實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法誤差理論與最小二乘法

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法誤差理論與最小二乘法1第1頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第五章誤差理論與最小二乘法

天文學(xué)的諸多理論是以天文觀測(cè)為基礎(chǔ)的，如地球自轉(zhuǎn)理論、人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)理論等都離不開(kāi)天文觀測(cè)。人們通過(guò)對(duì)某一天文量(靜態(tài)的或動(dòng)態(tài)的)的直接或間接觀測(cè)，獲得大量的數(shù)據(jù)。而任何觀測(cè)都不可避免的含有誤差。因此，當(dāng)我們?cè)诶糜^測(cè)結(jié)果時(shí)，必須分析這些數(shù)據(jù)的可靠程度：只有當(dāng)它們的誤差在我們?cè)试S的范圍之內(nèi)時(shí)，我們才能放心大膽的去使用它，否則則不能使用。

誤差的研究無(wú)論是對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐還是基礎(chǔ)理論研究都有著重要意義！2第2頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例1：由于牛頓在其最初計(jì)算中使用了具有較大誤差的地球半徑值，使得他測(cè)得的月球加速度的值和理論計(jì)算值相差約10％，因而推遲了20年發(fā)表他的引力理論！

例2：愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的觀測(cè)證明：1916年愛(ài)因斯坦在德國(guó)《物理學(xué)紀(jì)事》上發(fā)表了具有劃時(shí)代意義的重要文獻(xiàn)《廣義相對(duì)論基礎(chǔ)》。文章指出，當(dāng)光線行經(jīng)太陽(yáng)附近時(shí)，光線產(chǎn)生彎曲，其彎曲曲率預(yù)計(jì)為

=1.”75，而1911年他用經(jīng)典方法得到=0.”9，相差兩倍。如果觀測(cè)能測(cè)得在1.”75附近，這將證明他的廣義相對(duì)論是正確的，如果測(cè)得的值是在經(jīng)典值附近，則將否定其理論。幸好1919年英國(guó)天文學(xué)家愛(ài)丁頓爵士在西非幾內(nèi)亞灣的普林西比島的日全食觀測(cè)中測(cè)得＝1.”610.”30；與此同時(shí)有人在巴西東北海岸外索伯雷爾的日食觀測(cè)中測(cè)得＝1.”980.”12。這兩個(gè)結(jié)果與廣義相對(duì)論的預(yù)言值相近，遠(yuǎn)大于經(jīng)典理論值，強(qiáng)有力的證明了廣義相對(duì)論的正確性!如果他們當(dāng)時(shí)的觀測(cè)誤差很大，置信度很低，以致于和理論值相差甚遠(yuǎn)，那么也就很難由此來(lái)驗(yàn)證這個(gè)理論了。由此可見(jiàn)，觀測(cè)和誤差分析對(duì)基礎(chǔ)理論的研究起了一個(gè)不可估量的作用!3第3頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

最小二乘法是用來(lái)處理具有誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)的一種有效的方法，也是最早用于天文觀測(cè)資料處理的一種數(shù)學(xué)工具。早在l794年，高斯為了利用小行星坐標(biāo)的多次觀測(cè)準(zhǔn)確地推算小行星的軌道，第一次應(yīng)用了最小二乘法。1805年勒讓德應(yīng)用測(cè)量平差方法確定了彗星的軌道和地球子午線弧長(zhǎng)。1809年高斯又推證了誤差的概率定律，從而使最小二乘法高度完善化，成為數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用最廣的一個(gè)分支。隨著概率統(tǒng)計(jì)學(xué)和矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展以及電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，最小二乘法進(jìn)入了近代數(shù)據(jù)處理方法的行列。4第4頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四誤差是實(shí)驗(yàn)科學(xué)術(shù)語(yǔ)，指測(cè)量結(jié)果偏離真值的程度。對(duì)任何一個(gè)物理量進(jìn)行的測(cè)量都不可能得出一個(gè)絕對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)值，即使采用測(cè)量技術(shù)所能達(dá)到的最完善的方法，測(cè)出的數(shù)值也和真實(shí)值存在差異，這種測(cè)量值和真實(shí)值的差異稱為誤差。(fromWiki)誤差按其表達(dá)形式分：絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差誤差按其性質(zhì)及產(chǎn)生原因分：系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、過(guò)失（人為）誤差

誤差不僅存在于測(cè)量值中，計(jì)算時(shí)采用近似的理論模型，計(jì)算中一些理論常數(shù)的不準(zhǔn)確以及數(shù)值計(jì)算中取位的多少等也會(huì)在計(jì)算結(jié)果中產(chǎn)生誤差?！?.1誤差的定義與分類5第5頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.1.1絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差一個(gè)量值的給出值的絕對(duì)誤差定義為該量值的給出值與其真值之差，或用公式表示為：

