

設f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上有界。(2)最值存在

設f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值。(3)介值定理

設f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)?f(b)，則對f(a)與f(b)之間的任何數(shù)?，必存在

c?(a,b)，使得f(c)??。(4)零點存在定理

f(x)（g(x0)?0），g(x)設f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)?0，則必存在c?(a,b)，使得f(c)?0。

x例11．5．1求休止點及判斷其類型f(x)?

x(x?1)?1?e?xx?0??tanx例11．5．2設f(x)??ax?0，a,b為何值

?1b?xcosx?0?x?(1)limf(x)存在;(2)f(x)在x?0處連續(xù)。

x?0例11．5．3證明曲線y?x4?3x2?7x?8在(1,2)內至少與x軸有一個交點。5補充題例11．5．4

1以下極限正確的是[(B)]

sinx1(A)lim?1(B)limxsin?1

x??x??xx11sinx(C)limsin不存在(D)lim?1

x??xx??xx2以下函數(shù)中在x?0處連續(xù)的是[(A)]

?sinx??12,x?0??ex,x?0(B)?x(A)????0,x?0?1,x?011??x?x?(C)?e,x?0(D)?(1?2x),x?0

2??x?0?0,x?0?e,3若limf(x)?4，則必定有[]。

x?1（A）f(1)?4(B）f(x)在x?1處無定義

(C)在x?1的某鄰域(x?1)中，f(x)?2(D)在x?1的某鄰域(x?1)中，f(x)?2

第12章一元函數(shù)微分學

12.1導數(shù)的概念一導數(shù)的定義

1設函數(shù)y?f(x)在x0某鄰域內有定義，當自變量x在點x0取得改變量?x（?x?0）時，相應地函數(shù)y?f(x)也有改變量?y?f(x0??x)?f(x0)，假使極限limf(x0??x)?f(x0)?y?lim存在，則稱函數(shù)y?f(x)在x0可導，并稱這個

?x?0?x?x?0?x極限值為函數(shù)y?f(x)在點x0的導數(shù)，記作f?(x0)，y?x?x，

0dydxx?x0dfdx

x?x02左導數(shù)，右導數(shù)假使lim??x?0f(x0??x)?f(x0)?y?lim?存在，則稱此極限值為f(x)在x0處的左導?x?0?x?x數(shù)，記作f??(x0)。假使lim數(shù)，

記作f??(x0)。

3假使f(x)在(a,b)內每一點可導，則稱f(x)在(a,b)內可導。

4假使f(x)在(a,b)內可導，且f??(b),f??(a)存在，則稱f(x)在[a,b]內可導。二導數(shù)的幾何意義

函數(shù)f(x)在x0點的導數(shù)f?(x0)等于曲線y?f(x)在點（x0，f(x0)）處切線的斜率。

切線方程是y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，法線方程是y?f(x0)??

三可導與連續(xù)的關系

可導必連續(xù)，反之不然。四重要結論

1f(x)在x0處可導?f??(x0)?f??(x0)2可導偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)；3可導奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)；4可導周期函數(shù)的導數(shù)是周期函數(shù)。例12.1.1用定義求函數(shù)y?log3x的導數(shù)。（

1(x?x0)。f?(x0)?x?0?f(x0??x)?f(x0)?y?lim存在，則稱此極限值為f(x)在x0處的右導

??x?x?0?x1）xln3例12.1.2研究y?x在x?0的連續(xù)性與可導性。（連續(xù)不可導）

?sina(x?1)x?1例12.1.3求a,b的值，使f(x)??在x?1處可導。（a?1,b?0）

lnx?bx?1?例12.1.4（1）在曲線y?lnx上求一點，使得在該點的切線斜率為3，并求此

切線方程。（y?3x?1?ln3）

（2）求曲線y?ex在x?1處的切線方程。（y?x?1）（3）求過(0,0)點并與y?ex相切的直線方程。(y?ex)例12.1.5f(x)在x0可導，求以下極限

f(x0?h)?f(x0)

h?0hf(x0?2?x)?f(x0??x)（2）lim

?x?0?x例12．1．6（1）可導偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)；（2）可導奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)；（3）可導周期函數(shù)的導數(shù)是周期函數(shù)。

