平均數(shù)教學(xué)評(píng)議

本文格式為Word版，下載可任意編輯——平均數(shù)教學(xué)評(píng)議學(xué)生如何學(xué)習(xí)平均數(shù)這一重要概念呢?傳統(tǒng)教學(xué)側(cè)重于對(duì)所給數(shù)據(jù)(有時(shí)甚至是沒有任何統(tǒng)計(jì)意義的抽象數(shù))計(jì)算其平均數(shù)，即側(cè)重于從算法的水平理解平均數(shù)，這簡(jiǎn)單將平均數(shù)的學(xué)習(xí)蛻變?yōu)橐环N簡(jiǎn)單的技能學(xué)習(xí)，忽略平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。因此，新課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來理解平均數(shù)。然而什么是“從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度〞理解平均數(shù)?在教學(xué)中如何落實(shí)?如何將算法水平的理解與統(tǒng)計(jì)學(xué)水平的理解整合起來?如何將平均數(shù)作為一個(gè)概念來教?一、“概念為本〞教學(xué)的核心：為什么學(xué)習(xí)平均數(shù)1．憑直覺體驗(yàn)平均數(shù)的“代表性〞。

平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是它能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)(雖然碰巧可能等于某個(gè)原始數(shù)據(jù))，但又與每一個(gè)原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。要對(duì)兩組數(shù)據(jù)的總體水平進(jìn)行比較，就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于平均數(shù)具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公允。

在陳老師的課上，導(dǎo)人部分的問題——1分鐘投籃挑戰(zhàn)賽——雖然簡(jiǎn)單，但易于引發(fā)學(xué)生對(duì)平均數(shù)的“代表性〞的理解：是用一次投籃投中的個(gè)數(shù)來代表整體水平還是用幾次投籃中的某一次投中個(gè)數(shù)來代表整體水平呢?抑或是用幾次投籃的總數(shù)來代表整體水平呢?

由于教師所選擇的幾組數(shù)據(jù)經(jīng)過精心設(shè)計(jì)，同時(shí)各組數(shù)據(jù)的浮現(xiàn)方式伴隨著教師的追問，使學(xué)生很好地理解了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。這些數(shù)據(jù)并不是一組一組地同時(shí)浮現(xiàn)，然后讓學(xué)生分別計(jì)算其平均數(shù)，而是動(dòng)態(tài)浮現(xiàn)，并伴隨教師的追問，以落實(shí)研究每一組數(shù)據(jù)的教學(xué)目標(biāo)。例如，先浮現(xiàn)小強(qiáng)第一次投中5個(gè)，然后追問：“小強(qiáng)對(duì)這一成績(jī)似乎不太滿意，覺得好像沒有發(fā)揮出自己的真實(shí)水平，想再投兩次。假使你是張老師，你會(huì)同意他的要求嗎?〞這樣就使學(xué)生直覺體驗(yàn)到由于隨機(jī)誤差的原因僅用一次的數(shù)據(jù)很難代表整體的水平，因此再給他兩次投籃的機(jī)遇。而小強(qiáng)的投籃水平十分穩(wěn)定，三次都是5個(gè)。三次數(shù)據(jù)都是“5〞，這是教師精心設(shè)計(jì)的，核心是讓學(xué)生憑直覺體驗(yàn)平均數(shù)的代表性，避免了學(xué)生不會(huì)計(jì)算平均數(shù)的難堪。同樣道理，其次組數(shù)據(jù)的浮現(xiàn)方式依舊先浮現(xiàn)一個(gè)，伴隨教師的追問：“假使你是小林，會(huì)就這樣終止嗎?〞這讓學(xué)生體驗(yàn)一次數(shù)據(jù)，很難代表整體水平，但3、5、4終究哪個(gè)數(shù)據(jù)能代表小林的水平呢?教師設(shè)計(jì)這些活動(dòng)的核心是讓學(xué)生體驗(yàn)平均數(shù)的代表性。

2．兩種計(jì)算方法的背后仍加強(qiáng)概念理解。

雖然會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是重要的技能，但過多的、單純的練習(xí)簡(jiǎn)單變成純粹的技能訓(xùn)練，阻礙學(xué)生體會(huì)平均數(shù)在數(shù)據(jù)處理過程中的價(jià)值。計(jì)算平均數(shù)有兩種方法，每種方法的教育價(jià)值各有側(cè)重點(diǎn)，其核心都是加強(qiáng)對(duì)平均數(shù)意義的理解，非僅僅計(jì)算出結(jié)果。

在陳老師的課上，利用直觀形象的象形統(tǒng)計(jì)圖(條形統(tǒng)計(jì)圖也可以)，通過動(dòng)態(tài)的“割補(bǔ)〞來浮現(xiàn)“移多補(bǔ)少〞的過程，為理解平均數(shù)所表示的均勻水平提供感性

支撐。首先兩次在直觀水平上通過“移多補(bǔ)少〞求得平均數(shù)，而不是先通過計(jì)算求平均數(shù)。這樣做，加強(qiáng)平均數(shù)“勻乎、勻乎〞的產(chǎn)生過程，是對(duì)平均數(shù)能刻畫一組數(shù)據(jù)的整體水平的進(jìn)一步直觀理解，避免學(xué)生原有思維定勢(shì)的影響，即淡化學(xué)生對(duì)“平均分〞的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)對(duì)平均數(shù)意義而非算法的理解。

