《高數(shù)》下冊第十一章練習(xí)題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——《高數(shù)》下冊第十一章練習(xí)題第十一章曲線積分與曲面積分

習(xí)題11-1

1.設(shè)在xOy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧L，在點(diǎn)（x,y）處它的線密度為?（x,y）。用對弧長的曲線積分分別表達(dá)：

（1）這曲線弧對x軸,對y軸的轉(zhuǎn)動慣量IxIy

,（2）這曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)x,y

2.利用對弧長的曲線積分的定義證明性質(zhì)33.計(jì)算以下對弧長的曲線積分：（1）（2）

??(xL2?y)ds，其中L為圓周x?acost,y?asint(0?t?2?)

2n?L(x?y)ds，其中L為連接（1,0）及（0,1）兩點(diǎn)的直線段

2?xds，其中L為由直線y=x及拋物線y?x（3）?L所圍成的區(qū)域的整個邊界

?e（4）?Lx2?y2ds，其中L為圓周x2?y2?a2，直線y=x及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇

形的整個邊界

1tttdsx?ecost,y?esint,z?e?222?（5）?x?y?z，其中為曲線上相應(yīng)于t從0變到2

的這段?。?）

??x2yzds，其中?為折線ABCD，這里A,B,C,D依次為點(diǎn)（0,0,0）

，（0,0,2），（1,0,2），y2ds，

，其中L為擺線的一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t?2?)

（1,3,2）（7）?（8）

L?L(x2?y2)ds，其中L為曲線x?a(cost?tsint),y?a(sint?tcost)(0?t?2?)

4.求半徑為ａ，中心角為

2?的均勻圓?。ň€密度??1）的質(zhì)心

0?t?2?，它的線密度

5.設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為x?acost,y?asint,z?kt，其中

?(x,y,z)?x2?y2?z2．求：

I（１）它關(guān)于ｚ軸的轉(zhuǎn)動慣量z

（２）它的質(zhì)心。

習(xí)題11-2

1.設(shè)L為xOy面內(nèi)直線x?a上的一段，證明：

?LP(x,y)dx?0

2.設(shè)L為xOy面內(nèi)x軸上從點(diǎn)（a,0）到點(diǎn)（b,0）的一段直線，證明：

?LP(x,y)dx??P(x,0)dxab

3.計(jì)算以下對坐標(biāo)的積分：（1）?(xL2?y2)dx，其中L是拋物線

y?x2上從點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（2,4）的一段弧

（2）

??Lxydx2(x?a)2?y2?a（a>0）及x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)，其中L為圓周

域的整個邊界（按逆時(shí)針方向繞行）（3）

?Lydx?xdy，其中L為圓周

x?Rcost,y?Rsint上對應(yīng)t從0到

?2的一段弧

(x?y)dx?(x?y)dy222x+y?a（4）?L（按逆時(shí)針方向繞行）x2?y2，其中L為圓周

（5）??x2dx?zdy?ydz，其中

?為曲線x?k??y?acos?,z?asin?上對應(yīng)?從0到??是從點(diǎn)（1,1,1）到點(diǎn)（2,3,4）的一段直線

的一段?。?）（7）

??xdx?ydy?(x?y?1)dz，其中

，其中

??dx?dy+ydz?2L?為有向閉折線ABCD，這里的A,B,C依次為點(diǎn)

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)（8）?(x的一段弧4.計(jì)算

?2xy)dx?(y2?2xy)dy，其中L是拋物線

y?x2上從點(diǎn)（-1,1）到點(diǎn)（1,1）

?(x?y)dx?(y?x)dy，其中L是：

L2y?x上從點(diǎn)（1,1）到點(diǎn)（4,2）的一段弧（1）拋物線

（2）從點(diǎn)（1,1）到點(diǎn)（4,2）的直線段

（3）先沿直線從點(diǎn)（1,1）到點(diǎn)（1,2），然后再沿直線到點(diǎn)（4,2）的折線

22x?2t?t?1,y?t?1上從點(diǎn)（1,1）到點(diǎn)（4,2）的一段?。?）曲線

222x?y?R5.一力場由沿橫軸正方向的恒力F所構(gòu)成，試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿圓周按

逆時(shí)針方向移過位于第一象限的那一段弧時(shí)場力所做的功

6.設(shè)z軸與動力的方向一致，求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從位置（x,y,z）沿直線移到（x,y,z）時(shí)重力所做的功

7.把對坐標(biāo)的曲線積分

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化成對弧長的積分曲線，其中L為：

（1）在xOy面內(nèi)沿直線從點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（1,1）

2y?x（2）沿拋物線從點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（1,1）

22x?y?2x從點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（1,1）（3）沿上半圓周

23x?t,y?t,z?t?為曲線上相應(yīng)于t從0變到1的曲線弧，把對坐標(biāo)的曲線積分8.設(shè)

?

