平穩(wěn)性與功率譜密度

平穩(wěn)性與功率譜密度第1頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四問題平穩(wěn)和非平穩(wěn)的含義是什么？現(xiàn)實生活中哪些是平穩(wěn)信號或非平穩(wěn)信號？嚴(yán)格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)（或?qū)捚椒€(wěn)）有什么關(guān)系？嚴(yán)格平穩(wěn)與嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)有什么關(guān)系？2023/4/72第2頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四目錄3.1平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性3.2循環(huán)平穩(wěn)性3.3平穩(wěn)信號的相關(guān)函數(shù)3.4功率譜密度與互功率譜密度3.5白噪聲與熱噪聲3.6應(yīng)用舉例2023/4/73第3頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3.1平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性

平穩(wěn)性（Stationarity）:隨機信號的主要（或全部）統(tǒng)計特性對于參量t保持不變的特性。包括嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)。嚴(yán)平穩(wěn)又稱為狹義平穩(wěn)或強平穩(wěn)，寬平穩(wěn)又稱為廣義平穩(wěn)或弱平穩(wěn)。2023/4/74第4頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四嚴(yán)格平穩(wěn)信號的定義2023/4/75第5頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四嚴(yán)格平穩(wěn)信號的理解一個隨機信號X(t)，如果它的n維概率密度（或n維分布函數(shù)）不隨時間起點選擇的不同而改變，則該隨機信號為平穩(wěn)的平穩(wěn)信號的統(tǒng)計特性與所選取的時間起點無關(guān)，或者說平穩(wěn)信號的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化2023/4/76第6頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四廣義平穩(wěn)信號的定義2023/4/77第7頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四非平穩(wěn)信號不是廣義平穩(wěn)的信號統(tǒng)計量隨時間變化的信號（時變信號）2023/4/78第8頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四平穩(wěn)信號和非平穩(wěn)信號舉例接收機噪聲信號：如果產(chǎn)生隨機信號的主要物理條件在時間進程中不變化，則此信號認(rèn)為是平穩(wěn)的。例如，一個工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的接收機，其內(nèi)部噪聲可以認(rèn)為是隨機平穩(wěn)信號。但當(dāng)剛接上電源，該接收機工作在過渡狀態(tài)下或環(huán)境溫度未達到恒定時，此時的內(nèi)部噪聲則是非平穩(wěn)隨機信號。語音信號：語音信號本身是非平穩(wěn)信號，但在10-30ms時段內(nèi)可以看成是短時平穩(wěn)的，便于用平穩(wěn)信號的分析方法去處理問題。將隨機信號劃分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)有重要的實際意義，若是平穩(wěn)的，可簡化分析。例如，測量電阻熱噪聲的統(tǒng)計特性，由于是平穩(wěn)的，在任何時間測試都可以得到相同的結(jié)果。2023/4/79第9頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四語音信號接收機噪聲信號2023/4/710第10頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四嚴(yán)格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)的關(guān)系

如果廣義平穩(wěn)信號是高斯信號，則也是嚴(yán)格平穩(wěn)信號。獨立同分布的信號必定是嚴(yán)格平穩(wěn)信號。關(guān)于離散隨機信號（或離散序列）的平穩(wěn)性問題，只需要將連續(xù)時間變量t換為離散時間n即可。嚴(yán)格平穩(wěn)要求全部統(tǒng)計特性都具有移動不變性，而廣義平穩(wěn)只要求一、二階矩特性具有移動不變性。2023/4/711第11頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四嚴(yán)格平穩(wěn)信號的性質(zhì)（1）X(t)的一階分布、密度函數(shù)和均值都與時間無關(guān)

F(x;t)=F(x;t+u)=F(x)

f(x;t)=f(x;t+u)=f(x)E[X(t)]=m(t)=m(t+u)=常數(shù)（2）X(t)的二維分布和密度函數(shù)與兩個時刻(t1,t2)的絕對位置無關(guān)，只與它們的相對差τ=t1-t2有關(guān)

F(x1,x2;t1,t2)=F(x1,x2;t1+u,t2+u)=F(x1,x2;τ,0)=F(x1,x2;τ)

f(x1,x2;t1,t2)=f(x1,x2;t1+u,t2+u)=f(x1,x2;τ,0)=f(x1,x2;τ)R(t1,t2)=R(t1+u,t2+u)=R(τ,0)=R(τ)只關(guān)注兩個參量(t1,t2)的相對差，而絕對位置可以任意移動，其中τ=t1-t2為核心變量，有文獻稱為時滯。2023/4/712第12頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四一階密度函數(shù)平穩(wěn)性示例相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)性示例2023/4/713第13頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四證明：如果高斯信號X(t)是廣義平穩(wěn)的，則其均值為常數(shù)m，協(xié)方差滿足平移不變性，即C(s,t)=C(s+τ,t+τ)。高斯信號的特征函數(shù)為對于任何τ