12.2求導公式和導數(shù)運算法則一求導公式（1）lim1(x?)???x??12(ax)??axlna3(logax)??14(sinx)??cosxxlna5(cosx)???sinx6(tanx)??sec2x二四則運算

假使f(x)，g(x)在點x都可導，則（1）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)

（2）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)（3）[f(x)f?(x)g(x)?f(x)g?(x)]??g(x)g2(x)三復合函數(shù)的導數(shù)

設y?f[g(x)]由y?f(u)和u?g(x)構成的復合函數(shù)，假使u?g(x)在點x可導，

dudy?g?(x)，y?f(u)在點u可導，?f?(u)，則復合函數(shù)y?f[g(x)]在點x可dxdudydydu?f?(u)g?(x)?f?[g(x)]g?(x)??導，且

dxdudx

例12．2．1求導數(shù)

x2?2x?2?ln2，求y?x?1(2)（1）y?x（2）y?lnx?1x(2)lnxlnx（3）y?ex(x2?1)sinx（ex(x2?1)sinx?2xexsinx?ex(x2?1)cosx）（4）y?x(x?1)(x?2)?(x?n)，求y?(0)。（n!）例12．2．2求導數(shù)

ex（1）y?ln(1?e)()

1?exx（2）y?xa2x2?x?3(2xax2?x?3?x2ax2?x?3(2x?1)lna)

（3）y?ln(x?1?x2)(

11?x2)

1e?x1?x?（4）y?)ln(1?e)(??x?x24ln(1?e)1?e（5）y?e(

ln(1?x2)2?x?e?xln(1?x2)?e?xln2(1?x2)22x1?x2)

（6）y?e?3xa2?x2(?6xe?3xa2?x2?e?3x2xa?x22)

（7）y?lnlnlnx(（8)y?ln1)

xlnxlnlnx1?x111[(?)]1?x21?x1?xdydxf?(lnx)（1）y?f(lnx)（）

x例12．2．3f為可導函數(shù)，求

（2）y?f(x2)?f(ex)答2xf?(x2)?exf?(ex)四高階導數(shù)

例12．2．4（1）y?ln(x?a2?x2)，求y??。[?x(a2?x2)

?32]

(2)設f(x)?e五補充題例12．2．5

?1x，求lim?x?0f?(2??x)?f?(2)3。（）

?x16e1對任意的x都有f(?x)??f(x)且當x0?0時，f?(?x0)??k?0，則f?(x0)?[(B)]

11(A)k(B)?k(C)(D)?

kkf(1)?f(1?x)2設f(x)可導，且滿足lim??1，則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的切

x?02x線斜率為[(B)]

(A)2(B)?2(C)

1(D)?12??lnx2?a2x?13f(x)??b(x?1)在(??,??)上可導，則[(B)]

??1x?1?e(A)a?0,b?2(B)a?0,b?1

1(C)a??1,b?2(D)a?e?1,b?1

e4如圖f(x),g(x)是兩個逐段線性的連續(xù)函數(shù)，3設u(x)?f[g(x)]，求u?(1)的值。(?1)5在曲線y?1(0?x???)上任一點P(x,y)xf(x)g(x)36BPO處作切線，切線分別教x軸與y軸于A和B，則[(B)](A)PA?PB(B)PA?PB

A(C)PA?PB(D)PA,PB的大小關系與P的位置有關12.3微分

一定義函數(shù)y?f(x)在x處的微分

設函數(shù)y?f(x)在區(qū)間I上有定義，x0,x0??x?I，假使函數(shù)的改變量

?y?f(x0??x)?f(x0)可表為?y?A?x??(?x)，其中A是不依靠?x的常數(shù)，

而?(?x)是比?x的高階無窮小，則稱y?f(x)在x0是可微的，A?x叫做

y?f(x)在x0相應于自變量改變量?x的微分，記作dy，即dy?A?x或dy?Adx。?y?dy??(?x)二微分與導數(shù)的關系

函數(shù)y?f(x)在點x處可微的充分必要條件是它在該點處可導，此時A?f?(x)即有dy?f?(x)dx。?y?f?(x)?x??(?x)三微分的幾何意義

