離散數(shù)學(xué)試卷十二試題與答案

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一、填空20%（每空2分）

1、設(shè)集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，定義A上的二元關(guān)系“≤〞為

x≤y=x|y,則x?y=。

nA?{x|x?2,n?N}，定義A上的二元運(yùn)算為普通乘法、除法和加法，則代2、設(shè)

數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算*關(guān)于運(yùn)算具有封閉性。3、設(shè)集合S={α，β，γ，δ，δ}，S上的運(yùn)算*定義為

*αβγδδ

則代數(shù)系統(tǒng)中幺元是，β左逆元是，無(wú)左逆元的元素是。

4、在群坯、半群、獨(dú)異點(diǎn)、群中滿足消去律。5、設(shè)是由元素a?G生成的循環(huán)群，且|G|=n，

則G=。6、拉格朗日定理說(shuō)明若是群的子群，則可建立G中的等價(jià)關(guān)系

R=。

若|G|=n,|H|=m則m和n關(guān)系為。7、設(shè)f是由群到群的同態(tài)映射，e?是G?中的幺元，

則f的同態(tài)核Ker(f)=。

ααβγδδββδααδγγαβγαδδγαδγδδδβγδ二、選擇20%（每題2分）

1、設(shè)f是由群到群的同態(tài)映射，則ker(f)是（）。

A、G?的子群；B、G的子群；C、包含G?；D、包含G。

2、設(shè)是環(huán)，?a,b?A，a·b的關(guān)于“+〞的逆元是（）。

A、(-a)·(-b)；B、(-a)·b；C、a·(-b)；D、a·b。

3、設(shè)是一代數(shù)系統(tǒng)且是Abel群，假使還滿足（）是域。

A、是獨(dú)異點(diǎn)且·對(duì)+可分派；

B、是獨(dú)異點(diǎn)，無(wú)零因子且·對(duì)+可分派；C、是Abel群且無(wú)零因子；D、是Abel且·對(duì)+可分派。

4、設(shè)是一代數(shù)系統(tǒng)，+、·為普通加法和乘法運(yùn)算，當(dāng)A為（）

時(shí)，是域。

{x|x?a?b35,a,b均為有理數(shù)}；A、{x|x?a?b5,a,b均為有理數(shù)}；B、

C、

{x|x?a,a,b?I?,且a?kb}b；D、{x|x?0，x?I}。

5、設(shè)是一個(gè)格，由格誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)為?A,?,??，則（）成立。

A、?A,?,??滿足?對(duì)?的分派律；B、?a,b?A,a?b?a?b?b；C、?a,b,c?A,若a?b?a?c則b?c；D、?a,b?A,有a?(a?b)?b且a?(a?b)?b。

6、設(shè)是偏序集，“?〞定義為：?a,b?A,a?b?a|b，則當(dāng)A=（）

時(shí)，是格。

A、{1,2,3,4,6,12}；B、{1,2,3,4,6,8,12,14}；C、{1,2,3,?，12}；D、{1,2,3,4}。7、設(shè)?A,?,??是由格誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)，若對(duì)?a,b,c?A，當(dāng)b?a時(shí)，

有（）是模格。A、a?(b?c)?b?(a?c)；B、c?(a?c)?a?(b?c)；C、a?(b?c)?b?(a?c)；D、c?(a?c)?b?(a?c)。8、在（）中，補(bǔ)元是唯一的。

A、有界格；B、有補(bǔ)格；C、分派格；D、有補(bǔ)分派格。

9、在布爾代數(shù)?A,?,?,??中，b?c?0當(dāng)且僅當(dāng)（）。

A、b?c；B、c?b；C、b?c；D、c?b。

10、設(shè)?A,?,?,??是布爾代數(shù)，f是從An到A的函數(shù)，則（）。

A、f是布爾代數(shù)；B、f能表示成析取范式，也能表示成合取范式；C、若A={0，1}，則f一定能表示成析取范式，也能表示成合取范式；D、若f是布爾函數(shù)，它一定能表示成析（合）取范式。