，有故該信號是嚴(yán)格平穩(wěn)的。定理3.1廣義平穩(wěn)的高斯信號必定是嚴(yán)格平穩(wěn)的。2023/4/714第14頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四解：由獨立性，有上式與各個參量ti本身無關(guān)，也與這組參量的平移無關(guān)，故U(t)是嚴(yán)格平穩(wěn)信號。2023/4/715第15頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四解：根據(jù)各個信號的均值、相關(guān)函數(shù)及概率特性，容易得出：(1)伯努利信號是嚴(yán)格平穩(wěn)信號，也是廣義平穩(wěn)信號；(2)隨機正弦信號（該例條件下）是廣義平穩(wěn)信號；(3)半隨機二進制傳輸信號與泊松信號是非平穩(wěn)的。例3.2試說明2.2節(jié)各例的平穩(wěn)性。2023/4/716第16頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/717第17頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四解：Y(t)的均值和相關(guān)函數(shù)分別為：由于Y(t)的均值為零，相關(guān)函數(shù)僅與τ有關(guān)，故Y(t)是廣義平穩(wěn)的。2023/4/718第18頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四補充例1設(shè)隨機過程X(t)=At，A為均勻分布于[0,1]上的隨機變量，試問X(t)是否平穩(wěn)？解：因為其中a為隨機變量A的樣本,可見不是平穩(wěn)的。2023/4/719第19頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四補充例2解：因為設(shè)隨機變量Z(t)=Xcost+Ysint,-∞<t<∞，其中X和Y為相互獨立的隨機變量，且分別以概率2/3和1/3取值-1和2。討論隨機過程X(t)的平穩(wěn)性。式中τ=t1-t2，可見Z(t)是廣義平穩(wěn)過程。2023/4/720第20頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四又因為即Z(t)的三階矩與時間t有關(guān)，故Z(t)不是嚴(yán)格平穩(wěn)過程。2023/4/721第21頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四補充例3解：X(k)的數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)分別為：顯然X(k)為廣義平穩(wěn)。2023/4/722第22頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四又因為X(k)在各個時刻的分布相同且相互獨立，故其n維密度函數(shù)為：上式說明X(k)的n維概率密度與時間平移（按整數(shù)間隔平移）無關(guān)，所以X(t)也是狹義平穩(wěn)的。2023/4/723第23頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四聯(lián)合平穩(wěn)性

2023/4/724第24頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四解：因為故輸入與輸出信號是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的，并且正交。注意：如果振蕩不是隨機相位，則輸出信號可能不是平穩(wěn)的，輸入與輸出信號不會正交，也不會聯(lián)合廣義平穩(wěn)。2023/4/725第25頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3.2循環(huán)平穩(wěn)性

2023/4/726第26頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/727第27頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四平穩(wěn)性與循環(huán)平穩(wěn)性的關(guān)系

嚴(yán)格平穩(wěn)過程可以看作嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過程，其循環(huán)周期可以是任意值；嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過程通過其在循環(huán)周期內(nèi)均勻滑動后，變?yōu)閲?yán)格平穩(wěn)過程。2023/4/728第28頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四解：（1）故X(t)是廣義循環(huán)平穩(wěn)過程，但不是廣義平穩(wěn)過程。例3.5半隨機二進制傳輸過程X(t)，討論其循環(huán)平穩(wěn)性。半隨機二進制傳輸信號：{X(t)=2Xn-1,(n-1)T≤t≤nT,t≥0},X(t)的均值m(t)=p-q為常數(shù)。其相關(guān)函數(shù)為R(t1+kT,t2+kT)=4pqδ([(t1+kT)/T]-[(t2+kT)/T])+1-4pq=4pqδ([t1/T]-[t2/T])+(k-k)+1-4pq=R(t1,t2)2023/4/729第29頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四（2）由于不同時隙上的取值彼此統(tǒng)計獨立并具有相同的分布，該聯(lián)合事件的概率取決于觀察時刻之間的相對關(guān)系。任取觀察時刻組t1,t2,…,tn∈(-∞,∞)和周期T，t1＋T,t2＋T,…,tn＋T∈(-∞,∞)，有故X(t)是嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過程。2023/4/730第30頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四乘法調(diào)制器理想乘法調(diào)制器模型為：實際乘法調(diào)制器模型為：D與X(t)統(tǒng)計獨立，且在[0,2π/w0)上均勻分布2023/4/731第31頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/732第32頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四解：Y(t)的均值與相關(guān)函數(shù)為：mY(t)的周期是2π/w0，RY(t+τ,t)的周期是π/w0，因此Y(t)是廣義循環(huán)平穩(wěn)信號，周期為2π/w0。2023/4/733第33頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四Y(t)經(jīng)過[0,2π/w0]上均勻的隨機滑動D以后得到Z(t)，Z(t)=Y(t-D)，由定理3.3知道，Z(t)是廣義平穩(wěn)的。2023/4/734第34頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3.3平穩(wěn)信號的相關(guān)函數(shù)