絕對(duì)誤差＝給出值-真值公式中的給出值如果是被測(cè)量的觀測(cè)結(jié)果，則相應(yīng)的誤差為觀測(cè)誤差；如果給出值是某量的計(jì)算近似值，則相應(yīng)的誤差為計(jì)算近似值的誤差。式中的真值是被測(cè)量本身的真實(shí)大小，它是一個(gè)理想的概念：一般說(shuō)來(lái)，真值是未知的，通常用約定值來(lái)代替。例如某一系統(tǒng)的天文常數(shù)也可看作相應(yīng)量值的真值。從絕對(duì)誤差的定義式不難看出，絕對(duì)誤差和被測(cè)量具有相同的量綱。因此，若說(shuō)一顆星其位置誤差為0."1，測(cè)時(shí)的記錄誤差為0."0001，都是指的絕對(duì)誤差。6第6頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四我們把誤差的反號(hào)值定義為修正值，則可得：真值＝給出值-誤差＝給出值+修正值這表明，帶有誤差的給出值加上修正值后可消除或減小誤差的影響。在有些情況下用絕對(duì)誤差來(lái)表示測(cè)量的精度是不恰當(dāng)?shù)模喝缒壳靶l(wèi)星激光測(cè)距的準(zhǔn)確度(測(cè)量值與被測(cè)量真值之間的偏離程度)已達(dá)cm級(jí)，衛(wèi)星的距離一般為103km量級(jí)；但如果我們測(cè)定的是恒星的距離(這里指離太陽(yáng)在20pc以內(nèi)的恒星)，用三角視差法一般可準(zhǔn)確到0.”02，相當(dāng)于2pc的測(cè)距誤差，顯然它和衛(wèi)星的測(cè)距誤差是無(wú)法直接比較的！但如果我們引入相對(duì)誤差的概念，它們的測(cè)距誤差就有了可比性。7第7頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四被測(cè)量的絕對(duì)誤差?與其真值a之比定義為這個(gè)量的相對(duì)誤差，并用下式表示：當(dāng)誤差較小時(shí)，相對(duì)誤差式中真值a可用給定值代替。對(duì)于上面的例子，它們測(cè)距的相對(duì)誤差分別為1×10和1×10-1。

即三角視差測(cè)量的相對(duì)誤差反而要比衛(wèi)星激光測(cè)距的相對(duì)誤差?。?第8頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

由觀測(cè)的環(huán)境因素差異、儀器性能、不同的觀測(cè)者等因素造成的按某一確定的規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的大小和符號(hào)在多次重復(fù)觀測(cè)中幾乎相同，通常使觀測(cè)值往一個(gè)方向偏離。另外，這種誤差可以歸結(jié)為某一因素或某幾個(gè)因素的函數(shù)，而這種函數(shù)通?？梢杂媒馕龉奖磉_(dá)出來(lái)。人們總是設(shè)法找出代表系統(tǒng)誤差的解析表達(dá)式，然后在觀測(cè)結(jié)果中扣除。由某些難以控制的隨機(jī)因素造成的，絕對(duì)值和符號(hào)的變化時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，以不可預(yù)測(cè)的方式變化的誤差稱為隨機(jī)誤差。雖然就其個(gè)體而言，隨機(jī)誤差沒(méi)有規(guī)律、不可預(yù)料，但就其總體而言，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加，它又服從某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。下面我們將從概率論的角度出發(fā)討論隨機(jī)誤差所滿足的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

5.1.2系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過(guò)失誤差

9第9頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四古典誤差理論認(rèn)為，隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，因此我們可以用正態(tài)分布密度曲線來(lái)表征隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差的分布密度曲線可表為：

其被稱為高斯誤差方程，其相應(yīng)圖形也常被稱為高斯誤差曲線。式中稱為精密度指數(shù)，=x-a,

為隨機(jī)誤差的均方差。高斯誤差方程的一般表達(dá)式：10第10頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

隨機(jī)誤差有下列統(tǒng)計(jì)特征，當(dāng)觀測(cè)樣本足夠大時(shí)：(1)絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的正負(fù)誤差近于相等。因此，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨著觀測(cè)次數(shù)的增加愈來(lái)愈小，以零為極限。(2)誤差的概率與誤差的大小有關(guān)，絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大，絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率很小。

根據(jù)隨機(jī)誤差的這些特征，當(dāng)不存在系統(tǒng)誤差的影響時(shí)，多次測(cè)量結(jié)果的平均值將更接近于真值。隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因很多，觀測(cè)時(shí)環(huán)境因素的微小變化，設(shè)備中的熱噪聲等都是產(chǎn)生隨機(jī)誤差的重要原因。11第11頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四實(shí)際上，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差之間并沒(méi)有明顯的界限有時(shí)，我們把一些具有復(fù)雜規(guī)律但暫末掌握的系統(tǒng)誤差都當(dāng)作隨機(jī)誤差處理。而隨著人們對(duì)誤差及其規(guī)律的認(rèn)識(shí)的加深，就有可能把這些以往認(rèn)識(shí)不到因而歸之于隨機(jī)誤差的這類誤差確認(rèn)為系統(tǒng)誤差。反之，在一個(gè)較短時(shí)期內(nèi)可能呈現(xiàn)出某種規(guī)律，故而歸為系統(tǒng)誤差，但經(jīng)過(guò)一段較長(zhǎng)時(shí)間的觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)這種變化規(guī)律破壞了，并呈現(xiàn)出隨機(jī)性，這就是說(shuō)，隨著時(shí)間的推移，兩種不同性質(zhì)的誤差有可能互相轉(zhuǎn)化。過(guò)失（人為）誤差是指測(cè)量結(jié)果與事實(shí)明顯不符的一種誤差。如觀測(cè)時(shí)對(duì)錯(cuò)星或觀測(cè)過(guò)程中望遠(yuǎn)鏡/記錄儀器的小故障等過(guò)失原因造成的結(jié)果異常。這種誤差一般比較容易發(fā)現(xiàn)，而且只要觀測(cè)人員認(rèn)真細(xì)致，基本上是可以避免的。12第12頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

