2023高考理科專題-概率與統(tǒng)計解析

2023高考理科專題概率與統(tǒng)計（解析）一、選擇題1．個車位分別停放了輛不同的車，現(xiàn)將所有車開出后再按的次序停入這個車位，則在車停入了車原來的位置的條件下，停放結(jié)束后恰有輛車停在原來位置上的概率是（）A.B.C.D.【解析】若C停在原來位置上,則剩下三輛車都不停在原來位置上,有3種方法;因此共有9種方法,故所求概率為,選A.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.2．如圖是八位同學(xué)400米測試成績的莖葉圖（單位：秒），則（）A.平均數(shù)為64B.眾數(shù)為7C.極差為17D.中位數(shù)為64.5【解析】由莖葉圖可知：該組數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，眾數(shù)為，極差為，中位數(shù)為，故選D.3．五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉(zhuǎn)自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續(xù)坐著.那么,沒有相鄰的兩個人站起來的概率為（）A.B.C.D.4．5名學(xué)生進(jìn)行知識競賽.筆試結(jié)束后，甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“你們5人的成績互不相同，很遺憾，你的成績不是最好的”；對乙說：“你不是最后一名”.根據(jù)以上信息，這5人的筆試名次的所有可能的種數(shù)是（）A.54B.72C.78D.96【解析】由題得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有種，乙沒得第一有3種再排甲也有3種，余下得有種，故有種，所以一共有24+54=78種點(diǎn)睛：考察排列組合，優(yōu)先排受限制元素，然后根據(jù)元素分析法即可得出答案5．已知件產(chǎn)品中有件次品，現(xiàn)逐一檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測的次數(shù)為，則（）A.B.C.D.【解析】由題意知，的可能取值為2,3,4,其概率分別為，，，所以，故選B。6．將編號為1，2，3，4，5，6的六個小球放入編號為1，2，3，4，5，6的六個盒子，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的放法總數(shù)是A.40B.60C.80D.100【解析】三個小球放入盒子是不對號入座的方法有種，由排列組合的知識可得，不同的放法總數(shù)是：種。本題選擇A。7．某廠家為了解廣告宣傳費(fèi)與銷售轎車臺數(shù)之間的關(guān)系，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：根據(jù)數(shù)據(jù)表可得回歸直線方程，其中，，據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為萬元時，銷售轎車臺數(shù)為A.B.C.D.二、填空題8．有3女2男共5名志愿者要全部分到3個社區(qū)去參加志愿服務(wù)，每個社區(qū)1到2人，甲、乙兩名女志愿者需到同一社區(qū)，男志愿者到不同社區(qū)，則不同的分法種數(shù)為__________．【解析】先排甲乙兩名女志愿者，有種方法.剩余女2男，分為男女和男兩組，分組后排到兩間學(xué)校，共有種方法，故總的方法數(shù)有種.9．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(0≤X≤2)＝0.3，則P(X＞4)＝_____．【解析】解：由題意結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)可知：，則：.點(diǎn)睛：求解本題關(guān)鍵是明確正態(tài)曲線關(guān)于x＝2對稱，且區(qū)間[0,4]也關(guān)于x＝2對稱．關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.10．從這七個數(shù)中，隨機(jī)抽取個不同的數(shù)，則這個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是________．三、解答題11．一企業(yè)從某生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，測量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值，得到的頻率分布直方圖如圖.（1）估計該技術(shù)指標(biāo)值平均數(shù)；（2）在直方圖的技術(shù)指標(biāo)值分組中，以落入各區(qū)間的頻率作為取該區(qū)間值的頻率，若，則產(chǎn)品不合格，現(xiàn)該企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品檢測，記不合格產(chǎn)品的個數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.【解析】（Ⅰ）先根據(jù)頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間概率得概率，再根據(jù)組中值與對應(yīng)概率乘積的和等于平均數(shù)，計算該技術(shù)指標(biāo)值平均數(shù)；（Ⅱ）由，得，因此根據(jù)頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間概率得概率，最后根據(jù)二項(xiàng)分布概率得數(shù)學(xué)期望.試題解析：（Ⅰ）（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，∴，所以12．某保險公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）.（Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費(fèi)的20%，試分別確定各類工種每張保單保費(fèi)的上限；（Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準(zhǔn)備為全體職工每人購買一份此種保險，并以（Ⅰ）中計算的各類保險上限購買，試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤.【解析】（I）設(shè)工種每份保單的保費(fèi)，則需賠付時，收入為，根據(jù)概率分布可計算出保費(fèi)的期望值為，令解得.同理可求得工種保費(fèi)的期望值；（II）按照每個工種的人數(shù)計算出份數(shù)然后乘以（1）得到的期望值，即為總的利潤.（Ⅰ）設(shè)工種的每份保單保費(fèi)為元，設(shè)保險公司每單的收益為隨機(jī)變量，則的分布列為保險公司期望收益為根據(jù)規(guī)則解得元，設(shè)工種的每份保單保費(fèi)為元，賠付金期望值為元，則保險公司期望利潤為元，根據(jù)規(guī)則，解得元，設(shè)工種的每份保單保費(fèi)為元，賠付金期望值為元，則保險公司期望利潤為元，根據(jù)規(guī)則，解得元.13．