四微分的基本公式和四則運算法則

1x?(1?2x)ln(1?2x)例12．3．1（1）設x??,y?(1?2x)x，求dy.[(1?2x)xdx]22x(1?2x)11（2）若函數(shù)y?f(x)在x0處的導數(shù)不為零且不為1，則當?x?0時該函數(shù)在x?x0處的微分dy是[(B)]

(A)與?x等價無窮小(B)與?x同階無窮小(C)與?x低階無窮小(D)與?x高階無窮小五補充題

例12．3．2

1（03）假使函數(shù)f(x)在x0處可導，?f(x0)?f(x0??x)?f(x0)，則極限lim?f(x0)?df(x0)=[(C)]

?x?0?x(A)等于f?(x0)(B)等于1(C)等于0(D)不存在

2（04）如圖f(x),g(x)是兩個逐段線性的連續(xù)函數(shù)，設u(x)?f[g(x)]，則u?(1)的值為[(A)]。

33(B)?4411(C)?(D)

12123（05）設f(x)在x?0處可導，且

654yf(x)(A)

321-10

g(x)12345678

12f()?(n?1,2,3,?)，則f?(0)?[(C)]nn(A)0(B)1(C)2(D)3

1f(a?)n?[（D）]。4（06）設f(x)?0，且導數(shù)存在，則limnlnn??f(a)f?(a)（A）0(B)∞(C)lnf?(a)(D)

f(a)x1?5（07）設y?ln(tan)?，則y?()?[（B）]。

22248（A）?1（B）1（C）（D）2216??16??f2(h)?26（08）若函數(shù)f(x)可導，且f(0)?f?(0)?2，則lim=[（Ｄ）]。

h?0h（A）0（B）1（C）22（D）412.4中值定理

1羅爾定理

假使函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且f(a)?f(b)，則至少

???(a,b)使得f?(?)?0。2拉格朗日中值定理

假使函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，則至少

???(a,b)使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立。

（1）假使函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零，則f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)。（2）假使函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間I上的導數(shù)相等，則這兩個函數(shù)在區(qū)間I上至多相差一個常數(shù)。

例12．4．1若方程a0xn?a1xn?1???an?1x?0有一個正根x?x0，證明方程a0nxn?1?a1(n?1)xn?2???an?1?0必有一個小于x0的正根。例12．4．2f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內f?(x)?0，①當f(a)?0時，則開區(qū)間(a,b)內f(x)?0；

②當f(b)?0時，則開區(qū)間(a,b)內f(x)?0。例12．4．3設b?a?0，證明

例12．4．4（1）(05)若f(x)的二階導數(shù)連續(xù)，且limf??(x)?1，則對任意常數(shù)

b?abb?a。?ln?baax???a必有

xlim???[f?(x?a)?f?(x)]?[(A)]

(A)a(B)1(C)0(D)af??(a)

（2）（08）函數(shù)f(x)在[1,??)上具有連續(xù)導數(shù)，且xlim???f?(x)?0，則[（Ｄ）（A）f(x)在[1,??)上有界（B）xlim???f(x)存在

（C）xlim???(f(2x)?f(x))存在（D）xlim???(f(x?1)?f(x))?0

12.5洛必達法則（00,??型極限）假使f(x)和g(x)滿足

（1）limf(x)?limg(x)?0(?)

（2）在極限點附近f?(x),g?(x)都存在，且g?(x)?0（3）limf?(x)g?(x)存在或無窮大，則limf(x)f?(g(x)?limx)g?(x)例12．5．1求極限

（1）x2?3x?2?xlim???ex(?)（0）

（2）limtanx?x0x?0x3(0)?limsec2x?1tan2x?03x2?limxx?03x2?13（3）limlnxx???x(0)

（4）lim11x?0(x2?xtanx)(???)（13）例12．5．2已知f(x)在(??,??)內有二階連續(xù)導數(shù)，且f(0)?0，

。]

?exf(x)exf(x)exf?(x)??f(0)x?0x?0??x?x?x2?x又?(x)??e，求??(x)。（?）

1f(x)x?0??f?(0)?f??(0)x?0?x?2?

