《數(shù)學(xué)分析》（華師大二版）課本上的習(xí)題7

本文格式為Word版，下載可任意編輯——《數(shù)學(xué)分析》（華師大二版）課本上的習(xí)題7P.168習(xí)題

1．驗(yàn)證數(shù)集S??(?1)n???1??有且只有兩個(gè)聚點(diǎn)?1??1和?2?1n???1????1,(k??)，所2k?1???1???1,(k??)，2k?解當(dāng)n取奇數(shù)n?2k?1時(shí)，S中的互異子列??1?以?1??1是S的聚點(diǎn)；當(dāng)n取偶數(shù)n?2k時(shí)，S中的互異子列?1?所以?2?1是S的聚點(diǎn).

設(shè)實(shí)數(shù)a??1，a?1.取?0?11??min{|a?1|,|a?1|}，由于子列??1??和22k?1??子列?1???1?1???及子?的極限都不是a，所以在鄰域U(a;?0)內(nèi)最多只有子列??1?2k?1?2k??列?1???1?1??n中的有限多項(xiàng)，從而只有數(shù)集S?(?1)????中的有限多項(xiàng)，所以a不是數(shù)2k?n??集S的聚點(diǎn).

2．證明：任何有限數(shù)集都沒有聚點(diǎn).

證明設(shè)有限數(shù)集S.由聚點(diǎn)?的定義，在?的任何鄰域內(nèi)都含有S中無窮多個(gè)點(diǎn)，而S只有有限個(gè)點(diǎn)，所以S沒有聚點(diǎn).

3．設(shè)?(an,bn)?是一個(gè)嚴(yán)格開區(qū)間套，即滿足a1?a2???an?bn???b2?b1且lim(bn?an)?0.證明：存在唯一的一點(diǎn)?，使得an???bn,n?1,2,?

n??證明?an?為嚴(yán)格遞增有界數(shù)列，故?an?有極限?，且有an??，n?1,2,?.其中等號(hào)不能成立，不然，若有an??，由于?an?嚴(yán)格遞增，必有an?1?an??，矛盾.故

an??，n?1,2,?.同理，嚴(yán)格遞減有界數(shù)列?bn?也有極限，且

limbn?liman??，an???bn，n?1,2,?.

n??n??唯一性的證明與教材P.162區(qū)間套定理7.1一致.

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4．試舉例說明：在有理數(shù)集內(nèi)，確界原理、單調(diào)有界定理、聚點(diǎn)定理和柯西收斂準(zhǔn)則一般都不成立.

解設(shè)an?(1?1n1)，bn?(1?)n?1，n?1,2,?，則?an?是單調(diào)遞增的有理數(shù)列，nn?liman?e（無理數(shù)）

n??bn?bn?是單調(diào)遞減的有理數(shù)列，且limn??（1）點(diǎn)集?an|n?1,2,??非空有上界，但在有理數(shù)集內(nèi)無上確界；點(diǎn)集

?bn|n?1,2,??非空有下界，但在有理數(shù)集內(nèi)無下確界.

（2）數(shù)列?an?單調(diào)遞增有上界，但在有理數(shù)集內(nèi)無極限；?bn?單調(diào)遞減有下界，但在有理數(shù)集內(nèi)無極限.

（3）?an|n?1,2,??是有界無限點(diǎn)集，但在有理數(shù)集內(nèi)無聚點(diǎn).（4）數(shù)列?an?滿足柯西收斂準(zhǔn)則條件，但在有理數(shù)集內(nèi)沒有極限.

（5）?[an,bn]?是一閉區(qū)間套，但在有理數(shù)集內(nèi)不存在一點(diǎn)?，使得??[an,bn]，

n?1,2,?

5．設(shè)H?{(11,)|n?1,2,?}.問n?2n（1）H能否覆蓋（0,1）？

（2）能否從H中選出有限個(gè)開區(qū)間覆蓋(i)(0,12)，(ii)(1100,1)？解（1）H能覆蓋（0,1）.由于對(duì)任何x?(0,1)，必有自然數(shù)n，使得

11?x?n?2n（2）不能從H中選出有限個(gè)開區(qū)間覆蓋(0,12).因?qū)中任意有限個(gè)開區(qū)間，設(shè)其

左端點(diǎn)最小的為

11，則當(dāng)0?x?時(shí)，這有限個(gè)開區(qū)間就不能覆蓋x.

n0?2n0?211,)，n?1,2,?99n?2n能從H中選出有限個(gè)開區(qū)間覆蓋(1100,1).例如選區(qū)間：(即可.

6．證明：閉區(qū)間[a,b]的全體聚點(diǎn)的集合是[a,b]本身.

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證明設(shè)x?[a,b]，則對(duì)任何??0，Uo(x;?)?[a,b]??，故x為[a,b]的聚點(diǎn).反之，若x為[a,b]的聚點(diǎn)，則必有x?[a,b].事實(shí)上，若x?[a,b]，則x?a或x?b.不妨設(shè)x?a，取??a?x，那么U(x;?)?[a,b]??，這與x為[a,b]的聚點(diǎn)矛盾.27．設(shè)?xn?為單調(diào)數(shù)列.證明：若?xn?存在聚點(diǎn)，則必是唯一的，且為?xn?的確界.證明設(shè)?xn?為單調(diào)增加數(shù)列，?為?xn?的聚點(diǎn).先證?是唯一的.假設(shè)?也是?xn?的聚點(diǎn)，不妨設(shè)???.取?????2，由聚點(diǎn)的定義，在?的鄰域U(?;?)內(nèi)有?xn?中無窮

多個(gè)點(diǎn)，設(shè)xN?U(?;?).由于?xn?為單調(diào)增加數(shù)列，所以當(dāng)n?N時(shí)，xn?xN.于是在?的鄰域U(?;?)內(nèi)最多只有?xn?中有限多個(gè)點(diǎn)：x1,x2,?,xN?1.這與?為?xn?的聚點(diǎn)相矛盾.故?為?xn?的唯一聚點(diǎn).