性質(zhì)1若{X(t),t∈T}是實平穩(wěn)信號，則相關(guān)函數(shù)滿足：（1）實偶函數(shù)，即R(τ)=R(-τ)；（2）在原點處非負(fù)并達到最大，即|R(τ)|≤R(0),R(0)=E[X2(t)]≥0；（3）若R(τ1)=R(0)，τ1≠0，則R(τ)是周期為τ1的周期函數(shù)，這時稱X(t)為周期平穩(wěn)信號；（4）若R(τ1)=R(τ2)=R(0)，τ1≠0，τ2≠0，且τ1與τ2是不公約的，則R(τ)為常數(shù)；（5）若R(τ)在原點處連續(xù)，則它處處連續(xù)。2023/4/735第35頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四（1）R(τ)是實偶函數(shù)，即R(τ)=R(-τ)；證明：奇偶性2023/4/736第36頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四（2）在原點處非負(fù)并達到最大，即|R(τ)|≤R(0),R(0)=E[X2(t)]≥0；證明：令τ=t1-t2,由柯西-施瓦茲不等式，非負(fù)性2023/4/737第37頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四（3）若R(τ1)=R(0)，τ1≠0，則R(τ)是周期為τ1的周期函數(shù)，這時稱X(t)為周期平穩(wěn)信號；證明：令Z=X(t+τ+τ1)-X(t+τ),W=X(t)經(jīng)過化簡，得到周期性當(dāng)R(τ1)=R(0)時，有R(τ+τ1)=R(τ)。因此R(τ)以τ1為周期。2023/4/738第38頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四（4）若R(τ1)=R(τ2)=R(0)，τ1≠0，τ2≠0，且τ1與τ2是不公約的，則R(τ)為常數(shù)；證明：R(τ)既以τ1為周期，又以τ2為周期，而τ1與τ2是不公約的，因此R(τ)只能是常數(shù)。R(τ)為常數(shù)2023/4/739第39頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四連續(xù)性（5）若R(τ)在原點處連續(xù)，則它處處連續(xù)。證明：令τ1＝Δτ，若R(τ)在原點處連續(xù)，則R(0)有界，并且根據(jù)極限性質(zhì)，2023/4/740第40頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)曲線02023/4/741第41頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/742第42頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四補充例4

設(shè)為一實隨機過程的自相關(guān)函數(shù)。證明若對應(yīng)于某一個，有，則必為周期性的。2023/4/743第43頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四證明：

根據(jù)切比雪夫不等式,可得：2023/4/744第44頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)概率的定義有：故有：即：2023/4/745第45頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四于是得到為周期過程，為周期。并且進一步有：因此證明是以為周期的周期函數(shù)。2023/4/746第46頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四性質(zhì)2若{X(t),t∈T}是平穩(wěn)信號，則

C(τ)=R(τ)-m2,σ2=R(0)-m2性質(zhì)3若{X(t),t∈T}與{Y(t),t∈T}是聯(lián)合平穩(wěn)信號，則

RXY(-τ)=RYX(τ),CXY(τ)=RXY(τ)-mXmY2023/4/747第47頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四①若信號X(t)中含有平均分量（均值），則R(τ)將含有固定分量。R(τ)=C(τ)+m2說明了這點。②若信號X(t)含有周期分量，則R(τ)將含有同樣周期的周期分量。周期特性說明如下：③若信號X(t)中不含有任何周期分量，則隨機變量X(t1)與X(t2)的關(guān)聯(lián)程度會隨著間距的增大而逐漸減小,直至無關(guān)。“信號依均方意義（依概率1）呈周期性”的充要條件是“R(τ)是周期函數(shù)”，這種信號稱為周期平穩(wěn)信號。2023/4/748第48頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四④使用ρ(τ)與ρXY(τ)表示關(guān)聯(lián)性，|ρ(τ)|≤