12.6函數(shù)的單調性與極值1函數(shù)的單調性的判斷法一函數(shù)的增減性的判斷

假使函數(shù)f(x)在(a,b)內可導，則f(x)在(a,b)內單調遞增（減）的充分必要條件是

。?x?(a,b)，有f?(x)?0（?0）例12．6．1求函數(shù)的單調區(qū)間

4xx（1）f(x)?[(??,??)?]?1?x22x2?x?2（2）f(x)?[在(??,?1),(3,??)?，在(?1,1),(1,3)?]。

x?1二極值1定義

設函數(shù)f(x)，若?x?(x0??,x0??)（?為某一常數(shù)）均有f(x)?f(x0)(x?x0)則稱x0為f(x)的極大值點，f(x0)為f(x)的極大值；若?x?(x0??,x0??)均有

f(x)?f(x0)(x?x0)則稱x0為f(x)的微小值點，f(x0)為f(x)的微小值。

2取得極值的必要條件

設函數(shù)f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，則f?(x0)?0。3第一充分條件

設函數(shù)f(x)在點x0一個鄰域內可導，且f?(x0)?0（或f?(x0)不存在，但f(x)在點x0連續(xù)）假使當x取x0左側鄰近值時，f?(x)?0，當x取x0右側鄰近值時，

f?(x)?0，則函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值；假使當x取x0左側鄰近值時，f?(x)?0，當x取x0右側鄰近值時，f?(x)?0，則函數(shù)f(x)在點x0處取得微小值；假使當x取x0左右側鄰近值時，f?(x)恒為正或恒為負，則函數(shù)f(x)在點x0處沒有極值。

4其次充分條件

設函數(shù)f(x)在點x0有二階導數(shù)，且f?(x0)?0，f??(x0)?0，則假使當f??(x0)?0時,函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值；假使當f??(x0)?0時,函數(shù)f(x)在點x0處取得微小值。例12．6．2求函數(shù)f(x)?(x?1)3x2的單調區(qū)間和極值。

234（f(0)?0極大值，f()??3微小值）

5525例12．6．3（1）利用二階導數(shù)求函數(shù)y?2ex?e?x的極值。（22微小值）（2）探討方程xe?x?例12．6．4將

1的實根個數(shù)。（2個實根）2e中的函數(shù)與圖中的導函數(shù)圖形進行匹配。

12.7函數(shù)的最大值最小值問題

例12．7．1求f(x)?x?(x?1)在區(qū)間[?2,2]上的最大、最小值。（最大值是f(?1)?34，最小值是f(?2)?34?33）223213例12．7．2

1（06）設正圓錐母線長為5，高為h，底面圓半徑為r，在正圓錐的體積最大時，r?[（C）]h1(A)2(B)1

2(C)2(D)2．（07）曲線y?x?3

1的點與單位圓xx2?y2?1上的點之間的最短距離為d

則[（D）]

(A)d?1(B)d?(0,1)(C)d?2(D)d?(1,2)

3．（08）已知f(x)?3x2?kx?3(k＞0),當x＞0時，總有f(x)?20成立，則參數(shù)k的最小取值是[（Ｂ）]。

（A）32（B）64（C）72（D）9612.8曲線的凹凸、拐點及漸近線一曲線的凹凸、拐點

1假使曲線在其任一點切線之上（下），則稱此曲線是凹（凸）的。凹凸的分界點稱為曲線的拐點。

2設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上二階可導，當x?I時，f??(x)?0(?0)，則曲線在I是凹（凸）的。

3假使f??(x0)?0，且f??(x)在x0兩側異號，則（x0,f(x0)）時曲線的拐點。二曲線的漸近線1垂直漸近線

??當x?x0（x?x0，x?x0）時，有f(x)??，稱x?x0是曲線y?f(x)的垂

直漸近線。2水平漸近線

當x??（x???，x???）時，有f(x)?c，（其中c為常數(shù)）稱y?c是曲線y?f(x)的水平漸近線。

例12．8．1判斷曲線y?3x4?4x3?1的凹凸，并求拐點。

22（在(??,0),(,??)凹，在(0,)凸）

33例12．8．2求y?(x?6)e的單調區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間、拐點和漸近線。解（1）定義域x?0

1x2?x?6(x?2)(x?3)xx?e（2）y??e?(x?6)e(?2)?e，

xx2x21x1x111xy???e1x13x?6，4x令y??0得x??2,x?3，令y???0得x??(3)