其次證明：?為?xn?的上確界.先證?是?xn?的一個(gè)上界.假設(shè)?不是?xn?的一個(gè)上界，于是存在xN??.這時(shí)取??xN??，則在?的鄰域U(?;?)內(nèi)最多只有?xn?中有限多個(gè)點(diǎn)：x1,x2,?,xN?1，這與?為?xn?的聚點(diǎn)相矛盾.然后證明：?是?xn?的最小上界.???0，在?的鄰域U(?;?)內(nèi)有?xn?中無限多個(gè)點(diǎn)，設(shè)xN?U(?;?)，從而

xN????.所以??sup{xn}.

8．試用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理.

證明設(shè)S為實(shí)軸上有界無限點(diǎn)集，則存在M?0，使S?[?M,M].假若

[?M,M]中任何點(diǎn)都不是S的聚點(diǎn)，則?x?[?M,M]，必存在相應(yīng)的?x?0，使得在

則H是[?M,M]U(x,?x)內(nèi)最多只含S的有限個(gè)點(diǎn).設(shè)H?{U(x,?x)|x?[?M,M]}，

的一個(gè)開覆蓋，由有限覆蓋定理，H中存在有限個(gè)開區(qū)間：U(xj,?xj)，j?1,2,?,n，覆蓋了[?M,M]，當(dāng)然也覆蓋了S，由于在每一個(gè)U(xj,?xj)內(nèi)最多只含S的有限個(gè)點(diǎn)，

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故S為有限點(diǎn)集，這與S為無限點(diǎn)集矛盾.所以[?M,M]中必有S的聚點(diǎn).

9．試用聚點(diǎn)定理證明柯西收斂準(zhǔn)則.

?N?0，證明只證充分性：設(shè)???0，要證數(shù)列{an}?m,n?N，|am?an|??，

收斂.

先證數(shù)列{an}有界.取??1，存在N?0，當(dāng)n?N時(shí)，有|an?aN?1|?1，于是

|an|?|aN?1|?1.令M?max{|a1|,|a2|,?,|aN|,|aN|?1}，則|an|?M，

n?1,2,?，所以數(shù)列{an}有界.

其次證明數(shù)列{an}有收斂的子列.若集S?{an|n?1,2,?}是有限集，則數(shù)列{an}有常數(shù)子列，當(dāng)然收斂.若集S是無限集，并且已經(jīng)證明白S是有界的，故由聚點(diǎn)定理，知

S有聚點(diǎn)，設(shè)S的聚點(diǎn)為?.再由聚點(diǎn)定義2’’（見教材P.163），存在互異的收斂數(shù)列

{ank}?{an}，使得limank??.

k??最終證明：liman??.由題設(shè)???0，?N1?0，?m,n?N1，|am?an|??.再

n??由limank??,知?N2?0,?k?N2,|ank??|??.現(xiàn)在，取N?max{N1,N2},當(dāng)

k??n?N時(shí)，有（任取k?N）,|an??|?|an?ank|?|ank??|?????2?.

所以liman??

n??P.172習(xí)題

1．設(shè)f為R上連續(xù)的周期函數(shù).證明：f在R上有最大值與最小值.

證明設(shè)f的周期為T，則f在[0,T]上連續(xù)，于是f在[0,T]上有最大值與最小值.又由于f為R上連續(xù)的周期函數(shù)，所以f在R上有最大值與最小值.

2．設(shè)I為有限區(qū)間.證明：若f在I上一致連續(xù)，則f在I上有界.舉例說明此結(jié)論當(dāng)I為無限區(qū)間時(shí)不一定成立.

證設(shè)區(qū)間I的左右端點(diǎn)分別為a,b，因f在I上一致連續(xù)，所以對(duì)??1，存在??0

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（??b?a），使得當(dāng)x?,x???I，且|x??x??|??時(shí)，有|f(x?)?f(x??)|?1.令2a1?a??2，b1?b??2，則f在[a1,b1]上連續(xù)，于是f在[a1,b1]上有界，即存在

M1?0，使得在[a1,b1]上|f(x)|?M1.

另一方面，當(dāng)x?[a,a1)?I時(shí)，有|x?a1|??，于是|f(x)?f(a1)|?1，

|f(x)|?|f(a1)|?1；同樣當(dāng)x?(b1,b]?I時(shí)，有|f(x)|?|f(b1)|?1.

令M?max{M1,|f(a1)|?1,|f(b1)|?1}，則對(duì)任何x?I，都有|f(x)|?M.設(shè)f(x)?x，則f在(??,??)上一致連續(xù)，但f在(??,??)上無界.

sinx在(0,??)上一致連續(xù).xsinx?1，所以???0，??1?0，當(dāng)0?x??1時(shí)，有證明由于limx?0?xsinx?|?1|?.①x2sinx?0，所以?N?0，當(dāng)x?N時(shí)，有又由于limx???xsinx?||?.②x2sinx令a??12，b?N??12，顯然在[a,b]連續(xù)，于是在[a,b]一致連續(xù)，從

x3．證明：f(x)?而??2?0，當(dāng)x?,x???[a,b]且|x??x??|??2時(shí)，有

|sinx?sinx???|??.③x?x???12,?2}，當(dāng)