如何讓學(xué)生理解平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平，而不是平均分后某個(gè)體所獲得的結(jié)呆呢?平均數(shù)與平均分既有聯(lián)系更有區(qū)別，雖然二者的計(jì)算過程一致，但不同于前面所學(xué)的“平均分〞，二者計(jì)算過程一致但各自的意義不同。從問題解決角度看，“平均分〞有兩層含義：一是已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)是多少；二是已知總數(shù)和每份數(shù)，求有這樣的多少份，強(qiáng)調(diào)的是除法運(yùn)算的意義，解決的是“單位量〞與“單位個(gè)數(shù)〞的問題。而平均數(shù)則反映全部數(shù)據(jù)的整體水平，目的是比較兩組數(shù)據(jù)的整體水平，加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，數(shù)據(jù)的“個(gè)數(shù)〞不同于前面所說的“份數(shù)〞，是根據(jù)需要所選擇的“樣本〞的個(gè)數(shù)。

因此陳老師的教學(xué)中沒有單純地求平均數(shù)的練習(xí)，而是將學(xué)習(xí)平均數(shù)放在完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中，在描述數(shù)據(jù)、進(jìn)行整體水平對(duì)比的過程中深化“平均數(shù)是一種統(tǒng)計(jì)量〞的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度學(xué)習(xí)平均數(shù)。例如，張老師在通過兩種方法求出平均數(shù)之后，一再追問：“哪個(gè)數(shù)是哪幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)呢?〞“這里的平均數(shù)4能代表小剛第一次投中的個(gè)數(shù)嗎?〞“能代表小剛其次次、第三次投中的個(gè)數(shù)嗎?〞“那它畢竟代表的是哪一次的個(gè)數(shù)?〞通過這樣的追問，加強(qiáng)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。當(dāng)然，假使在此現(xiàn)實(shí)問題中出現(xiàn)平均數(shù)是小數(shù)的情形更有助于學(xué)生理解平均數(shù)只刻畫整體水平而不是真正的其中某一次投中的個(gè)數(shù)(投中的個(gè)數(shù)怎么會(huì)是小數(shù)呢?不強(qiáng)調(diào)小數(shù)的意義，只出現(xiàn)簡(jiǎn)單小數(shù)，例如3．5個(gè))，即有人所說的“平均數(shù)是一個(gè)虛幻的數(shù)〞。學(xué)生對(duì)此理解需要比較長(zhǎng)的“過程〞，不是一節(jié)課就能達(dá)成的。

二、“概念為本〞教學(xué)的深化：進(jìn)一步理解平均數(shù)的本質(zhì)及性質(zhì)

初步認(rèn)識(shí)了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義后，陳老師依舊進(jìn)一步設(shè)計(jì)活動(dòng)讓學(xué)生借助于具體問題、具體數(shù)據(jù)初步理解平均數(shù)的性質(zhì)，豐富學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解，也為學(xué)生靈活解決有關(guān)平均數(shù)的問題提供知識(shí)和方法上的支持。算術(shù)平均數(shù)有如下性質(zhì)：1．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，“稍有風(fēng)吹草動(dòng)〞就能帶來平均數(shù)的變化〞，即敏感性。

2．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)介于這組數(shù)據(jù)的最小值與最大值之間。

這些抽象的性質(zhì)如何讓小學(xué)生理解呢?張老師依舊是在巧妙的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)以及適時(shí)的把握本質(zhì)的追問中讓學(xué)生進(jìn)一步深化對(duì)平均數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)的巧妙主要表達(dá)在：

陳張老師1分鐘投球的三幅統(tǒng)計(jì)圖同時(shí)浮現(xiàn)，讓學(xué)生對(duì)比分析、獨(dú)立思考再小組探討。由于三幅統(tǒng)計(jì)圖中前三個(gè)數(shù)據(jù)一致，只有第四個(gè)數(shù)據(jù)不同，學(xué)生能夠進(jìn)一步理解平均數(shù)的敏感性：任何一個(gè)數(shù)據(jù)的風(fēng)吹草動(dòng)，都會(huì)使平均數(shù)發(fā)生變化。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)總是介于最小的數(shù)與最大的數(shù)之間：多的要移一些補(bǔ)給少的，最終平均數(shù)當(dāng)然要比最大的小比最小的大了。

有前述對(duì)平均數(shù)意義以及性質(zhì)的了解，學(xué)生是否真正理解了平均數(shù)的概念呢?表達(dá)出概念的定義或者會(huì)計(jì)算不等于真正理解某個(gè)概念，還要看能否在不可憐境中運(yùn)用概念。由于平均數(shù)這個(gè)概念對(duì)小學(xué)生而言是十分抽象的(如前所說，它是“虛幻的數(shù)〞，學(xué)生不能具體看到)，平均數(shù)的背景也很繁雜，假使學(xué)生能在稍繁雜的背景下運(yùn)用平均數(shù)的概念解決問題，說明學(xué)生初步理解了平均數(shù)。

因此，張老師設(shè)計(jì)了四個(gè)繁雜程度不同的問題，即“球員平均身

高〞“平均水深〞“仰臥起坐次數(shù)〞“趙老師投籃狀況〞，這四個(gè)問題中的平均數(shù)的繁雜程度不同。

“球員平均身高〞問題不是讓學(xué)生計(jì)算球員的平均身高而是讓學(xué)生借助平均數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理判斷，并通過學(xué)生熟悉的中國(guó)男子籃球隊(duì)隊(duì)員的平均身高以及姚明的特別身高深化對(duì)平均數(shù)的理解。