613x(??,?2)+-?20-極大y?y??66630(0,3))?(?,0)131313?-0---(?2,?(3,??)++-0拐點+?+?+微小y?????????11極大值f(?2)?4e2，微小值f(3)?9e3，拐點(?672?1313,13e6)（4）lim?f(x)???，（milf(x)?0）

x?0是垂直漸近線；x?0x?0?，lx?im?f(x)??,無水平漸近線。

12．8．3（1）求y?ex例x2?1的漸近線。答x?0垂直漸近線，（2）證明x?0時，ex?1?x。三補充題

1當x???時，f(x)?ln(1?1x)與g(x)?sin1x，則[(B)]

(A)f(x)與g(x)是同階無窮小，但不等價(B)f(x)與g(x)是等價無窮小(C)f(x)比g(x)是高階無窮小(D)f(x)比g(x)是低階無窮小

2下圖是關于汽車位移函數(shù)的圖像。利用圖像回復以下問題。a)汽車的初始速度？

b)汽車在B,C兩點哪一點速度更快？

c)汽車在A,B,C三點速度是增快還是減慢？d)在D,E兩點之間，汽車的運動狀況?

3圖中給出了f?(x)的圖形，設有以下結論

??y?1水平漸近線

①f(x)的單調增區(qū)間(2,4)?(6,9)②

f(x)的單調增區(qū)間

(1,3)?(5,7)?(8,9)③x?1,x?3,x?5,x?7是f(x)的極值點④x?1,x?3,x?5,x?7是曲線f(x)拐點的橫坐標則以上結論中正確的是[(D)]

(A)①，②(B)②，③(C)③，④(D)①，④4設f(x)二階可導，且f?(x)?0，f??(x)?0，?y?f(x??x)?f(x)，則當?x?0時有[]

(A)?y?dy?0(B)?y?dy?0(C)dy??y?0(D)dy??y?05設f(x)?(x?1)(2?x)，則[(C)]

(A)x?1是f(x)的極值點，但(1,0)不是曲線f(x)的拐點(B)x?1不是f(x)的極值點，但(1,0)也不是曲線f(x)的拐點

(C)x?1是f(x)的極值點，且(1,0)是曲線f(x)的拐點(D)x?1不是f(x)的極值點，但(1,0)是曲線f(x)的拐點6（03）方程x2?xsinx?cosx的實數(shù)根的個數(shù)是[(B)](A)1個(B)2個(C)3個(D)4個

7（04）如下不等式成立的是[(B)]

(?x)(B)在(?3,0)區(qū)間上，(A)在(?3,0)區(qū)間上，ln3?x?ln3ln3?x?ln3(?x)

(C)在[0,??)區(qū)間上，ln3?x?ln3(?x)(D)在[0,??)區(qū)間上，ln3?x?ln(3?x)8（05）函數(shù)f(x)?xx(x?1)(x?2)(A)1條垂直漸近線，1條水平漸近線

(B)1條垂直漸近線，2條水平漸近線(C)2條垂直漸近線，1條水平漸近線(D)2條垂直漸近線，2條水平漸近線

在(??,??)上有[(D)]

9（06）如左圖，曲線P?f(t)表示某工廠十年期間的產(chǎn)值變化狀況，設f(t)是可導函數(shù)，

從圖形上可以看出該廠產(chǎn)值的增長速度是[（A）]

A.前兩年越來越慢，后五年越來越快

B．前兩年越來越快，后五年越來越慢

第13章一元函數(shù)的積分學

13.1不定積分的概念和簡單的計算一．原函數(shù)、不定積分的概念

1定義對于定義在某個區(qū)間I上的函數(shù)f(x),若存在函數(shù)F(x)，對于該區(qū)間I上的一切x都有F'(x)?f(x)成立，則稱此F(x)為f(x)的原函數(shù)。若

F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)?C（C是任意常數(shù)）是f(x)的全體原函數(shù)，

稱之為f(x)的不定積分，記作?f(x)dx，即?f(x)dx?F(x)?C稱x為積分變量，f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx為被積表達式。2?設F?(x)?f(x)

f(x)為可積的奇函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)f(x)為可積的偶函數(shù)，但F(x)不一定是奇函數(shù)f(x)為可積的周期函數(shù)，但F(x)不一定是周期函數(shù)二.不定積分基本計算公式