?Pdx?Qdy?Rdz化成對弧長的曲線積分

習(xí)題11-3

1.計(jì)算以下曲線積分，并驗(yàn)證格林公式的正確性：（1）

??L(2xy?x2)dx?(x?y2)dyy?x2和y2?x所圍成的區(qū)域的

，其中L是由拋物線

正向邊界曲線（2）

??L(x2?xy2)dx?(y2?2xy)dy，其中L是四個頂點(diǎn)分別為（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）

的正方形區(qū)域的正想邊界

2.利用曲線積分，求以下曲線所圍成的圖形的面積（1）星形線

x?acos3t,y?asin3t

22（2）橢圓9x+16y?144（3）圓x?y?2ax

22ydx?xdy22(x?1)?y?2，L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向?L2(x2?y2)3.計(jì)算曲線積分?，其中L為圓周

4.證明以下曲線積分在整個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值

?（1）

（2）

(2,3)(1,1)(3,4)(x?y)dx?(x?y)dy

?(1,2)(2,1)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy(2xy?y4?3)dx?(x2?4xy3)dy

?（3）

(1,0)5.利用格林公式，計(jì)算以下曲線積分：

(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy??（1），其中L為三頂點(diǎn)分別為（0,0），（3,0）和（3,2）

L的三角形正向邊界；

?(x（2）?L2ycosx?2xysinx?y2ex)dx?(x2sinx?2yex)dy23，其中L為正向星形線

x?y?a(a?0)（3）

2323

，其中L為在拋物線

?L(2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy2x??y2上由點(diǎn)

?（0,0）到（2）的一段弧

，1

(x（4）?L2?y)dx?(x?sin2y)dyy?2x?x2上由點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（1,1），其中L是在圓周

的一段弧

6.驗(yàn)證以下P(x,y)dx?Q(x,y)dy在整個xOy平面內(nèi)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分，并求這樣的一個u(x,y)：

（1）(x?2y)dx?(2x?y)dy

22xydx?xdy（2）

（3）4sinxsin3ycosxdx?3cos3ycos2xdy

2232y(3xy?8xy)dx?(x?8xy?12ye)dy（4）

22(2xcosy?ycosx)dx?(2ysinx?xsiny)dy（5）

7.設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為X?x?y,Y?2xy?8，這變力確定了一個力場。證明質(zhì)點(diǎn)在此場內(nèi)移動時(shí)，場力所做的功與路徑無關(guān)。

?28.判斷以下方程中哪些是全微分方程？對于全微分方程，求出它的通解。

2222(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy?0（1）

222(a?2xy?y)dx?(x?y)dy?0(a為常數(shù))（2）

（3）edx?(xe?2y)dy?0

（4）(xcosy?cosx)y?ysinx?siny?0

2(x?y)dx?xdy?0（5）

2y(x?2y)dx?xdy?0（6）

yy2?2?(1?e)d??2?ed??0（7）

22(x?y)dx?xydy?0（8）

42?242??A(x,y)?2xy(x?y)i?x(x?y)j為某，使在右半平面x>0上的向量9.確定常數(shù)

二元函數(shù)u（x,y）的梯度，并求u(x,y)

習(xí)題11-4

1.設(shè)有一分布著質(zhì)量的曲面

?，在點(diǎn)（x,y,z）處它的面密度為

?（x,y,z）,用對面積的曲

面積分表示這曲面對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量2.按對面積的曲面積分的定義證明公式

??f(x,y,z)ds???f(x,y,z)ds???f(x,y,z)ds??1?2

?是由?1其中

和

?2組成的

3.

