方差分析與多重對比

本文格式為Word版，下載可任意編輯——方差分析與多重對比第六章方差分析

第五章所介紹的t檢驗法適用于樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)及兩樣本平均數(shù)間的差異顯著性檢驗，但在生產(chǎn)和科學(xué)研究中經(jīng)常會遇到比較多個處理優(yōu)劣的問題，即需進行多個平均數(shù)間的差異顯著性檢驗。這時，若仍采用t檢驗法就不適合了。這是由于：

21、檢驗過程煩瑣例如，一試驗包含5個處理，采用t檢驗法要進行C5=10次兩兩平均數(shù)的差異顯著

性檢驗；若有k個處理，則要作k(k-1)/2次類似的檢驗。

2、無統(tǒng)一的試驗誤差，誤差估計的確切性和檢驗的靈敏性低對同一試驗的多個處理進行比較

時，應(yīng)當有一個統(tǒng)一的試驗誤差的估計值。若用t檢驗法作兩兩比較，由于每次比較需計算一個Sx1?x2，故使得各次比較誤差的估計不統(tǒng)一，同時沒有充分利用資料所提供的信息而使誤差估計的確切性降低，從而降低檢驗的靈敏性。例如，試驗有5個處理，每個處理重復(fù)6次，共有30個觀測值。進行t檢驗時，每次只能利用兩個處理共12個觀測值估計試驗誤差，誤差自由度為2(6-1)=10；若利用整個試驗的30個觀測值估計試驗誤差，顯然估計的確切性高，且誤差自由度為5(6-1)=25?？梢?，在用t檢法進行檢驗時，由于估計誤差的確切性低，誤差自由度小，使檢驗的靈敏性降低，簡單掩蓋差異的顯著性。

3、推斷的可靠性低，檢驗的I型錯誤率大即使利用資料所提供的全部信息估計了試驗誤差，若用

t檢驗法進行多個處理平均數(shù)間的差異顯著性檢驗，由于沒有考慮相互比較的兩個平均數(shù)的秩次問題，因而會增大犯I型錯誤的概率，降低推斷的可靠性。

由于上述原因，多個平均數(shù)的差異顯著性檢驗不宜用t檢驗，須采用方差分析法。

方差分析(analysisofvariance)是由英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。這種方法是將k個處理的觀測值作為一個整體對待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進而獲得不同變異來源總體方差估計值；通過計算這些總體方差的估計值的適當比值，就能檢驗各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。方差分析實質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析，它在科學(xué)研究中應(yīng)用十分廣泛。

本章在探討方差分析基本原理的基礎(chǔ)上，重點介紹單因素試驗資料及兩因素試驗資料的方差分析法。在此之前，先介紹幾個常用術(shù)語。

1、試驗指標(experimentalindex)為衡量試驗結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗中具體測定的

性狀或觀測的項目稱為試驗指標。由于試驗?zāi)康牟煌?，選擇的試驗指標也不一致。在畜禽、水產(chǎn)試驗中常用的試驗指標有：日增重、產(chǎn)仔數(shù)、產(chǎn)奶量、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(如血糖含量、體高、體重)等。

2、試驗因素(experimentalfactor)試驗中所研究的影響試驗指標的因素叫試驗因素。如研究如何提高

豬的日增重時，飼料的配方、豬的品種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對日增重有影響，均可作為試驗因素來考慮。當試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗；若同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗。試驗因素常用大寫字母A、B、C、?等表示。

3、因素水平(leveloffactor)試驗因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。如比

較3個品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這3個品種就是奶牛品種這個試驗因素的3個水平；研究某種飼料中4種不同能量水平對肥育豬瘦肉率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗因素的4個水平。因素水平用代表該因素的字母加添足標1，2，?，來表示。如A1、A2、?，B1、B2、?，等。

4、試驗處理(treatment)事先設(shè)計好的實施在試驗單位上的具體項目叫試驗處理，簡稱處理。在單因素

試驗中，實施在試驗單位上的具體項目就是試驗因素的某一水平。例如進行飼料的比較試驗時，實施在試驗單位(某種畜禽)上的具體項目就是喂飼某一種飼料。所以進行單因素試驗時，試驗因素的一個水平就是一個處理。在多因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目是各因素的某一水平組合。例如進行3種飼料和3個品種對豬日增