（1）?x?dx?1x??1?C(???1)

??1（2）?1dx?lnx?C

x（3）?exdx?ex?C

（4）?axdx?1ax?C(a?0,a?1)

lna（5）?sinxdx??cosx?C（6）?cosxdx?sinx?C（7）?dx?sec2xdx?tanx?C

?cos2x2（8）?dx?cscxdx??cotx?C?2sinx三不定積分的性質

（1）f(x)dx??f(x)

???（2）d?f(x)dx?f(x)dx(3)?F?(x)dx?F(x)?C(4)?dF(x)?F(x)?C

(5)?kf(x)dx?k?f(x)dx(k為不等于零的常數(shù))(6)?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx例13．1．1

lnx的一個原函數(shù)，求dF(sinx)。x11（2）?d(lnx?x3)?lnx?x3?C

22cos2x（3）?dx?cosx?sinx?C

sinx?cosxsinx（4）已知f(x)的一個原函數(shù)為，求?f(x)f?(x)dx。

1?xsinx（1）已知F(x)是

1cosx?sin2x2（[]?C）

2(1?xsinx)22x?1?5x?1dx例13．1．2求?10x[11x21x()?()?C]5ln22ln5513.2不定積分的計算方法

1．第一類換元法（湊微分法）

設F(u)是f(u)的原函數(shù)，且u??(x)可導，則F[?(x)]是f[?(x)]??(x)的原函數(shù)，即?f[?(x)]??(x)dx=?f(u)du=F(u)?C=F[?(x)]+C（其中u??(x)）例13．2．1

（1）?cos(2x?)dx

4（2）?（3）??1?(sin(2x?)?C)24x1?C）dx（ln1?xx(1?x)1x?a1ln?C）（dx222ax?ax?a例13．2．2

x1（1）?（dxln(1?2x2)?C）241?2x(2)?exxdx（2ex?C）

3（3)?x232?xdx（?例13．2．3(1)?332?x3ln3?C）

1dx（ln1?2lnx?C）

x(1?2lnx)2exdx（ln(1?ex)?C）(2)?x1?e(3)?1xx?ln(1?e)?C）（dxx1?ex2f(x?1)?ln2且f??(x)??lnx，求

x?22例13．2．4設

??(x)dx。答?(x)?x?1x?1??(t)?0且?(t)是f[?(t)]??(t)的原函數(shù)，2．其次類換元法設x??(t)單調可導，則

?(t)??(??1(x))是f(x)的原函數(shù)，即

?1?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt??(t)?C??(?(x))?C

例13．2．5求?3．分部積分法設

xdx1?xu(x),v(x)有連續(xù)的一階導數(shù),則

?u(x)v?(x)dx?u(x)v(x)??v(x)u?(x)dx即?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)例13．2．6求不定積分

（1）?xe1?x21x?x???12dx（?2?xe?2e2??C）

??1?1?（2）?xsin2xdx（??xcos2x?sin2x??C）

2?2?（3）?lnxdx（xlnx?x?C）（4）?exdx（2ex[x?1]?C）（5）?exsinxdx例13．2．7補充題

1（05）設x2lnx是f(x)的一個原函數(shù)，則不定積分?xf?(x)dx?[(C)]

21(A)x3lnx?x3?C(B)2x?x2lnx?C

39(C)x2lnx?x2?C(D)3x2lnx?x2?C

2（07）設函數(shù)f(x)可導，且f(0)?1，f?(?lnx)?x，則f(1)?[（A）]。（A）2?e?1（B）1?e?1（C）1?e?1（D）e?1

13.3定積分的概念與性質

一.定積分的概念

設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干分點a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)

