《數(shù)學(xué)廣角數(shù)與形》教材分析

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數(shù)形結(jié)合是一種十分重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題，可以使繁雜的問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，使抽象的問(wèn)題變得更直觀。

數(shù)與形相結(jié)合的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教材與教學(xué)中隨處可見。有些狀況下，是圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來(lái)解決圖形的問(wèn)題。本單元的例1以及相關(guān)練習(xí)就屬于這種狀況。例如，第109頁(yè)第2題（如下圖），使學(xué)生通過(guò)觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)第2個(gè)圖比第1個(gè)圖增加2個(gè)小圓，第3個(gè)圖比第2個(gè)圖增加3個(gè)小圓，第4個(gè)圖比第3個(gè)圖增加4個(gè)小圓??這樣依次下去，各個(gè)圖形中的小圓個(gè)數(shù)分別是1，3，6，10，?，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，?假使是第個(gè)圖，小圓的個(gè)數(shù)是

。等學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，就

知道第個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)是。

而有些狀況下，是利用圖形來(lái)直觀地解釋一些比較抽象的數(shù)學(xué)原理與事實(shí)，讓人一目了然。特別是對(duì)于小學(xué)生，其思維的抽象程度還不夠高，經(jīng)常需要借助直觀模型來(lái)幫助理解。例如，利用長(zhǎng)方形模型來(lái)教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法的算理，利用線段圖來(lái)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理，利用面積模型來(lái)解釋兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理、乘法分派律、完全平方公式等。

還有的時(shí)候，數(shù)與形密不可分，可用“數(shù)〞來(lái)解決“形〞的問(wèn)題，也可用“形〞來(lái)解決“數(shù)〞的問(wèn)題。例如，解析幾何中，函數(shù)圖象與方程、方程組互為工具，互為解釋，有機(jī)融合。小學(xué)中的正比例關(guān)系和反比例關(guān)系圖象也很好地反映了這樣的思想。

本單元教材以“

〞“

〞

為例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)利用數(shù)和形的結(jié)合解決一些好玩兒的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、與試驗(yàn)教材（《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)》，下同）的主要區(qū)別新教材把《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)》上冊(cè)的“雞兔同籠〞問(wèn)題移至四年級(jí)下冊(cè)，新編“數(shù)形結(jié)合〞的內(nèi)容。本冊(cè)的數(shù)學(xué)廣角，編排了一個(gè)新的內(nèi)容──數(shù)與形。

二、教材例題分析

例1：連續(xù)奇數(shù)的等差數(shù)列之和等于某平方數(shù)。

本例讓學(xué)生計(jì)算從1開始的連續(xù)若干奇數(shù)之和。在計(jì)算時(shí)，即使不借助圖形，也可以通過(guò)

，

，

?發(fā)現(xiàn)規(guī)律：從1開始，連續(xù)個(gè)奇數(shù)之和，就

是的平方。但把圖形與算式對(duì)應(yīng)起來(lái)，更具直觀性，更能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。圖中有的規(guī)律顯而易見（每個(gè)圖都是一個(gè)大的正方形，第個(gè)圖形中，大正方形的每行、每列都有個(gè)小正方形，因此，小正方形的總數(shù)是

）,有的規(guī)律相對(duì)比較隱蔽(從左下角到右上角，

每個(gè)“┓〞形的小正方形的個(gè)數(shù)分別是1，3，5，7，?)。每個(gè)圖中都“隱蔽〞著一個(gè)等式，如第個(gè)圖中的等式就是

。從圖形的角度直觀理解“正方形

數(shù)〞或“平方數(shù)〞的特點(diǎn)，顯然，使學(xué)生通過(guò)數(shù)與形的對(duì)照，利用圖形直觀形象的特點(diǎn)得到關(guān)于數(shù)的規(guī)律。

例2：等比數(shù)列之和等于1。

本例讓學(xué)生計(jì)算的得數(shù)。學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)

，，，?

加數(shù)有規(guī)律，即后一個(gè)加數(shù)是前一個(gè)加數(shù)的；和也有規(guī)律，每次相加所得的和都等

于1減去最終一個(gè)加數(shù)；加數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，和越接近1。

這些加數(shù)無(wú)限地加下去，最終的和無(wú)限接近于1。但這個(gè)無(wú)限接近于1的數(shù)終究是多少呢？教材利用“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)〞中的面積模型和長(zhǎng)度模型，在圓上和線段上表示出這些加數(shù)，使學(xué)生借助圖理解：無(wú)限加下去，最終的得數(shù)為1。由此，教材借助圖形解決了比較抽象的、繁雜的、不好解決的問(wèn)題。

但在實(shí)際教學(xué)中，即使有了圖形的直觀支持，仍有學(xué)生對(duì)最終結(jié)果為1這一事實(shí)不能理

解，這也是十分正常的?？梢杂袃煞N解釋的方法：第一種，假使學(xué)生認(rèn)為和為，教師

可以追問(wèn)：假使再加上一項(xiàng)呢？加上，和就變成了。不管找到一個(gè)多么接近1的

數(shù)，總還能再加一項(xiàng)，得到一個(gè)比它更接近1的和，這恰恰是極限思想的精華所在。其次種，可以利用反推的方法來(lái)使學(xué)生明白其中的道理：

??

本單元的教學(xué)重點(diǎn)是自主