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等極如下表：質(zhì)量指標(biāo)值等級三等品二等品一等品從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品90%”的規(guī)定？（2）在樣本中，按產(chǎn)品等極用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率；（3）該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，開展了“質(zhì)量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿足，則“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動前大約提升了多少？（2）由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分別為0.375、0.5、0.125，故在樣本中用分層抽樣方法抽取的8件產(chǎn)品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，一、二、三等品都有的情況有2種：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率.（3）“質(zhì)量提升月”活動前，該企業(yè)這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的均值約為“質(zhì)量提升月”活動后，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿足，則.所以，“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動前大約提升了17.614．“微信運(yùn)動”已成為當(dāng)下熱門的健身方式，小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運(yùn)動”，他隨機(jī)選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：（1）已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評定“積極型”，否則為“懈怠型”，根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認(rèn)為“評定類型”與“性別”有關(guān)？附：，0．100．050．0250．0102．7063．8415．0246．635（2）若小王以這40位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來估計其所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布，現(xiàn)從小王的所有微信好友中任選2人，其中每日走路不超過5000步的有人，超過10000步的有人，設(shè)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ）沒有95%以上的把握認(rèn)為二者有關(guān)；（Ⅱ）由見解析.【解析】（１）依據(jù)題設(shè)條件做成2×2列聯(lián)表，計算出卡方系數(shù)，再與參數(shù)進(jìn)行比對，做出判斷；（２）先求隨機(jī)變量的分布列，再運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式計算求解：（Ⅰ）積極型懈怠型總計男14620女81220總計221840，故沒有95%以上的把握認(rèn)為二者有關(guān)；（Ⅱ）由題知，小王的微信好友中任選一人，其每日走路步數(shù)不超過5000步的概率為，超過10000步的概率為，且當(dāng)或時，，；當(dāng)或時，，；當(dāng)或時，，，即的分布列為：.15．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如下表：質(zhì)量指標(biāo)值等級三等品二等品一等品從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：（Ⅰ）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品92%”的規(guī)定？（Ⅱ）在樣本中，按產(chǎn)品等級用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率；（Ⅲ）該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，開展了“質(zhì)量提升月”活動，活動后在抽樣檢測，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿足，則“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動前大約提升了多少？【解析】（Ⅰ）計算一、二等品所占比例的估計值與0.92比較即可；（Ⅱ）由分層抽樣的原理確定一等品3件，二等品4件，三等品1件，再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，利用古典概型的原理求解即可；（Ⅲ）計算平均值和218比較即可.（Ⅲ）“質(zhì)量提升月”活動前，該企業(yè)這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的均值約為，“質(zhì)量提升月”活動后，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿足，則.所以，“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動前大約提升了17.6.16．儀器經(jīng)過檢驗(yàn)合格才能出廠，初檢合格率為：若初檢不合格，則需要進(jìn)行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后再次對其進(jìn)行檢驗(yàn)；若仍不合格，作為廢品處理，再檢合格率為.每臺儀器各項(xiàng)費(fèi)用如表：項(xiàng)目生產(chǎn)成本檢驗(yàn)費(fèi)/次調(diào)試費(fèi)出廠價金額（元）10001002003000（Ⅰ）求每臺儀器能出廠的概率；（Ⅱ）求生產(chǎn)一臺儀器所獲得的利潤為1600元的概率（注：利潤出廠價生產(chǎn)成本檢驗(yàn)費(fèi)調(diào)試費(fèi)）；（Ⅲ）假設(shè)每臺儀器是否合格相互獨(dú)立，記為生產(chǎn)兩臺儀器所獲得的利潤，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】試題分析：（Ⅰ）每臺儀器能出廠的對立事件為不能出廠，根據(jù)對立事件的概率可得結(jié)果；（Ⅱ）由表可知生產(chǎn)一臺儀器所獲得的利潤為元即初檢不合格再次檢測合格，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率可得結(jié)果；（Ⅲ）由題意可得可取，，，，，，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率計算出概率，可得分布列及期望.