數(shù)據(jù)處理中一個(gè)很重要的方面是評(píng)定一列觀測(cè)值的可靠程度。它是指觀測(cè)結(jié)果與真值的一致程度，是觀測(cè)結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差大小的綜合度量，常用準(zhǔn)確度這個(gè)詞來(lái)表征。在消除了系統(tǒng)誤差之后，觀測(cè)的可靠程度由隨機(jī)誤差的大小來(lái)衡量。一列觀測(cè)值精度高低必須從全列觀測(cè)值的誤差來(lái)衡量，而不能只根據(jù)個(gè)別值的誤差來(lái)判斷。另外，觀測(cè)的目的是要從一列觀測(cè)值中確定(直接地或間接地)被測(cè)量的真值，但由于觀測(cè)手段和觀測(cè)次數(shù)的限制，真值實(shí)際上是測(cè)不到的，只能得到它的一個(gè)近似值或估計(jì)值。在天文學(xué)中通常把最接近于被測(cè)量的真值的一個(gè)近似值稱為它們的最或然值，因此，數(shù)據(jù)處理的又一個(gè)重要的問(wèn)題是給出被測(cè)量的最或然值及其精度。最或然值的精度是衡量觀測(cè)結(jié)果的精度和處理方法有效性的綜合指標(biāo)。§5.2觀測(cè)精度13第13頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四標(biāo)準(zhǔn)偏差(又稱均方誤差)是用來(lái)衡量一列觀測(cè)值精度高低的一個(gè)較好指標(biāo)。設(shè)為被測(cè)量的一組觀測(cè)值，a為被測(cè)量的真值，且｛xi｝中只包含隨機(jī)誤差，則稱為｛xi｝的真誤差，我們定義真誤差的平方的算術(shù)平均值的平方根為這列觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差或標(biāo)準(zhǔn)誤差，天文上又常稱之為中誤差，并用表示，即：

這里定義的標(biāo)準(zhǔn)誤差和統(tǒng)計(jì)學(xué)中從方差的正平方根定義的標(biāo)準(zhǔn)差是一致的，因?yàn)閺母怕收摰慕嵌葋?lái)說(shuō)，xi的真值可用其數(shù)學(xué)期望表示。5.2.1精度標(biāo)準(zhǔn)14第14頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四下面我們來(lái)說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小為什么可以用來(lái)衡量一列觀測(cè)值的精度高低：由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，觀測(cè)值xi在（a，a+）區(qū)間上的概率，或說(shuō)i出現(xiàn)在（，+）范圍內(nèi)的概率為68.3%,已知1

2.則區(qū)間（a1，a+1）小于（a2,a+2），也就是說(shuō)

=1的觀測(cè)數(shù)據(jù)在a

周圍的分布較密集，而

=２的觀測(cè)值在a

周圍的分布較分散，即標(biāo)準(zhǔn)偏差

的大小可以衡量一列觀測(cè)值在真值周圍分布的密度程度，而這種密集程度是具有概率含義的，即誤差在（，+）內(nèi)的置信水平是68.3%。15第15頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四下表列出了一些常用的置信水平誤差限：置信水平誤差限置信水平誤差限50.0%68.3%95.0%0.6741.01.9695.5%99.0%99.7%22.583

可見(jiàn)，誤差落在3中的概率為99.7％,亦即絕對(duì)值大于3的誤差僅有0.3%,這顯然是一個(gè)小概率事件。所以在有限次觀測(cè)中，誤差值大于3的觀測(cè)值可能含有過(guò)失誤差，應(yīng)考慮舍去該觀測(cè)值;當(dāng)然,也有可能這個(gè)值并不含有過(guò)失誤差,如舍去它會(huì)犯“棄真”錯(cuò)誤，但這種誤差的最大概率也只有0.3%。這種取舍觀測(cè)值的原則稱為拉依達(dá)準(zhǔn)則或簡(jiǎn)稱為3準(zhǔn)則。

16第16頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四高斯函數(shù)的性質(zhì)17第17頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在比較兩個(gè)觀測(cè)結(jié)果時(shí)，應(yīng)在相同的置信水平上比較它們的誤差限，誤差限較小的觀測(cè)較精確，為了說(shuō)明觀測(cè)的精度，通常把觀測(cè)結(jié)果報(bào)導(dǎo)為

(置信水平)。凡是沒(méi)有注明置信水平的，一般均指＝68.3％，相應(yīng)的誤差限即為標(biāo)準(zhǔn)誤差。

在上述各式中，真值a(或x)通常是未知的，因此真誤差也是未知的，通常用被測(cè)量的最或然值或真值的估計(jì)值代替真值，觀測(cè)值與其最或然值之差稱為觀測(cè)值的殘差或離差。標(biāo)準(zhǔn)誤差不取決于觀測(cè)中個(gè)別誤差的符號(hào)，對(duì)觀測(cè)值中較大誤差和較小誤差比較靈敏，是表示精度的較好方法。實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)也常用平均誤差離差絕對(duì)值的算術(shù)平均值來(lái)表示精度；也有時(shí)采用概率誤差：即絕對(duì)值比它大的誤差和絕對(duì)值比它小的誤差出現(xiàn)的可能性一樣大，將誤差絕對(duì)值按大小順序排列，序列的中位數(shù)即為概率誤差。平均誤差和概率誤差只有當(dāng)N較大時(shí)才較可靠。天體物理中還經(jīng)常采用半峰寬度來(lái)表示觀測(cè)的精度，所謂半峰寬度，即觀測(cè)值分布曲線在極大值半高度處的全寬（FullWidthatHalfMaximum)。18第18頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