當(dāng)

?是xOy面內(nèi)的一個閉區(qū)域時(shí)，曲面積分??f(x,y,z)dS?與二重積分有什么關(guān)系？

4.計(jì)算曲面積分

???f(x,y,z)dS，其中

?為拋物面z?2?(x2?y2)在xOy面上方的部分，

f(x,y,z)分別如下：

（1）f(x,y,z)?1

22f(x,y,z)?x?y（2）

（3）f(x,y,z)?3z

5.

計(jì)算??（x2+y2）dS,其中?是：?

（1）

錐面z?x2?y2及平面z?1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面

222錐面z?3(x?y)被平面z?0和z?3所截得的部分（2）

6.計(jì)算以下對面積的曲面積分：

（1）（2）（3）

4xyz（z+2x+y）ds,其中?為平面???1在第一卦限中的部分??3234?2?

（2xy-2x-x+z）ds,其中?為平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分????(x?y?z)ds,其中?為球面x?2?y?z?a上z?h(0?h?a)的部分222（4）

2222（xy+yz+zx）ds,其中?為錐面z=x?y被柱面x?y?2ax所截得的有限部分???求拋物面殼z?7.

122(x?y)(0?z?1)的質(zhì)量，此殼的面密度為?=z2

求面密度為?0的均勻半球殼x2+y2+z2=a2(z?0)對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量8.

習(xí)題11-5

1.按對坐標(biāo)的曲線面積的定義證明公式2.

??[P(x,y,z)?P(x,y,z)]dydz???P(x,y,z)dydz???P(x,y,z)dydz

1212???當(dāng)?為xOy面內(nèi)的一個閉區(qū)域時(shí)，曲面面積??R（x,y,z）dxdy與二重積分有什么關(guān)系？?

3.計(jì)算以下對坐標(biāo)的曲面積分：

（1）

??x?2y2zdxdy,其中?是球面x2?y2?z2?R2的下半部分的下側(cè)

22zdxdy?xdydz?ydzdx,其中?是柱面x?y?1被平面z?0及z?3s所截得的???（2）在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)

??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?f(x,y,z)?z]dxdy,其中f(x,y,z)為??是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上側(cè)（3）連續(xù)函數(shù)，

（4）

???xzdxdy?xydydz,其中?是平面x?0,y?0,z?0,x?y?z?1所圍成的空間?區(qū)

域的整個邊界曲面的外側(cè)4.把對坐標(biāo)的曲面積分

（x,y,z）dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy??P?化成對面積的曲面積分其中

（1）?是平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上側(cè)（2）?是拋物面z?8?(x2?y2)在xOy面上方的部分的上側(cè)

習(xí)題11-6

1.利用高斯公式計(jì)算曲面積分：（1）

222xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?為平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所圍成的立體????的表面的外側(cè)（2）（3）

???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?為球面x?3332?y2?z2?a2的外側(cè)

，其中?為上半球體

???xzdydz?(xy?z)dzdx?(2xy?yz)dxdy?22320?z?a2?x2?y2,x2?y2?a2的表面的外側(cè)

（4）

???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是界于z=0和z=3之間的圓柱體x?2?y2?9的

整個表面的外側(cè)

（5）

???4xzdydz?y?2dzdx?yzdxdy，其中?是平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所圍成的

立方體的全表面的外側(cè)

2.求以下向量A穿過曲面?流向指定側(cè)的通量：

222（1）A?yzi?xzj?xyk，?為圓柱x?y?a(0?z?h)的全表面，流向外側(cè)22A?(2x?z)i?xyj?xzk，?為立方體0?x?a,0?y?a,0?z?a的全表面，（2）

流向外側(cè)

（3）A?(2x?3z)i?(xz?y)j?(y?2z)k，?是以點(diǎn)（3，-1,2）為球心，半徑R=3的球面，流向外側(cè)

3.求以下向量場A的散度：

（1）A?(x?yz)i?(y?xz)j?(z?xy)k

xy2A?ei?cos(xy)j?cos(xz)k（2）

2A?yi?xyj?xzk（3）

22224.設(shè)u(x,y,z),v(x,y,z)是兩個定義在閉區(qū)域?上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，?n?n依次

,表示

u(x,y,z),v(x,y,z)沿

?u?v?的外法線方向的方向?qū)?shù)。證明

???(u???v?u)dxdydz???(u???v?u?v)ds，?n?n其中

?是空間閉區(qū)域?的整個邊界曲面，這個公式叫做格林其次公式。

5.利用高斯公式推證阿基米德原理，浸沒在液體中的物體所受液體的壓力的合力（即浮力）的方向沿鉛直向上，其大小等于這物體所排開的液體的重力

習(xí)題11-7

222222試對曲面?：z?x?y,x?y?1,P?y,Q?x,R?z驗(yàn)證斯托克斯公式1.

