理學(xué)院612數(shù)學(xué)分析試題答案

科目名稱：數(shù)學(xué)分析一、完成下列各題（880分1

x1，

，

n1 1nn 試證明limxn

x0

x

設(shè)x ，

1

)

1

1

)

xn1)1xn1 xnxn1 0(1xn)(1xn1)

n1nlimxn存在，設(shè)limxnx

lim則由xn1

兩邊取極限有l(wèi)im

1 1

n

1lim

a

a

x0

alimx所以a

15

即lim

1

n n 2、設(shè)f(x) 續(xù)函數(shù)，其定義域和值域都是f(

b，求證：存在

bF(x)f(xxF(a)f(a)aF(b)f(b)bF(a0a就是要找的F(b)0，則b就是要找的F(a0F(b0F(x是a,b在一點(diǎn)

bF(0

f(綜上所述，無(wú)論怎樣，必存在

b

f()

g(x)cos ,x ,x

g

g(0)1,a, axb,x

f(xx0ff(xx0f(xx0limf(x)limf(x)f(0) g(0g(xx0

f(x)limg(x)cosxlimg(x)sinxg(0)

f(0)limaxbba

g(x)cosxg(0) limg(x)cosxg(0)xlim[g(x)g(0)]sinx1[g(0) 4x0ex11xln(1

f(xex1xln(1x1f(xexln(1x1x0f(x)ex

1

0f(xx0f(xf(00是當(dāng)x

時(shí)，f

x

時(shí)，有f(x)

f(0)0，即ex1(1x)ln(1x)5(1xyey2)d，其中D由yx3及x1y1D

:1x0y原式d2(dd) 6、設(shè)f(x)，g(x在[aa](a0上連續(xù),g(x)為偶函數(shù)，且f(x)f(x)f

（A為常數(shù)）證明：af(x)g(x)dxA0

，并利用該結(jié)論求2sinxarctanex2 af(x)g(x)dx0f(x)g(x)dxaf t af(x)g(x)dxaf(t)g(t)dt

faf(x)g(x)dx0f(x)g(x)dx0fa a[f(x)f(x)]g(x)dx0

0令f(x)arctanexg(x)sinxa

2，顯然f(x)，g(x)在[

2

2]上連續(xù)g(x為偶函數(shù)，又因?yàn)?arctanexarctanex)/0，所以arctanexarctanexx0A

2

2sinxarctanexdx2

2sinxdx2

2sinxdx2 7、f(u在u0的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，且limf(u)A，求limd1fx x0dxxyxt則f(xt

xf(y)dy，

1f(xt)dt

f(y)dy

f1 1

dx

x2 又limf(u)Af連續(xù)，故limf(u0

xf(limd1f(xt)dtlim f(x)lim(f(x)f(x))A.x0dx

x0

8、證明若在點(diǎn)(x,y)的某一鄰域內(nèi)f(x,y的偏導(dǎo)數(shù)存在且有界，則f(x,y在該點(diǎn)連續(xù)。證明給(x,y(xx,yy)落在題目所給鄰域內(nèi)，則存在1（10，當(dāng)x0時(shí)）及2（20，當(dāng)y0時(shí)）f(xx,yy)f(x,fx(x,y)x1xfy(xx,y)yfx(xy),fy(xxy

f(xx,yy)

f(x,f(x,y在(x,y)abcabc3 abcD（常數(shù)）f(abc)abc3的最大值問(wèn)題。由F(abc)abc3(abcD)Fbc3Fac3令

a0b0c0Fc3abc2DabaD,bD,c 由于連續(xù)函數(shù)fabcD位于第一卦限部分的邊界上為零，所以，f(abcabcabc3 10I

(xy)dxxy)dyLy22x2A(1,0 x B(10x2y20QP，故積分與路徑無(wú)關(guān)，取新路徑，上半單位圓周 C:x2y21y0順時(shí)針?lè)较颍▁軸一段I

(xy)dx(xy)dyx2y20(cossin)(sin)(cossin)cosx二（13分fn(xen在0,1f(x 證明x0,1

f(xf(x)en1en1。但lim(en1)nn所以

fn(xf(x)0fn(x)en在0,1f(x) 上述過(guò)程得到一系列的點(diǎn)P1，Q1；P2，Q2； ；P（1）求OPn；（2）求級(jí)數(shù)Q1P1Q2P2

（1）PQyx2上任一點(diǎn)(aa2 程，得ya22a(xa)，它與x軸的交點(diǎn)為 (,2

1 Pn2n10Pn2n10，即OPn（2）又

QPOP2

QPOP2

1

4 4

1

n

n

QnPn4

1

n1 四（14分

sinxydx在( x2證明由于

，而 dx收斂，由M判別法知

sindxsin11 sin1

x2()五（13分f(xy1exy3ey0，在區(qū)域0xyyy(xyy(xx0

f(xy,f(x0)1ex0.y0f(xy0.

f(x,y)y2(y3)ey0,

惟一，因此存在惟一的yyy(x)(xyf(x,y(x))0f(x,yyy(x2六（15分、設(shè)曲面2a

y

zc2

1上點(diǎn)(x,yz)處的切平面為1 曲面上點(diǎn)(x,y,z)處的切平面的方程xXyYzZa c21a ca cx2y2z曲面在點(diǎn)(x,yz)cos

，cosaau

，cos uc2uuc