在很多實(shí)際問(wèn)題中,待求量往往不能直接觀測(cè)得到，但它們可通過(guò)對(duì)其它量的觀測(cè)，再利用它們之間的函數(shù)關(guān)系換算求得：這種情況就稱為間接觀測(cè)。間接觀測(cè)在天文觀測(cè)中是普遍存在的，例如：在人造衛(wèi)星的定軌預(yù)報(bào)中要測(cè)的是衛(wèi)星在某一歷元的軌道根數(shù)，但它們不能直接測(cè)得而只能通過(guò)測(cè)定衛(wèi)星的赤經(jīng)、赤緯換算而得到。對(duì)于間接觀測(cè)的情況，應(yīng)首先由直接觀測(cè)量求出間接觀測(cè)量的最或然值，然后由直接觀測(cè)量的精度估計(jì)出間接觀測(cè)量的精度。通常用下面的式子表示間接觀測(cè)量y與m個(gè)直接觀測(cè)量xk(k=1m)的關(guān)系：5.2.2誤差傳遞公式19第19頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四為了求得間接觀測(cè)時(shí)誤差傳遞的關(guān)系，需要對(duì)上式進(jìn)行線性化處理如果直接觀測(cè)量的誤差相對(duì)于它們的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)是較小的量，則非線性函數(shù)可以在各個(gè)觀測(cè)值的鄰近點(diǎn)上展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，然后取誤差的一階項(xiàng)而略去一切高階誤差項(xiàng)：式中為觀測(cè)量xk的離差，我們把它記為νk。若對(duì)xk(k=1m)各進(jìn)行了N次觀測(cè)，設(shè)間接觀測(cè)量任一次觀測(cè)的離差為νy＝y(tǒng)y0，y0＝f(x10，x20，…，xm0),將y＝νy+y0,νk=xkxk0

代入上式，可得：直接觀測(cè)量xk的誤差以的形式出現(xiàn)在間接觀測(cè)量y的誤差中，或說(shuō)間接觀測(cè)量y的誤差是m個(gè)直接觀測(cè)量的誤差加權(quán)和，權(quán)重因子稱為y的誤差傳遞系數(shù)。

20第20頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)m個(gè)直接觀測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差為，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)偏差的定義及隨機(jī)變量方差的運(yùn)算法則，可得間接觀測(cè)量y的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：

式中kj為第k個(gè)觀測(cè)量與第j個(gè)觀測(cè)量的相關(guān)系數(shù)。當(dāng)各個(gè)直接觀測(cè)量相互獨(dú)立時(shí)，有kj=0,則有：

上式通常稱為獨(dú)立觀測(cè)量的誤差合成定理。若間接觀測(cè)量與直接觀測(cè)量的關(guān)系為線性關(guān)系時(shí)，即：。則有：此式即為線性情況下的標(biāo)準(zhǔn)偏差傳遞公式。21第21頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例：利用IRAF進(jìn)行測(cè)光時(shí)，其會(huì)根據(jù)誤差傳遞以如下的公式給出測(cè)光誤差：

根據(jù)信噪比的定義：S/N=Flux/Err，故1/Merr≈S/N，即IRAF里給出的測(cè)光誤差的倒數(shù)即為信噪比。除了信噪比會(huì)引起測(cè)光誤差外，還有很多其他的因素也會(huì)帶來(lái)誤差，如減本底、除平場(chǎng)、減暗流等過(guò)程都會(huì)帶來(lái)附加的誤差：一般平場(chǎng)的精度可以達(dá)到千分之五左右。目標(biāo)源的測(cè)光誤差可以按如下形式給出：

Eref為多顆比較星測(cè)光誤差的平均值，Eobj為目標(biāo)源測(cè)光誤差，Eothers為其他誤差，根據(jù)不同的情況確定，比如誤差小于千分之五的時(shí)候“其他誤差”就可能需要包括平場(chǎng)誤差，再比如比較星的定標(biāo)誤差等。22第22頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

觀測(cè)精度的高低是由觀測(cè)條件決定的，它包括觀測(cè)的手段、儀器的精度、觀測(cè)的次數(shù)、觀測(cè)者技術(shù)熟練的程度等,因此我們按觀測(cè)時(shí)的條件把觀測(cè)分成兩大類:如果某一列觀測(cè)是在完全相同的條件下進(jìn)行的，則為等精度觀測(cè)，所得到的序列稱為等精度觀測(cè)列；如果某一列觀測(cè)是在不同的條件下進(jìn)行的，稱為非等精度觀測(cè)，相應(yīng)的觀測(cè)序列為非等精度觀測(cè)列。

等精度觀測(cè)列的標(biāo)準(zhǔn)偏差對(duì)于等精度觀測(cè)列，可以用全列觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)衡量這列觀測(cè)值的精度。但是，由于觀測(cè)值的真誤差一般是未知的，為此通常用觀測(cè)值的殘差代替真誤差。而對(duì)于一列等精度觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，被測(cè)量的最或然值就是這列觀測(cè)值的算術(shù)平均值，則有殘差，而真誤差為:5.2.3等精度觀測(cè)和非等精度觀測(cè)

23第23頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

為算術(shù)平均值的真誤差，對(duì)上式兩邊求平方和，得：并有：

由線性情況下的標(biāo)準(zhǔn)偏差傳遞公式，并將算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差代入上式則得：