ρ(0)=1定義相關(guān)時間τ0，使得τ≥τ0以后，|ρ(τ)|≤

ρ0，其中ρ0通常定為0.05。有時用矩形等效形式來定義相關(guān)時間。2023/4/749第49頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四性質(zhì)4實際應(yīng)用中的非周期平穩(wěn)信號，一般都滿足

等價于2023/4/750第50頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四解：信號X(t)常被視為兩個平穩(wěn)信號U(t)和V(t)之和，U(t)和V(t)的自相關(guān)函數(shù)分別為：RU(τ)=100e-10|τ|+100,RV(τ)=100cos10τU(t)是X(t)的非周期分量。例3.7工程應(yīng)用中某一平穩(wěn)信號X(t)的自相關(guān)函數(shù)為：RX(τ)=100e-10|τ|+100cosτ+100。試估計其均值、均方值和方差。2023/4/751第51頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四V(t)是周期分量，可以認(rèn)為此分量的均值mV=0。故所以X(t)的均值為±10，均方值為300，方差為200。2023/4/752第52頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

3.4功率譜密度與互功率譜密度

信號的能量與功率：物理意義：電路中的電流或電壓信號，在單位電阻（1歐姆）上消耗的能量或功率。2023/4/753第53頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四信號有兩種類型：（1）能量型信號：能量有限，功率為0；（2）功率型信號：功率有限，能量為無窮?？疾煨盘柕哪芰炕蚬β恃豾軸的密度狀況，即，考慮給定頻率處，單位帶寬上所具有的能量或功率，對應(yīng)于能量譜密度和功率譜密度。信號的兩種類型2023/4/754第54頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四能量譜密度和功率譜密度能量型信號：能量譜密度為|X(jw)|2，物理意義：表示能量沿頻率軸的密度函數(shù)。功率型信號：功率譜密度為XT(jw)是截斷信號XT(t)的傅立葉變換。2023/4/755第55頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四頻譜密度、能量譜密度及功率譜密度的關(guān)系頻譜密度：頻譜密度簡稱頻譜，等于信號的Fourier變換，表示各頻率分量的相對大小。為了方便比較不同頻點頻譜的相對大小，引入頻譜密度的概念。能量譜密度：對于能量有限的信號，某頻點處的單位頻帶中的信號能量稱為能量譜密度，它在全頻帶的積分等于信號能量。能量譜密度為信號傅里葉變換X(jw)的模的平方。功率譜密度：對于功率有限的信號，某頻點處的單位頻帶中信號的功率稱為功率譜密度，它在全頻帶的積分等于信號的功率。功率譜密度由信號自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換求得。2023/4/756第56頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四物理意義：表示功率沿w軸的密度狀況，其總和是總功率。功率的時域和頻域積分形式2023/4/757第57頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四對于隨機信號，其功率可先考慮某個樣本函數(shù)，再進行統(tǒng)計平均。因為隨機信號幾乎總是功率型的，因此，只考慮功率與功率譜密度。2023/4/758第58頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四考慮樣本函數(shù)X(t,ξ)，定義樣本功率和樣本功率譜。它們都是隨機的，顯然如果X(t)是平穩(wěn)信號，則P=E[X2(t)]=R(0)2023/4/759第59頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四定理3.4維納－辛欽（Wiener-Khintchine）定理平穩(wěn)隨機信號的功率譜密度S(w)是其自相關(guān)函數(shù)R(τ)的傅里葉變換。2023/4/760第60頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/761第61頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四解：X(t)的均值為0，相關(guān)函數(shù)為故X(t)為廣義平穩(wěn)信號，功率譜為：由功率譜知，它是正的實偶函數(shù)，信號的全部功率集中在w0處。例3.8設(shè)正弦信號X(t)=Acos(w0t+Θ)，求它的功率譜。假設(shè)A與Θ獨立，Θ在[0,2π)均勻分布，且E[A2]=2σ2。2023/4/762第62頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四與確定信號不同的是，隨機信號的頻域分析主要是考察它的功率譜，而非信號譜。2023/4/763第63頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四相位的不確定性，使X(t)的傅里葉變換是隨機的。其統(tǒng)計平均為0，互相關(guān)函數(shù)為(1/2)cosw0τ,故X(t)是廣義平穩(wěn)的，其功率譜密度為雖損失了相位特性，但有效給出了信號成分的分布。平穩(wěn)隨機信號的傅里葉變換是隨機的譜函數(shù)，但是功率譜密度是一個確定的譜函數(shù)。通過功率譜可以更加明確地說明隨機信號各頻率成分的含量。2023/4/764第64頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四解：首先進行分解利用公式均方值為R(0)=7/24。自相關(guān)函數(shù)為：例3.9已知平穩(wěn)隨機信號X(t)的功率譜S(w)=(w2+4)/(w4+10w2+9)，求其自相關(guān)函數(shù)與均方值。2023/4/765第65頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四性質(zhì)1平穩(wěn)信號的功率譜總是正的實偶函數(shù)，即SX(-w)=SX(w)>0。分析下面兩式是否是功率譜的表達式。由于上式可能為虛數(shù)，不是正確的功率譜表達式。又如，1-e[-(w-1)2]可能為負(fù)數(shù)，也不是偶函數(shù)，因此也不是正確的功率譜表達式。2023/4/766第66頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四RX(τ)與SX(w)都是實偶函數(shù)，只需關(guān)心ejwτ的實部，相關(guān)函數(shù)和功率譜的關(guān)系可以表示為：2023/4/767第67頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四鑒于偶函數(shù)的特點，應(yīng)用中經(jīng)常使用單邊功率譜，表示為：2023/4/768第68頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四互功率譜密度互功率譜通常是復(fù)函數(shù)，反映了兩個信號的關(guān)聯(lián)性沿w軸的密度狀況。2023/4/769第69頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四（1)兩種互功率譜的實部相同，而虛部反號；（2)實信號的互相關(guān)函數(shù)為實函數(shù)，因此，互功率譜的實部都是偶函數(shù)，虛部都是奇函數(shù)。

