概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案第六章

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第六章樣本及抽樣分布

1.[一]在總體N（52，6.32）中隨機(jī)抽一容量為36的樣本，求樣本均值X落在50.8到53.8之間的概率。解：

6.321.2X?521.8X~N(52,),P{50.8?X?53.8}?P{???}6.36.36.336666

12?8??()??()?0.8293772.[二]在總體N（12，4）中隨機(jī)抽一容量為5的樣本X1，X2，X3，X4，X5.（1）求樣本均值與總體平均值之差的絕對值大于1的概率。（2）求概率P{max(X1，X2，X3，X4，X5)>15}.（3）求概率P{min(X1，X2，X3，X4，X5)>10}.

????????1?5??X?12?X?12解：（1）P{|X?12?1}?P?????2P??

2?44?4?????55?5????=2[1??(5)]?0.26282（2）P{max(X1，X2，X3，X4，X5)>15}=1－P{max(X1，X2，X3，X4，X5)≤15}=1??i?155P{Xi?15}?1?[?(15?125)]?0.2923.2（3）P{min(X1，X2，X3，X4，X5)0為已知，θ>1，θ為未知參數(shù)。

??θxθ?1,0?x?1（2）f(x)??

?0,其它.?（5）P(X?x)?解：（1）E(X)?得θ?其中θ>0，θ為未知參數(shù)。

??pmxx(1?p)m?x,x?0,1,2,?,m,0?p?1,p為未知參數(shù)。

?????xf(x)dx????cθcθ?θ?1θcθcθcxdx?c?,令?X，

θ?1θ?1θ?1θ?θXX?c（2）E(X)??????xf(x)dx??10θxθdx?θθX2,令?X,得θ?()

1?Xθ?1θ?1

2

（5）E(X)=mp令mp=X，

??解得pXm3．[三]求上題中各未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值和估計(jì)量。解：（1）似然函數(shù)

L(θ)??i?1nf(xi)?θncnθ(x1x2?xn)?θ?1

nndlnL(θ)θlnL(θ)?nln(θ)?nθlnc?(1?θ)lnxi,??nlnc?dθni?1??lnxi?1i?0

θ??n?lnxi?1n（解唯一故為極大似然估計(jì)量）

i?nlnc（2）L(θ)??f(x)?θii?1nn?n2(x1x2?xn)θ?1?n,lnL(θ)?ln(θ)?(θ?1)lnxi

2i?1?ndlnL(θ)?n11???dθ2θ2θ計(jì)量。

（5）L(p)?n?i?1??(nlnxi?0,θ?lnx)ii?1nn2。(解唯一)故為極大似然估

?i?1n?m??m??i?1P{X?xi}??(1?p)?x?????x??p?1??n?ximn??xii?1n，

lnL(p)??ln????xmxii?1i?1nilnp?(mn?n?x)ln(1?p),

ii?1ndlnL(p)?dp?xi?1nimn???xi?1ipni1?p?0

?x解得p?i?2mn?X，（解唯一）故為極大似然估計(jì)量。m4．[四(2)]設(shè)X1，X1，…，Xn是來自參數(shù)為λ的泊松分布總體的一個(gè)樣本，試求λ的極大似然估計(jì)量及矩估計(jì)量。

解：（1）矩估計(jì)X~π(λ)，E(X)=λ，故λ?=X為矩估計(jì)量。

3

（2）極大似然估計(jì)L(λ)?n?i?1nnP(xi;λ)?λi?1e?nλ，

x1!x2!?xn!?xinlnL(λ)??xlnλ??lnx!?nλ

iii?1i?1dlnL(λ)?dλ?xi?1niλ?n?0,解得λ??X為極大似然估計(jì)量。

λxi?λe,xi?0,1,?)（其中p(xi;λ)?P{X?xi}?xi!5．[六]一地質(zhì)學(xué)家研究密歇根湖湖地區(qū)的巖石成分，隨機(jī)地自該地區(qū)取100個(gè)樣品，每個(gè)樣品有10塊石子，記錄了每個(gè)樣品中屬石灰石的石子數(shù)。假設(shè)這100次觀測相互獨(dú)立，并由過去經(jīng)驗(yàn)知，它們都聽從參數(shù)為n=10，P的二項(xiàng)分布。P是該地區(qū)一塊石子是石灰石的概率。求p的極大似然估計(jì)值，該地質(zhì)學(xué)家所得的數(shù)據(jù)如下

樣品中屬石灰石的石子數(shù)觀測到石灰石的樣品個(gè)數(shù)001126374567839110023262112解：λ的極大似然估計(jì)值為λ?=X=0.499[四(1)]設(shè)總體X具有分布律X1Pkθ222θ(1－θ)3(1－θ)2其中θ(0

（4）n=100，α=0.05，x?6.5，S=2，由計(jì)算知

|t|?6.5?8?7.5?z0.05?1.645

2100（5）故在α=0.05下，拒絕H0，即認(rèn)為校長的看法是不對的。

14.[十三]某種導(dǎo)線，要求其電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過0.005(歐姆)。今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣品9根，測得s=0.007(歐姆)，設(shè)總體為正態(tài)分布。問在水平α=0.05能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大？

解：（1）提出H0：σ≤0.005；H1：σ>0.005（2）H0的拒絕域?yàn)?n?1)S20.0052?χα(n?1)

2（3）n=9，α=0.05，S=0.007，由計(jì)算知

(n?1)S2228?0.0072??15.68?χ(n?1)α0.00520.0052查表χ0.05(8)?15.507

（4）故在α=0.05下，拒絕H0，認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大。15.[十四]在題2中記總體的標(biāo)準(zhǔn)差為σ。試檢驗(yàn)假設(shè)（取α=0.05）

H0：σ2=0.112，H1：σ2≠0.112。解：步驟（1）H0：σ2=0.112；H1：σ2≠0.112（2）選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為χ（3）H0的拒絕域?yàn)棣?2(n?1)S2?~χ2(n?1)20.1121?2α2?χα(n?1)或χ2?χ2

2(n?1)

(n?1)S2?13.437（4）n=20，α=0.05，由計(jì)算知S=0.0925，

0.1122

查表知?0.025(19)?32.852,2?0.975(19)?8.907

2（5）故在α=0.05，接受H0，認(rèn)為總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.11.

16.[十五]測定某種溶液中的水份，它的10個(gè)測定值給出s=0.037%，設(shè)測定值總體為正態(tài)分布，σ2為總體方差。試在水平α=0.05下檢驗(yàn)假設(shè)H0：σ≥0.04%；H1：σ3，nPj將其合并得

7??nPj?3j?8.023

合并后，K=4，Y=1

查表知χ0.05(4