整理后得到一等精度觀測(cè)列用殘差表示的標(biāo)準(zhǔn)偏差公式(這里用高斯符號(hào)[]表示求和)：24第24頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

權(quán)與非等精度觀測(cè)列處理非等精度觀測(cè)序列的情況在天文學(xué)中是很普遍的：例如利用觀測(cè)星表編制基本星表就是一個(gè)典型的例子。各種星表中的星位都具有誤差；即使是在同一星表中，它所包含的星位也不都具有相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差。它們大多數(shù)和觀測(cè)次數(shù)的多少有關(guān)，故而大多數(shù)星表中有一欄同時(shí)列出了各恒星觀測(cè)的次數(shù)，相應(yīng)的精度隨所用的觀測(cè)數(shù)目的增加而增加。因此，在編制基本星表時(shí)，需根據(jù)它們精度的高低區(qū)別對(duì)待。在數(shù)據(jù)處理中，通常用數(shù)值pi表示對(duì)某一觀測(cè)結(jié)果xi的重視程度，并稱之為權(quán)。觀測(cè)值精度的高低是和其誤差大小密切相關(guān)的：誤差越大,觀測(cè)值精度就越低，對(duì)它的重視程度也應(yīng)相應(yīng)減小。在觀測(cè)值只包含隨機(jī)誤差的情況下，通常定義權(quán)與標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方成反比。25第25頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)非等精度觀測(cè)列的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為1,2…,N

,通常把和最大的標(biāo)準(zhǔn)偏差對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值的權(quán)定為1，設(shè)1＝maxi(i=1N)，則標(biāo)準(zhǔn)偏差為i的觀測(cè)值xi的權(quán)為：不難看出p1=1，故x1被稱為單位權(quán)觀測(cè)值。對(duì)非等精度觀測(cè)序列被測(cè)量的最或然值需要加權(quán)平均,即:

標(biāo)準(zhǔn)偏差公式為:

權(quán)只是從相對(duì)意義上表示一個(gè)量的精確程度：我們同樣可以取和最小的i對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值為單位權(quán)觀測(cè)值；這時(shí)雖然各個(gè)觀測(cè)值權(quán)的數(shù)值和原來(lái)不同了，但這些觀測(cè)值權(quán)的比值并未改變。有時(shí)為了使所有觀測(cè)值的權(quán)均為整數(shù)，可以根據(jù)要求選取單位權(quán)觀測(cè)值。26第26頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由于被測(cè)量的真值在有限次觀測(cè)中是無(wú)法得到的，數(shù)據(jù)處理的任務(wù)是通過(guò)對(duì)被測(cè)量的有限次觀測(cè)求出被測(cè)量的最接近于真值的量，即被測(cè)量的最或然值?！?.3直接觀測(cè)量的最或然值及其精度5.3.1最小二乘準(zhǔn)則

最小二乘法是求解被測(cè)量最或然值的基本方法。按照最或然值的定義，它是最接近于真值的值。設(shè)一組觀測(cè)值為x1,x2,…,xN

，待求的最或然值為x*，則它們的殘差為νi=xi-x*(i=1N),最小二乘準(zhǔn)則就是選擇x*，使得殘差平方和為最小。即x*必須滿足：27第27頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)于一列等精度觀測(cè)列，設(shè)由最小二乘準(zhǔn)則求出的最或然值為x*，由N個(gè)觀測(cè)值可得N個(gè)殘差方程：

νi=xi-x*(i=1N)

根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，最或然值x*應(yīng)滿足：由極值原理，有：于是得：設(shè)觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為，則由上式并利用標(biāo)準(zhǔn)偏差的傳遞公式得：5.3.2等精度觀測(cè)列的最或然值及精度

多次觀測(cè)取平均可以減小觀測(cè)結(jié)果的隨機(jī)誤差！28第28頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)x1,x2,…,xN為一非等精度觀測(cè)列，x*為被測(cè)量的最或然值，由于各個(gè)xi的精度不同，不能像處理等精度觀測(cè)列那樣直接應(yīng)用來(lái)求解x*，而必須先將它轉(zhuǎn)化為等精度觀測(cè)列，再利用等精度觀測(cè)列的最小二乘準(zhǔn)則來(lái)求最或然值及其精度。設(shè)觀測(cè)值xi的權(quán)為pi，可以證明，只要將每個(gè)觀測(cè)值乘以相應(yīng)的權(quán)的平方根，就可以把原來(lái)的非等精度觀測(cè)列轉(zhuǎn)化為一等精度觀測(cè)列，與之對(duì)應(yīng)的殘差序列為。由最小二乘準(zhǔn)則有：5.3.3非等精度觀測(cè)列的最或然值及精度

則非等精度觀測(cè)列的加權(quán)平均值為29第29頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四非等精度觀測(cè)列的最或然值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：由于非等精度觀測(cè)列中每個(gè)觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差可表示為，則上式又可寫為：

其中為單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)偏差，它可按等精度觀測(cè)列的標(biāo)準(zhǔn)偏差公式計(jì)算，但它對(duì)應(yīng)的殘差是，最后得：

實(shí)例30第30頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四間接觀測(cè)中一種較普遍的情況是觀測(cè)量為待求量的線性函數(shù)。設(shè)對(duì)直接觀測(cè)量進(jìn)行了N次觀測(cè)，待求的未知量為xk