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重影響的兩因素試驗，整個試驗共有3×3=9個水平組合，實施在試驗單位(試驗豬)上的具體項目就是某品種與某種飼料的結(jié)合。所以，在多因素試驗時，試驗因素的一個水平組合就是一個處理。

5、試驗單位(experimentalunit)在試驗中能接受不同試驗處理的獨立的試驗載體叫試驗單位。在畜禽、

水產(chǎn)試驗中，一只家禽、一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚，即一個動物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚，即一組動物都可作為試驗單位。試驗單位往往也是觀測數(shù)據(jù)的單位。

6、重復(fù)(repetition)在試驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復(fù)；一

處理實施的試驗單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個處理(飼料)有4次重復(fù)。

第一節(jié)方差分析的基本原理與步驟

方差分析有好多類型，無論簡單與否，其基本原理與步驟是一致的。本節(jié)結(jié)合單因素試驗結(jié)果的方差分析介紹其原理與步驟。

一、線性模型與基本假定

假設(shè)某單因素試驗有k個處理，每個處理有n次重復(fù)，共有nk個觀測值。這類試驗資料的數(shù)據(jù)模式如表6-1所示。

表6-1k個處理每個處理有n個觀測值的數(shù)據(jù)模式

合計xi.平均xi.處理觀測值

x1.x1.A1x11x12?x1j?x1n

x2.x2.A2x21x22?x2j?x2n

?????????

xi.xi.Aixi1xi2?xij?xin

?????????Ak合計

xk1

xk2

?

xkj

?

xkn

xk.x..

nxk.

x..

表中xij表示第i個處理的第j個觀測值（i=1,2,?,k；j=1,2,?,n）；xi.??xij表示第i個處理n個觀測值

j?1的和；x..???xij??xi.表示全部觀測值的總和；xi.??xij/n?xi./n表示第

i?1j?1i?1j?1knkni個處理的平均數(shù)；

x..???xij/kn?x../kn表示全部觀測值的總平均數(shù)；xij可以分解為

i?1j?1knxij??i??ij(6-1)

?i表示第i個處理觀測值總體的平均數(shù)。為了看出各處理的影響大小，將?i再進行分解，令

1??k??i(6-2)

i?1k?i??i??(6-3)

則

xij????i??ij(6-4)

其中μ表示全試驗觀測值總體的平均數(shù)，?i是第i個處理的效應(yīng)（treatmenteffects）表示處理i對試驗結(jié)果產(chǎn)

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生的影響。顯然有

??i?1ki?0(6-5)

ε

ij

是試驗誤差，相互獨立，且聽從正態(tài)分布N（0，σ）。

ij之和。由ε

2

（6-4）式叫做單因素試驗的線性模型（linearmodel）亦稱數(shù)學(xué)模型。在這個模型中xij表示為總平均數(shù)μ、處理效應(yīng)αi、試驗誤差ε

ij

相互獨立且聽從正態(tài)分布N（0，σ），可知各處理Ai(i=1，2，?，k)

2

2

2

所屬總體亦應(yīng)具正態(tài)性，即聽從正態(tài)分布N(μi,σ)。盡管各總體的均數(shù)?i可以不等或相等，σ則必需是相等的。所以，單因素試驗的數(shù)學(xué)模型可歸納為：效應(yīng)的可加性（additivity）、分布的正態(tài)性（normality）、方差的同質(zhì)性（homogeneity）。這也是進行其它類型方差分析的前提或基本假定。

若將表（6-1）中的觀測值xij（i=1,2,?,k;j=1,2,?,n）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（模型）用樣本符號來表示，則

xij?x..?(xi.?x..)?(xij?xi.)?x..?ti?eij(6-6)

與（6-4）式比較可知，x..、(xi.?x..)?ti、(xij?xi.)?eij分別是μ、（μi-μ）=?i、（xij-?i）=?ij的估計值。

（6-4）、（6-6）兩式告訴我們：每個觀測值都包含處理效應(yīng)（μi-μ或xi.?x..），與誤差(xij??i或xij?xi.)，故kn個觀測值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。