的分布列為：38003500320050020017．隨著社會發(fā)展，淮北市在一天的上下班時段也出現(xiàn)了堵車嚴(yán)重的現(xiàn)象。交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念．記交通指數(shù)為T，其范圍為[0，10]，分別有5個級別：T∈[0，2)暢通；T∈[2，4)基本暢通；T∈[4，6)輕度擁堵；T∈[6，8)中度擁堵；T∈[8，10]嚴(yán)重?fù)矶拢绺叻鍟r段(T≥3)，從淮北市交通指揮中心隨機(jī)選取了一至四馬路之間50個交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖所示：(I)據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)T∈[4，8)時的中位數(shù)和平均數(shù)；(II)據(jù)此直方圖求出早高峰一至四馬路之間的3個路段至少有2個嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?III)某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為35分鐘，中度擁堵為45分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人用時間的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）4.72.（2）（3）40.6【解析】(1)由直方圖可得，根據(jù)中位數(shù)的計算公式可求得中位數(shù)，利用頻率直方圖，可計算交通指數(shù)的平均數(shù)。(2)設(shè)事件為“1條路段嚴(yán)重?fù)矶隆保?，則條路段中至少有條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕省?3)由題意，得到時間X的分布列，利用期望的公式，即可求解數(shù)學(xué)期望，得到結(jié)論。試題解析：學(xué)科網(wǎng)(1)由直方圖知：T∈[4，8)時交通指數(shù)的中位數(shù)在T∈[5，6)，且為5＋1×＝T∈[4，8)時交通指數(shù)的平均數(shù)為：4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72.(2)設(shè)事件A為“1條路段嚴(yán)重?fù)矶隆?，則P(A)＝0.1，則3條路段中至少有2條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿椋篜＝C32×()2×(1－)＋C33×()3＝，所以3條路段中至少有2條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿?(3)由題意，所用時間X的分布列如下表：X30354560P0.10.440.360.1則E(X)＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6，所以此人上班路上所用時間的數(shù)學(xué)期望是40.6分鐘．18．為研究男女同學(xué)空間想象能力的差異，孫老師從高一年級隨機(jī)選取了20名男生、20名女生，進(jìn)行空間圖形識別測試，得到成績莖葉圖如下，假定成績大于等于80分的同學(xué)為“空間想象能力突出”，低于80分的同學(xué)為“空間想象能力正常”.（1）完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“空間想象能力突出”與性別有關(guān)；空間想象能力突出空間想象能力正常合計男生女生合計（2）從“空間想象能力突出”的同學(xué)中隨機(jī)選取男生2名、女生2名，記其中成績超過90分的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.下面公式及臨界值表僅供參考：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）沒有的把握（2）【解析】（1）直接由公式，計算得，比較臨界值即可得結(jié)論；（2）隨機(jī)變量可取值為，分別求出個隨機(jī)變量發(fā)生的概率，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得結(jié)果.試題解析：（1）列聯(lián)表如下：由公式，計算得，因?yàn)?，所以沒有的把握認(rèn)為“空間想象能力突出”與性別有關(guān)；（2），，，，，所以的分布列是：數(shù)學(xué)期望是：.19．校計劃面向高一年級名學(xué)生開設(shè)校本選修課程，為確保工作的順利實(shí)施，先按性別進(jìn)行分層抽樣，抽取了名學(xué)生對社會科學(xué)類，自然科學(xué)類這兩大類校本選修課程進(jìn)行選課意向調(diào)查，其中男生有人.在這名學(xué)生中選擇社會科學(xué)類的男生、女生均為人.（Ⅰ）分別計算抽取的樣本中男生及女生選擇社會科學(xué)類的頻率，并以統(tǒng)計的頻率作為概率，估計實(shí)際選課中選擇社會科學(xué)類學(xué)生數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)抽取的名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下列列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？選擇自然科學(xué)類選擇社會科學(xué)類合計男生女生合計附：，其中.（Ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表如下：選擇自然科學(xué)類選擇社會科學(xué)類合計男生女生合計所以，在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)．20．共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)＋”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關(guān)注．某部門為了對該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖．(Ⅰ)求圖中的值；(Ⅱ)已知滿意度評分值在[90，100]內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1，若在滿意度評分值為[90，100]的人中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行座談，設(shè)其中的女生人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】(1)利用頻率分布直方圖的面積為1得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值；(2)首先確定該分布列為超幾何分布，然后寫出分布列求解均值即可.試題解析：（Ⅰ）由，解得．（Ⅱ）滿意度評分值在[90，100]內(nèi)有人，其中男生6人，女生3人．則X的值可以為0，1，2