(k=1m)，則可得N個(gè)觀測(cè)方程：如果li沒(méi)有誤差且各方程是獨(dú)立的，則由其中m(m＜N)個(gè)方程可以解出m個(gè)未知量的真值。但實(shí)際上觀測(cè)值總會(huì)有誤差。如果我們用未知量的最或然值代入上式,則觀測(cè)量li與待求量的最或然值的關(guān)系可表示成如下的方程組：§5.4間接觀測(cè)量的最或然值及其精度5.4.1誤差方程

式中ν1,ν2,…,νN

分別為l1,l2,…,lN

的殘差。31第31頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四通常稱以上方程組為誤差方程或條件方程，在這個(gè)方程組中有N個(gè)方程，m+N個(gè)未知量,即使不考慮vi

的影響，也不能找出嚴(yán)格滿足所有方程的解，更何況殘差νi必須要考慮，但它又是未知的。因此，要求出未知量必須要有附加條件，而使用最小二乘準(zhǔn)則能得到這個(gè)方程圓滿的解。根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，在等精度觀測(cè)列的情況下，未知量的最或然值是使殘差平方和最小的那些值，即由極值原理，xk

(k＝1

m)

應(yīng)滿足：5.4.2正態(tài)方程

32第32頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

即：經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單整理并引用高斯符號(hào)，則由此可得到線性方程組常稱以上方程組為正態(tài)方程或法方程。33第33頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

間接觀測(cè)另一種常見(jiàn)的情況是觀測(cè)值是待求量的非線性函數(shù)。例如，人造衛(wèi)星的軌道改正中，觀測(cè)量是某一歷元衛(wèi)星的球面坐標(biāo)，待求量是相應(yīng)歷元的六個(gè)軌道根數(shù)，它們之間的關(guān)系是很復(fù)雜的非線性關(guān)系；利用甚長(zhǎng)基線(VLBI)觀測(cè)測(cè)定地球自轉(zhuǎn)參數(shù)，觀測(cè)量是來(lái)自射電源同一波前到達(dá)VLBI兩個(gè)測(cè)站的鐘面時(shí)之差即幾何延遲，待求量是地球自轉(zhuǎn)參數(shù)，它們之間的關(guān)系也是很復(fù)雜的非線性關(guān)系；又如，利用食雙星的光變曲線確定其軌道要素是目前測(cè)定食雙星軌道要素的惟一方法，而食雙星的光變曲線不僅和軌道根數(shù)有關(guān)，還依賴于其它一些因素：包括兩顆子星的大小、光度、形狀等…因此，利用光變曲線得到食雙星的軌道要素(稱為食雙星的測(cè)光軌道解)是一個(gè)典型的復(fù)雜非線性間接觀測(cè)問(wèn)題。34第34頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四觀測(cè)量yi與待求量xk

(k=1m)之間的非線性關(guān)系可寫為設(shè)x0k為xk的近似值(或初值)，并用xk表示xk與其近似值之差。則由上式可以算出已知待求量近似值的函數(shù)y0k，并記yi

＝y(tǒng)i

–y0i，對(duì)上式在x0k(k＝1~m)上進(jìn)行泰勒展開(kāi)，并略去xk的二次及二次以上的項(xiàng)，這樣可得：其中(k＝1m)當(dāng)x0k給定時(shí)為己知系數(shù)，下面我們用bik(k＝1m)表示。因?yàn)橛^測(cè)值yi有誤差，因此必須考慮yi中的誤差，故而得到誤差方程：35第35頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四利用最小二乘準(zhǔn)則，可得到法方程：

解此方程得到xk(k＝1m)，分別加上近似值x0k(k＝1m)，就可得待求量的最或然值。當(dāng)|xk|較大時(shí)，可將得到的xk代替原來(lái)的近似值x0k重新算出系數(shù)bik

和yi并解法方程得到新的xk。這種過(guò)程可以反復(fù)迭代，直到最后的|xk|值小于給定的誤差限為止，這時(shí)最后得到的xk即為所求。這種算法常被稱為高斯—牛頓法或泰勒展開(kāi)法，此法在求解過(guò)程中需反復(fù)迭代和修正，逐次迭代的結(jié)果將使最后的xk更接近真解。當(dāng)初值選得較好時(shí)，隨著迭代次數(shù)的增加，修正值|k|將越來(lái)越小，即為迭代“收斂”；否則稱迭代“發(fā)散”：迭代得到的新值可能比原來(lái)的值更遠(yuǎn)離真解，而這種情況在實(shí)際應(yīng)用中時(shí)有發(fā)生，所以初值的選取是至關(guān)重要的。36第36頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四為了求最或然值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，必須要知道它們與觀測(cè)值li的標(biāo)準(zhǔn)偏差之間的關(guān)系以及l(fā)i的標(biāo)準(zhǔn)偏差；要求li的標(biāo)準(zhǔn)偏差，首先要求出li的殘差，而這只要將從法方程解得的未知量的最或然值代入誤差方程便可得到。(由殘差求標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式推導(dǎo)請(qǐng)?jiān)斠?jiàn)書(shū)中敘述)觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：其中，N－m稱為自由度，意思是指求解m個(gè)未知量只需在m個(gè)不同條件下測(cè)得m個(gè)觀測(cè)值；但現(xiàn)有N＞m個(gè)測(cè)得值，故而多測(cè)了N－m個(gè)值。從上面的推導(dǎo)可知，用最小二乘法求解未知量時(shí)，為了得到較小的標(biāo)準(zhǔn)偏差；通常要求N-

m越大越好。5.4.3最或然值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

=37第37頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四有了觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差后,就可以求m個(gè)最或然值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。設(shè)m個(gè)最或然值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為對(duì)應(yīng)的權(quán)分別為，則由非等精度觀測(cè)列的標(biāo)準(zhǔn)偏差公式可以得到：式中按觀測(cè)值標(biāo)準(zhǔn)偏差公式計(jì)算。pxk的計(jì)算可借助法方程求得，即只要將法方程右端項(xiàng)[b1l],[b2l],···,[bml]改為1,0,0,···0，解此法方程得到的x1即為；若把法方程右端項(xiàng)分別改為0,1,···,0則由可解得px2。依次類推……

