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本文格式為Word版,下載可任意編輯——離散數(shù)學(xué)試卷十二試題與答案試卷十二試題與答案
一、填空20%(每空2分)
1、設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},定義A上的二元關(guān)系“≤〞為
x≤y=x|y,則x?y=。
nA?{x|x?2,n?N},定義A上的二元運(yùn)算為普通乘法、除法和加法,則代2、設(shè)
數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算*關(guān)于運(yùn)算具有封閉性。3、設(shè)集合S={α,β,γ,δ,δ},S上的運(yùn)算*定義為
*αβγδδ
則代數(shù)系統(tǒng)中幺元是,β左逆元是,無(wú)左逆元的元素是。
4、在群坯、半群、獨(dú)異點(diǎn)、群中滿足消去律。5、設(shè)是由元素a?G生成的循環(huán)群,且|G|=n,
則G=。6、拉格朗日定理說(shuō)明若是群的子群,則可建立G中的等價(jià)關(guān)系
R=。
若|G|=n,|H|=m則m和n關(guān)系為。7、設(shè)f是由群到群的同態(tài)映射,e?是G?中的幺元,
則f的同態(tài)核Ker(f)=。
ααβγδδββδααδγγαβγαδδγαδγδδδβγδ二、選擇20%(每題2分)
1、設(shè)f是由群到群的同態(tài)映射,則ker(f)是()。
A、G?的子群;B、G的子群;C、包含G?;D、包含G。
2、設(shè)是環(huán),?a,b?A,a·b的關(guān)于“+〞的逆元是()。
A、(-a)·(-b);B、(-a)·b;C、a·(-b);D、a·b。
3、設(shè)是一代數(shù)系統(tǒng)且是Abel群,假使還滿足()是域。
A、是獨(dú)異點(diǎn)且·對(duì)+可分派;
B、是獨(dú)異點(diǎn),無(wú)零因子且·對(duì)+可分派;C、是Abel群且無(wú)零因子;D、是Abel且·對(duì)+可分派。
4、設(shè)是一代數(shù)系統(tǒng),+、·為普通加法和乘法運(yùn)算,當(dāng)A為()
時(shí),是域。
{x|x?a?b35,a,b均為有理數(shù)};A、{x|x?a?b5,a,b均為有理數(shù)};B、
C、
{x|x?a,a,b?I?,且a?kb}b;D、{x|x?0,x?I}。
5、設(shè)是一個(gè)格,由格誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)為?A,?,??,則()成立。
A、?A,?,??滿足?對(duì)?的分派律;B、?a,b?A,a?b?a?b?b;C、?a,b,c?A,若a?b?a?c則b?c;D、?a,b?A,有a?(a?b)?b且a?(a?b)?b。
6、設(shè)是偏序集,“?〞定義為:?a,b?A,a?b?a|b,則當(dāng)A=()
時(shí),是格。
A、{1,2,3,4,6,12};B、{1,2,3,4,6,8,12,14};C、{1,2,3,?,12};D、{1,2,3,4}。7、設(shè)?A,?,??是由格誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng),若對(duì)?a,b,c?A,當(dāng)b?a時(shí),
有()是模格。A、a?(b?c)?b?(a?c);B、c?(a?c)?a?(b?c);C、a?(b?c)?b?(a?c);D、c?(a?c)?b?(a?c)。8、在()中,補(bǔ)元是唯一的。
A、有界格;B、有補(bǔ)格;C、分派格;D、有補(bǔ)分派格。
9、在布爾代數(shù)?A,?,?,??中,b?c?0當(dāng)且僅當(dāng)()。
A、b?c;B、c?b;C、b?c;D、c?b。
10、設(shè)?A,?,?,??是布爾代數(shù),f是從An到A的函數(shù),則()。
A、f是布爾代數(shù);B、f能表示成析取范式,也能表示成合取范式;C、若A={0,1},則f一定能表示成析取范式,也能表示成合取范式;D、若f是布爾函數(shù),它一定能表示成析(合)取范式。
三、8%