2.利用斯托克斯公式，計(jì)算以下曲線積分：

?ydx?zdy?xdz，其中?為圓周x（1）??2?y2?z2=a2,x?y?z?0，若從x軸的正向

看去，這圓周是取逆時(shí)針方向（2）

??(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz，其中?為

?xzx?y?a,??1(a?0,b?0)，若從x軸的正向看去，這圓周是取逆時(shí)針方向橢圓ab23ydx?xzdy?yzdz，其中?為圓周x2?y2?2z,z?2，若從z軸的正向看去，?（3）??這圓周是取逆時(shí)針方向（4）

???2222ydx?3xdy?z2dz，x?y?z?9,z?0，?其中為圓周若從x軸的正向看去，

這圓周是取逆時(shí)針方向

3.求以下向量場A的旋度：

（1）A?(2z?3y)i?(3x?z)j?(y?2x)k（2）A?(z?siny)i?(z?xcosy)j

22A?xsinyi?ysin(xz)j?xysin(cosz)k（3）

4.利用斯托克斯公式把曲面積分n分別如下：

??rotA?nds化為曲線積分，并計(jì)算積分值，其中A，?及

?222z?1?x?y?A?yi?xyj?xzk（1），為上半球面的上側(cè)，n是的單位法向量

（2）A?(y?z)i?yzj?xzk，?為立方體{(x,y,z)0?x?2,0?y?2,0?z?2}的表面

?的單位法向量

外側(cè)去掉xOy面上的那個底面，n是

5.求以下向量場A沿閉曲線?（從z軸正向看?依逆時(shí)針方向）的環(huán)流量

22A??yi?xj?ckx?y?1,z?0?（1）（c為常量），為圓周

2232z?2?x?y,z?0A?(x?z)i+(x?yz)j?3xyk?（2），其中為圓周

6.證明7.設(shè)

rot(a?b)?rota?rotb

u?u(x,y,z)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

rot(gradu)

總習(xí)題十一

1.填空

（1）其次類曲線積分

??Pdx?Qdy?Rdz化成第一類曲線積分是————，其中?，?，

?為有向曲線弧?在點(diǎn)（x,y,z）處的—————的方向角

（2）其次類曲線積分

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy化成第一類曲線積分是————，其中

??，?，?為有向曲面?在點(diǎn)（x,y,z）處的—————的方向角

2.選擇下述題中給出的四個結(jié)論中一個正確的結(jié)論：

2222?x?y?z=R(z?0)，曲面?1是曲面?在第一卦限中的部分，設(shè)曲面是上半球面：

則有——————。（A）（B）(C)(D)

??xds?4??xds

??1??yds?4??xds

??1?1??zds?4??xds

???xyzds?4??xyzds??1

3.計(jì)算以下曲線積分：

（1）

????Lx2?y2ds，其中L為圓周

x2?y2?ax

zds，其中

?為曲線

x?tcost,y?tsint,z?t(0?t?t0)

（2）

?(2a?y)dx?xdyLx?a(t?sint),y?a(1?cost)，其中L為擺線

上對應(yīng)t從0到

2?（3）的一段弧

?(y?2?z2)dx?2yzdy?x2dz，其中是曲線

x?t,y?t2,z?t3上由

t1?0到

t2?1的

（4）一段弧

?(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dyLxx(x?a)2+y2?a2,y?0，其中L為上半圓周

沿逆

（5）

時(shí)針方向

??xyzdz??，其中

是用平面y=z截球面

x2?y2?z2?1所得的截痕，從z軸的正向看

（6）

去，沿逆時(shí)針方向4.計(jì)算以下曲面積分：

（1）

ds222??x?y?z??，其中

是界于z=0及z=H之間的圓柱面

x2?y2?R2

222(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy??（2）

?，

?其中

為