二、平方和與自由度的剖分

我們知道，方差與標準差都可以用來度量樣本的變異程度。由于方差在統(tǒng)計分析上有大量優(yōu)點，而且不用開方，所以在方差分析中是用樣本方差即均方（meansquares）來度量資料的變異程度的。表6-1中全部觀測值的總變異可以用總均方來度量。將總變異分解為處理間變異和處理內(nèi)變異，就是要將總均方分解為處理間均方和處理內(nèi)均方。但這種分解是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和，剖分成處理間平方和與處理內(nèi)平方和兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，剖分成處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來實現(xiàn)的。

（一）總平方和的剖分在表6-1中，反映全部觀測值總變異的總平方和是各觀測值xij與總平均數(shù)x..的離均差平方和，記為SST。即

SST???(xij?x..)2i?1j?1kn

由于

??(xi?1j?1knknij?x..)???(xi.?x..)?(xij?xi.)2i?1j?12ikn??2????(x.?x..)i?1j?1k2i?1?2(xi.?x..)(xij?xi.)?(xij?xi.)2knkn?

?n?(xi.?x..)?2?[(xi.?x..)?(xij?xi.)]???(xij?xi.)2i?1j?1i?1j?1其中?(xij?xi.)?0

j?1knkknn所以??(xij?x..)?n?(xi.?x..)???(xij?xi.)2（6-7）

22i?1j?1i?1i?1j?177

（6-7）式中，n?(xi.?x..)2為各處理平均數(shù)xi.與總平均數(shù)x..的離均差平方和與重復(fù)數(shù)n的乘積，反映

i?1kk了重復(fù)n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSt，即

SSt?n?(xi.?x..)2

i?1(6-7)式中，??(xij?xi.)2為各處理內(nèi)離均差平方和之和，反映了各處理內(nèi)的變異即誤差，稱為處理內(nèi)平

i?1j?1kn方和或誤差平方和，記為SSe，即

SSe???(xij?xi.)2

i?1j?1kn于是有

SST=SSt+SSe（6-8）

(6-7)，（6-8）兩式是單因素試驗結(jié)果總平方和、處理間平方和、處理內(nèi)平方和的關(guān)系式。這個關(guān)系式中三種平方和的簡便計算公式如下：

2SST???xij?Ci?1j?1kknSSt?1xi2.?C?ni?1(6-9)

SSe?SST?SSt

其中，C=x2··/kn稱為矯正數(shù)。

（二）總自由度的剖分在計算總平方和時，資料中的各個觀測值要受??(xij?x..)?0這一條件

i?1j?1kn的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個數(shù)減一，即kn-1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=kn-1。

在計算處理間平方和時，各處理均數(shù)xi.要受?(xi.?x..)?0這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減

i?1k一，即k-1。處理間自由度記為dft，即dft=k-1。

在計算處理內(nèi)平方和時，要受k個條件的約束，即

?(xj?1nij。故處理內(nèi)自由度為資?xi.)?0（i=1,2,?,k）

料中觀測值的總個數(shù)減k，即kn-k。處理內(nèi)自由度記為dfe，即dfe=kn-k=k(n-1)。

由于

nk?1?(k?1)?(nk?k)?(k?1)?k(n?1)

所以

dfT?dft?dfe(6-10)

綜合以上各式得：

dfT?kn?1dft?k?1dfe?dfT?dft78

(6-11)

2各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為（MST或ST）、MSt

2（或St2）和MSe（或Se）。即

22MST?ST?SST/dfTMSt?St2?SSt/dftMSe?Se?SSe/dfe（6-12）

總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。

某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同協(xié)同飼料對魚的飼喂效果，選取了條件基本一致的魚20尾，隨機分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個月試驗以后，各組魚的增重結(jié)果列于下表。

表6-2飼喂不同飼料的魚的增重（單位：10g）

飼料A1A2A3A4合計

31.924.822.127.0

魚的增重（xij）27.931.828.425.726.827.923.627.324.930.829.024.5

35.9

26.225.828.5

合計xi.平均xi.155.931.18131.426.28123.724.74139.827.96x..=550.8

這是一個單因素試驗，處理數(shù)k=4，重復(fù)數(shù)n=5。各項平方和及自由度計算如下：

2矯正數(shù)C?x../nk?550.82/(4?5)?15169.03

2總平方和SST???xijl?C?31.92?27.92???28.52?C

?15368.7?15169.03?199.67