38第38頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5.5最小二乘曲線擬合

天文工作中常遇到達(dá)樣兩個(gè)問(wèn)題，其一是：y和x是可被觀測(cè)的天文量,且y是x的函數(shù)，它們的函數(shù)關(guān)系由公式(曲線)：y＝f(x，ck)(k＝1~m)給出，但式中含有m個(gè)未知參數(shù)ck

(k

＝1~m)。我們的任務(wù)是根據(jù)y和x的N組觀測(cè)值尋求參數(shù)ck的最佳估計(jì)?k，進(jìn)而得到以上公式(曲線)具體形式的最佳估計(jì)；另一問(wèn)題是：y和x之間的函數(shù)形式未知，而需要利用對(duì)y和x的觀測(cè)求出y和x之間關(guān)系的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式(或經(jīng)驗(yàn)曲線)。39第39頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

由于觀測(cè)值總含有誤差，通常只能用曲線擬合的方法由y和x的觀測(cè)值(yi,

xi)[i=1N]，求得理論曲線或經(jīng)驗(yàn)曲線中參數(shù)的估計(jì)值。曲線擬合的特點(diǎn)在于，被確定的曲線原則上并不特別要求真正通過(guò)給定的所有觀測(cè)點(diǎn)，而只要盡可能在絕大多數(shù)觀測(cè)點(diǎn)附近通過(guò)。這對(duì)于含有誤差的觀測(cè)來(lái)說(shuō)較之過(guò)所有點(diǎn)的曲線擬合更合理，并有利于減小對(duì)未知數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)的偏差*。確定表達(dá)式中的參數(shù)是曲線擬合中的基本問(wèn)題。另外，經(jīng)驗(yàn)公式的確定又是參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)，但它與客觀實(shí)際聯(lián)系緊密，必須結(jié)合專業(yè)知識(shí)并依據(jù)經(jīng)驗(yàn)才能得到較好的解決。40第40頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四41第41頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，它通過(guò)最小化誤差的平方和找到一組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配；其是用最簡(jiǎn)的方法求得一些絕對(duì)不可知的真值，而令誤差平方之和為最小；最小二乘法通常用于曲線擬合。很多其他的優(yōu)化問(wèn)題也可通過(guò)最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表達(dá)。1801意大利天文學(xué)家朱賽普·皮亞齊發(fā)現(xiàn)了第一顆小行星谷神星，在40天的跟蹤觀測(cè)后，谷神星運(yùn)行至太陽(yáng)背后。皮亞齊失去了谷神星的位置。隨后全世界的科學(xué)家通過(guò)皮亞齊的觀測(cè)數(shù)據(jù)開(kāi)始了尋找谷神星的行動(dòng)。但是大多數(shù)的計(jì)算都沒(méi)有結(jié)果，只有當(dāng)時(shí)年僅24歲的高斯成功計(jì)算出了谷神星的軌道，奧地利天文學(xué)家海因里?！W爾伯斯在高斯計(jì)算出的軌道上重新發(fā)現(xiàn)了谷神星，從此高斯聞名世界。他的這個(gè)最小二乘的方法發(fā)表在1809年的著作《天體運(yùn)動(dòng)論》中。法國(guó)科學(xué)家勒讓德也于1806年獨(dú)立發(fā)明最小二乘法。1829年，高斯提供了這個(gè)方法較其它方法為優(yōu)的證明：最小二乘法在很大方面上優(yōu)化效果強(qiáng)于其它方法，被稱為高斯-莫卡夫定理。42第42頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四理論曲線(或經(jīng)驗(yàn)公式)中參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題可用如下的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：若y是關(guān)于自變量x和待定參數(shù)ck(k=1m)的形式已知的函數(shù)：y＝f(x,c)。今給出(x,y)的N對(duì)觀測(cè)值(xi,yi)(i=1N)，要確定參數(shù)ck(k=1m)，使某個(gè)目標(biāo)函數(shù)

取極值(極大值或極小值)。因此曲線擬合就是對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化計(jì)算，尋求使目標(biāo)函數(shù)d取極值的一組參數(shù)值。目標(biāo)函數(shù)的具體形式可根據(jù)具體問(wèn)題的要求來(lái)選取,可以在非最小二乘意義下確定c使得:5.5.1目標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)化43第43頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

達(dá)到極小。也可以在最小二乘意義下求解c，即使目標(biāo)函數(shù)：達(dá)到極小。我們稱這種選取各觀測(cè)點(diǎn)的殘差平方和作為目標(biāo)函數(shù)的擬合為最小二乘曲線擬合最小二乘曲線擬合用擬合的2量：