三、8%

設(shè)A={1，2}，A上所有函數(shù)的集合記為AA,?是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，試給出AA上運(yùn)算?的運(yùn)算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元。

四、證明42%

1、設(shè)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，*是R上二元運(yùn)算，?a,b?R是幺元且是獨(dú)異點(diǎn)。（8分）

a*b?a?b?a?b，則0

n2、設(shè)是n階循環(huán)群，G=(a)，設(shè)b=ak，k?I?則元素b的階為d，這里d=GCD(n,

k)。（10分）

3、證明假使f是由到的同態(tài)映射，g是由到的同態(tài)映射，則g?f是由到的同態(tài)映射。（6分）

4、設(shè)是一個(gè)含幺環(huán)，且任意a?A都有a·a=a，若|A|≥3則不

可能是整環(huán)。（8分）

5、K={1,2,5,10,11,22,55,110}是110的所有整因子的集合，證明：具有全上界110

和全下界1的代數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)布爾代數(shù)。（（10分）

?x?K,x??110x）。

五、布爾表達(dá)式10%

設(shè)E(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x1?x3)是布爾代數(shù)?{0,1},?,?,的一個(gè)布爾表達(dá)式，試寫出其析取范式和合取范式。（10分）答案：

?上

一、填空20%（每空2分）

1、LCM（x,y）；2、乘法；3、α、δ，γ、δ；4、群；5、G?{a,a,?a?12n?1，an?e}；

6、{?a,b?|a?G,b?G,a*b?H}、m/n；7、{x|x?G且f(x)?e?}

二、選擇20%（每題2分）

題目答案

三、8%

1B2B，C3D4A5B6A7A8D9C10C，DAA?{f1,f2,f3,f4}，其中：解：由于|A|=2，所以A上共有2=4個(gè)不同函數(shù)。令

2

f1(1)?1,f1(2)?2;?f2(1)?1,f2(2)?1;f3(1)?2,f3(2)?2;f3f3f4(1)?2,f4(2)?1

f1f1f2f2f4f4f1f2f3f2f3f2f3f2f3f2f3f4四、證明42%

1、（8分）證明：

f3f3f2f1f1為AA中的幺元，f1和f4有逆元。

[幺]?a?R，0*a?0?a?0?a?a,a*0?a?0?a?0

即0*a?a*0?a?0為幺元

[乘]?a,b?R，由于+，·在R封閉。所以a*b?a?b?a?b?R即*在R上封閉。[群]?a,b,c?R

(a*b)*c?(a?b?a?b)*c?a?b?a?b?c?(a?b?a?b)?c?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?ca*(b*c)?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?c所以(a*b)*c?a*(b*c)因此，〈R，*〉是獨(dú)異點(diǎn)。2、（10分）

證明：（1）?d?GCD(n,k),設(shè)n?d?n1,k?d?k1

?e?ank1?adn1k1?akn1?bn1

（2）若b的階不為n1，則b階m的同態(tài)映射。

4、（8分）

證明：反證法：假使是整環(huán)，且|A|≥3，則?a?A,a??,a?1且a?a?a即有a??,a?1??且a?(a?1)?a?a?a?a?a??，這與整環(huán)中無(wú)零因子矛盾。

所以不可能是整環(huán)。5、（10分）

（1）代數(shù)系統(tǒng)是由格

誘導(dǎo)的，其Hasst圖為

Hass圖中不存在與五元素格同構(gòu)的子格。

所以格是分派格。（2）?x?K,?x??100/x使得:LCM(x,x?)?110,GCD(x,x?)?1

如:22??11022?5,LCM(22,5)?110,GCD(22,5)?1即任元素都有補(bǔ)元，所以有補(bǔ)格。

是布爾代數(shù)。

五、布爾表達(dá)式10%

解：函數(shù)表為：x1x2x3E(x1,x2,x3)00000011010