設(shè)A={1,2},A上所有函數(shù)的集合記為AA,?是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算,試給出AA上運(yùn)算?的運(yùn)算表,并指出AA中是否有幺元,哪些元素有逆元。
四、證明42%
1、設(shè)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),*是R上二元運(yùn)算,?a,b?R是幺元且是獨(dú)異點(diǎn)。(8分)
a*b?a?b?a?b,則0
n2、設(shè)是n階循環(huán)群,G=(a),設(shè)b=ak,k?I?則元素b的階為d,這里d=GCD(n,
k)。(10分)
3、證明假使f是由到的同態(tài)映射,g是由到的同態(tài)映射,則g?f是由到的同態(tài)映射。(6分)
4、設(shè)是一個(gè)含幺環(huán),且任意a?A都有a·a=a,若|A|≥3則不
可能是整環(huán)。(8分)
5、K={1,2,5,10,11,22,55,110}是110的所有整因子的集合,證明:具有全上界110
和全下界1的代數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)布爾代數(shù)。((10分)
?x?K,x??110x)。
五、布爾表達(dá)式10%
設(shè)E(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x1?x3)是布爾代數(shù)?{0,1},?,?,的一個(gè)布爾表達(dá)式,試寫出其析取范式和合取范式。(10分)答案:
?上
一、填空20%(每空2分)
1、LCM(x,y);2、乘法;3、α、δ,γ、δ;4、群;5、G?{a,a,?a?12n?1,an?e};
6、{?a,b?|a?G,b?G,a*b?H}、m/n;7、{x|x?G且f(x)?e?}
二、選擇20%(每題2分)
題目答案
三、8%
1B2B,C3D4A5B6A7A8D9C10C,DAA?{f1,f2,f3,f4},其中:解:由于|A|=2,所以A上共有2=4個(gè)不同函數(shù)。令
2
f1(1)?1,f1(2)?2;?f2(1)?1,f2(2)?1;f3(1)?2,f3(2)?2;f3f3f4(1)?2,f4(2)?1
f1f1f2f2f4f4f1f2f3f2f3f2f3f2f3f2f3f4四、證明42%
1、(8分)證明:
f3f3f2f1f1為AA中的幺元,f1和f4有逆元。
[幺]?a?R,0*a?0?a?0?a?a,a*0?a?0?a?0
即0*a?a*0?a?0為幺元
[乘]?a,b?R,由于+,·在R封閉。所以a*b?a?b?a?b?R即*在R上封閉。[群]?a,b,c?R
(a*b)*c?(a?b?a?b)*c?a?b?a?b?c?(a?b?a?b)?c?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?ca*(b*c)?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?c所以(a*b)*c?a*(b*c)因此,〈R,*〉是獨(dú)異點(diǎn)。2、(10分)
證明:(1)?d?GCD(n,k),設(shè)n?d?n1,k?d?k1
?e?ank1?adn1k1?akn1?bn1
(2)若b的階不為n1,則b階m的同態(tài)映射。
4、(8分)
證明:反證法:假使是整環(huán),且|A|≥3,則?a?A,a??,a?1且a?a?a即有a??,a?1??且a?(a?1)?a?a?a?a?a??,這與整環(huán)中無(wú)零因子矛盾。
所以不可能是整環(huán)。5、(10分)
(1)代數(shù)系統(tǒng)是由格
誘導(dǎo)的,其Hasst圖為
Hass圖中不存在與五元素格同構(gòu)的子格。
所以格是分派格。(2)?x?K,?x??100/x使得:LCM(x,x?)?110,GCD(x,x?)?1
如:22??11022?5,LCM(22,5)?110,GCD(22,5)?1即任元素都有補(bǔ)元,所以有補(bǔ)格。
是布爾代數(shù)。
五、布爾表達(dá)式10%
解:函數(shù)表為:x1x2x3E(x1,x2,x3)00000011010
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