作為目標(biāo)函數(shù)。尋求使2最小的參數(shù)c作為參數(shù)的估計(jì)值。其中pi為觀測(cè)值yi的權(quán)重因子：5.5.2最小二乘曲線擬合44第44頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四滿足最小二乘準(zhǔn)則的參數(shù)值?可由下列方程組解出，即由：解此參數(shù)的最小二乘估計(jì)?k(k=1~m)?！?/p>

線性情況：

理論曲線是未知參數(shù)的線性情況時(shí)，它的一般形式可表示為對(duì)于N組觀測(cè)值(xi,yi)，把線性函數(shù)代入上述方程組，則可得到未知參數(shù)c的線性方程組：45第45頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例如在m=2且為等精度的情況下（2個(gè)未知參數(shù)），方程組化為：

已知：y=y0(x)+c1f1(x)+c2f2(x)c1f1(xi)f1(xi)+c2f2(xi)f1(xi)=[yi-y0(xi)]f1(xi)c1f1(xi)f2(xi)+c2f2(xi)f2(xi)=[yi-y0(xi)]f2(xi)解之便可以得到c1和c2的最佳估計(jì)值46第46頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四把參數(shù)估計(jì)值代入理論關(guān)系式，可以得到對(duì)應(yīng)各個(gè)自變量xi的y的估計(jì)值：線性情況最典型的例子是：這是標(biāo)準(zhǔn)的線性模型，形式簡(jiǎn)單。但是有些看來(lái)較復(fù)雜的模型，常?？梢酝ㄟ^(guò)變量代換的方法簡(jiǎn)化成這樣的形式。下面我們給出幾個(gè)例子：例1：是一個(gè)多項(xiàng)式模型，盡管觀測(cè)值y對(duì)自變量而言是非線性的，但它對(duì)參數(shù)是線性的，因此仍屬線性問(wèn)題。只要作變量代換：則多項(xiàng)式即可化為標(biāo)準(zhǔn)的線性形式47第47頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2：觀測(cè)量y對(duì)自變量x及參數(shù)均為非線性，但通過(guò)變量代換仍可化為線性問(wèn)題來(lái)處理。即對(duì)兩邊取導(dǎo)數(shù)，得令，得例3：

這是標(biāo)準(zhǔn)的直線模型，解出C0，Cl后，用逆變換求c0，c1：

式中Aj，j

(j＝1，2)分別為周期函數(shù)的振幅和初相位，它們都是擬合過(guò)程中待估計(jì)的參數(shù)pj為已知的周期。48第48頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這個(gè)函數(shù)形式是非線性的，但我們亦可以通過(guò)變量變換將其轉(zhuǎn)化為線性的：這是以c1,c2,c3,c4參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化模型。由線性情況的最小二乘擬合的參數(shù)估計(jì)公式解得參數(shù)c1,c2,c3,c4

后可得周期函數(shù)的擬合參數(shù)

將它們代入周期函數(shù)公式中即得周期函數(shù)擬合曲線

變量變換的方法可以把看來(lái)較復(fù)雜的模型化簡(jiǎn)，且變換既適用于待定參數(shù)也適用于觀測(cè)量和自變量。這種能通過(guò)變量代換的方法化為線性模型的理論或經(jīng)驗(yàn)公式稱為廣義線性模型。49第49頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四思考：若把觀測(cè)量y和x進(jìn)行調(diào)換，最終由上式得到的最小二乘擬合結(jié)果是否不變？？—

對(duì)dy—

對(duì)dx—

對(duì)(dx2+dy2)1/250第50頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四實(shí)例：測(cè)定星系中心大質(zhì)量黑洞的質(zhì)量UsingRBLRthecentralmassis:VistheBLRcloudsvelocity(eitherfromFWHMorsLINE)fisadimensionlessfactorthatdependsonthegeometryandkinematicsoftheBLR.

如何測(cè)定

RBLR?Findingthecentral(blackhole)massisoneofthe“holygrails”ofreverberationmappinginthepastdecade….

(butthesamplemightbebiased….)第51頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Continuumluminosityvary.BLRrespondtothevariations(viaphotoionization).測(cè)定RBLR：ReverberationMappingTheentireBLRdoesnotrespondatthesametime.AcloudatadistanceRfromthecentralsourceandangleq

tothelineofsightwillappeartorespondafteratime:qLine

ContinuumForathickshellBLRtheresponsetoacontinuumflashwillbe:TimeLineflux52第52頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四TimeLightcurvesLineFluxContinuumFluxHbKaspietal.200053第53頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四BLRsize(RBLR)vs.Luminosity—Botharefundamentalmeasuredquantities.Petersonetal.(2004)compiledallstudiestodate.35objectswithBalmer(mainlyHb)linestimelag.CharacteristicBLRsize=TimeLag*speedoflight.LuminositiesintheOptical,UV,andX-rays.BLRsizefromaveragingallBalmerlinestimelagsperobject.BLRSize–LuminosityRelation測(cè)定

RBLR

進(jìn)而計(jì)算黑洞質(zhì)量的更普適方法54第54頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四LinearRegressionUncertaintiesinbothquantitiesandIntrinsicscatterintherelationTworegressionmethods:1.FITEXYfromPressetal.(1992)implementedbyTremaineetal.(2002).2.BCES(BivariateCorrelatedErrorsandintrinsicScatter)byAkritas&Bershady(1996).…andalsooutlierpoints…55第55頁(yè)，共62頁(yè)，2023年，2月20日，星期四HbRBLR–Opticalluminosity(5100A)RBLR

[lLl(5100?)](0.69±0.05)Kaspietal.200556第56頁(yè)，共62頁(yè)