性質(zhì)2互功率譜具有對稱性。2023/4/770第70頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四解：由于X(t)與Z(t)獨立，且Z(t)是零均值的，因此它們正交。例3.10討論（加性）單頻干擾。若實平穩(wěn)信號X(t)受到加性的獨立隨機正弦分量Z(t)=Acos(w0t+Θ)的干擾。已知A,w0為常數(shù)，Θ是在[0,2π)上均勻分布的隨機變量。求（1）受擾后信號Y(t)的相關(guān)函數(shù)；（2）信號X(t)與Y(t)是否聯(lián)合平穩(wěn)？若是，進一步求功率譜SY(w)與互功率譜SXY(w)。2023/4/771第71頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四對于Y(t)=X(t)+Z(t),E[Y(t)]=mX正交項使得交叉項為0故X(t)和Y(t)為聯(lián)合平穩(wěn)信號。2023/4/772第72頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四通過傅里葉變換得到從Y(t)的功率譜中可以看到單頻干擾成分w0。2023/4/773第73頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3.5白噪聲與熱噪聲

2023/4/774第74頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四白噪聲通常均值為零，因此C(τ)=R(τ)。相關(guān)系數(shù)為：白噪聲有時也通俗地稱為“純隨機的”：（1）無限帶寬的理想隨機信號（2）功率（即方差）為無窮大（3）而不同時刻上彼此不相關(guān)2023/4/775第75頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四若白噪聲的每個隨機變量都服從高斯分布，則稱其為高斯白噪聲（信號）（WGN,WhiteGaussianNoise）。它是無關(guān)信號，也是獨立信號，代表信號“隨機性”的一種極限。如果平穩(wěn)序列對所有m滿足或者則該序列是白噪聲序列。高斯白噪聲序列是獨立序列。2023/4/776第76頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四例3.11若N(n)是方差為σ2的零均值高斯白噪聲序列，試求：（1）它的相關(guān)函數(shù)R[n1,n2]與協(xié)方差函數(shù)C[n1,n2]；（2）它的n維概率密度函數(shù)。解：相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)為因為N(n)是獨立同分布的，其n維概率密度函數(shù)為2023/4/777第77頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3.6應(yīng)用舉例

解：由歐拉公式，有當(dāng)且僅當(dāng)ΦΘ(1)=0時，E[X(t)]=0(常數(shù))。例3.13討論隨機相位正弦信號的廣義平穩(wěn)條件。正弦隨機信號X(t)=Acos(w0t+Θ)，其中隨機變量A的均值為mA，方差為σA2，Θ的特征函數(shù)為Φθ(v)，Θ與A統(tǒng)計獨立。討論X(t)的廣義平穩(wěn)性。2023/4/778第78頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)且僅當(dāng)ΦΘ(2)=0時，上式為0。2023/4/779第79頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四隨機相位正弦信號廣義平穩(wěn)的充要條件是：此時當(dāng)有2023/4/7