[x0,x1],[x1,x2],?[xn?1,xn]，各個小區(qū)間的長度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,??xn?xn?xn?1，在每個小區(qū)間[xi?1,xi]上任意取一點

n?i(xi?1??i?xi)作函數(shù)值f(?i)與小區(qū)間長度?xi的乘積f(?i)?xi(i?1,2,?n)，并作和S??f(?i)?xi，記??max{?x1,?x2,?,?xn}，假使不管對[a,b]怎樣分

i?1法，也不管在小區(qū)間[xi?1,xi]上點?i怎樣取法,只要當??0時，和S總趨向于確定的極限I,這時，稱極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作

b?afb即?a(x)dx，

f(x)dx?I=lim?f(?i)?xi其中f(x)叫作被積函數(shù)，f(x)dx叫

??0i?1n做被積表達式，x叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，[a,b]叫做

積分區(qū)間。

二．定積分的幾何意義

b在[a,b]上f(x)?0時，?af(x)dx表示由曲線y?f(x)，兩條直線

x?a,x?b與x軸所圍的曲邊梯形的面積;在[a,b]上f(x)?0時，由曲線y?f(x)兩條直線x?a,x?b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，

b?af(x)dx在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值；在[a,b]上f(x)既取得正值又取得負值時，函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方，而其它部分位于x軸的下b方，?af(x)dx的幾何意義是圖中陰影的代數(shù)和。補充規(guī)定：

b（1）當a?b時，?af(x)dx?0

ba（2）當a?b時，?af(x)dx???bf(x)dx

三定積分的性質

設f(x),g(x)為可積函數(shù)，則

bbb(1)?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dxbb（2）?akf(x)dx?k?af(x)dx（k是常數(shù)）b（3）?adx?b?a

bcb（4）?af(x)dx=?af(x)dx??cf(x)dx

b(5)假使在[a,b]上，f(x)?0則?af(x)dx?0bb（6）[a,b]上,f(x)?g(x)則，?af(x)dx??ag(x)dx

bb（7）?af(x)dx??af(x)dx(a?b)

(8)設在[a,b]上，m?f(x)?M，則

bm(b?a)??af(x)dx?M(b?a)(其中m,M是常數(shù))

（9）假使函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少有一個數(shù)?，使

?f(x)dx?f(?)(b?a)成立。

ab另外，記住下面公式，往往會化簡定積分的計算。

?a?a0,f(x)是奇函數(shù)(1)?f(x)dx??

?a2f(x)dx,f(x)是偶函數(shù)???0（２）假使函數(shù)f(x）以T為周期連續(xù)函數(shù)，a是常數(shù)，則?a?Taf(x)dx??f(x)dx

0eeeT例13.3.1比較?1lnxdx與?1lnxdx的大小。（?1lnxdx大）

eee?a?a2?x2?a?x?0例13．3．2設f(x)??，利用幾何意義，求?f(x)dx。

?a??x?a0?x?a（

??24a2）

例13．3．3設f(x)?0，f?(x)?0,f??(x)?0，按積分值大到小次序排序以下積分

bbf(b)?f(a)（2）?f(x)dx，（3）?f(a)dx。(x?a)]dx，

aaab?a13.4微積分基本公式定積分的計算一．牛頓—萊布尼茲公式1變上限函數(shù)定義

x設f(x)可積，?(x)??af(t)dt稱為變上限定積分，它是上限變量x的函數(shù)。

（1）?[f(a)?bx2定理假使f(x)在[a,b]上連續(xù)，則?(x)??af(t)dt在[a,b]上可導，且[?(x)]?x?f(x)；假使函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，g(x)可導，則

dg(x)g(x)d[?a。f(t)dt]?f[g(x)]dxdxdsinx例13．4．1（1）求?ln(2?t)dt

dx0（2）設F(x)??（3）F(x)??例13．4．2（1）（2）（3）

x21x2f(t)dt，求F?(x)。答?2xf(x2)

1etxdt，求F?(x)。答2xt2?x212etdt?2xextdsinxln(2?t)dtdx?exdsinxxln(2?t)dt?0dxdsinxxln(2?x)dx?0dxdsinx（4）?ln(2?t)dt

dt03.牛頓—萊布尼茲公式

定理若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)為f(x)的一個原函數(shù)，即

bF?(x)?f(x)，則?af(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a)

b

?例13．4．3計算?2??24cosx?cos3xdx答

31100例13．4．4設f(x)?x2?ex?f(x)dx，求?f(x)dx和f(x)。

二變量替換法

設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，函數(shù)?(t)滿足以下條件

(1)函數(shù)?(t)在區(qū)間[?,?]上有連續(xù)的導數(shù)??(t)；