第14章 部分習(xí)題解

本文格式為Word版，下載可任意編輯——第14章部分習(xí)題解第一章

1-1一維運(yùn)動(dòng)的粒子處在下面狀態(tài)

?Axe??x?(x)???0(x?0,??0)(x?0)

①將此項(xiàng)函數(shù)歸一化；②求粒子坐標(biāo)的概率分布函數(shù)；③在何處找到粒子的概率最大?

解：（1）由歸一化條件，知A2??0x2e?2?xdx?1

得到歸一化常數(shù)A?2??所以歸一化波函數(shù)為

?2??xe??x?(x)??0?（2）粒子坐標(biāo)的概率分布函數(shù)

(x?0,??0)(x?0)w(x)??(x)?2?4?3x2e?2?x0(x?0,??0)(x?0)

11dw(x)x?x?0,x??0?，根據(jù)題意x=0處，w(x)?0，所以?處粒子（3）令dx得到的概率最大。

1-2若在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子的量子數(shù)為n。

①距勢(shì)阱的左壁1/4寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子概率是多少?②n取何值時(shí)，在此范圍內(nèi)找到粒子的概率最大?

③當(dāng)n→∞時(shí)，這個(gè)概率的極限是多少?這個(gè)結(jié)果說(shuō)明白什么問(wèn)題?

解：（1）距勢(shì)阱的左壁1/4寬度，即x的取值范圍是-a~-a/2，發(fā)現(xiàn)粒子概率為：

P(x)???a?x?a/2|?a2a?a/212n?1?a/2n?sin(x?a)dx?[1?cos(x?a)]dx?a2a2a?aa1an?11n?a/2?sin(x?a)|???sin?a2an?a42n?246?（2）n=3時(shí)，在此范圍內(nèi)找到粒子的概率最大P(x)?1?1。

max（3）當(dāng)n→∞時(shí)，P(x)?1。這時(shí)概率分布均勻，接近于宏觀狀況。

411-3一個(gè)勢(shì)能為V(x)?m?2x2的線(xiàn)性諧振子處在下面狀態(tài)，

2?(x)?Ae?1?2x22(??m?)?1求①歸一化常數(shù)A；②在何處發(fā)現(xiàn)振子的概率最大；③勢(shì)能平均值U?m?2x2

2解：

（1）利用泊松積分?e?xdx???2??xAedx?1???由歸一化條件：

??22??2?

令?x?t，則dx?即A211?dtA?

?（2）振子的概率密度w(x)?|?(x)|2??e??x

?22?A21??t???edt?1??2??1，??1/4令dw(x)?0，即

dx???xe?(??2)*2x?0,?22x?0;

振子出現(xiàn)的概率最大位置是x=0。

（3）勢(shì)能平均值

111???2??x??U?m?2x2?m?2????*x2?dx?m?2?xedx222???1?m?2????212???x??x?m?xde?xde??2????2?2x4?????m?2?m?2??????x??x???(xe|??????edx)?*4??4???m?21????24?422222222221-4設(shè)質(zhì)量為m的粒子在以下勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)。

x?0???V(x)??122m?xx?0??2解:注意到粒子在半勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，且為半諧振子。半諧振子與對(duì)稱(chēng)諧振子在x>0區(qū)域滿(mǎn)足同

樣的波動(dòng)方程，但根據(jù)題意，x2-4.一維雙原子晶格振動(dòng)中，證明在布里淵區(qū)邊界q??止，光頻支所有重原子M靜止。

?2a處，聲頻支中所有輕原子m靜

解：當(dāng)q???2a時(shí)，???2?2?，???;mM2?代入2-43得：

M對(duì)于聲頻支：將q???2a，???（m-1）A=0?A=0，即輕原子m靜止；M對(duì)于光頻支：將q???2a，???2?代入2-43得：m(M-1)B=0?B=0，即重原子M靜止；m2-5.什么叫聲子?它和光子有何異、同之處?

不同點(diǎn)：光子是電磁波能量的量子化；聲子是格波能量的量子化；一致點(diǎn)：都是玻色子，起傳遞能量的作用；

2-6.一維雙原子點(diǎn)陣，已知一種原子的質(zhì)量m=5×1.67×10-27kg，另一種原子的質(zhì)量M=4m，力常數(shù)β=15N·m-1，求：

0(a)光學(xué)波的最大頻率和最小頻率?max、?minA(b)聲學(xué)波的最大頻率?max

0(c)相應(yīng)的聲子能量是多少eV?

0A(d)在300K可以激發(fā)頻率為?max、?min、?max的聲子的概率?0(e)假使用電磁波來(lái)激發(fā)長(zhǎng)光學(xué)波?max振動(dòng)，試問(wèn)電磁波的波長(zhǎng)要多少?

0解：??mM?0.8m

m?M（a）?0max?2?2???6.0?1013rad/s?6.7?1013rad/s，?0minm?（b）?max?A2??3.0?1013rad/s，M0（c）E1???0eV，E2???main?0.040eV，E3???AeVmax?0.044max?0.020（d）由玻色-愛(ài)因斯坦分布，f?1eE/k0T?1

f?0?max1eo??mka/xT0?1?0.22；

f?0?min1eo??min/k0T?1?0.28；

f?A?max1eA??max/k0T?1?0.87；

(e)由h???c??ho??max可得：2?2?c?2.8?10?5mo?max1??，試用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。22-7.設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能量

解：晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能E0是各振動(dòng)模式零點(diǎn)能之和，并且

3V?2?(?)d??23d?2?vp?06?2N()=vpV?D3?E0???0(?)?(?)d???0?0013V?29N???23d??N?(6?2)1/3vp22?vp8V?3V??D39()v???N??DpD16?2vp8

2-8.設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維簡(jiǎn)單晶格，原子質(zhì)量為m，間距為a，原子間的互作用勢(shì)可表示成

?U(a??)??Acos()。試由簡(jiǎn)諧近似求

a（1）色散關(guān)系；（2）模式密度?(?)；

（3）晶格熱容（列出積分表達(dá)式即可）解：（1）原子間的彈性恢復(fù)力系數(shù)為

r?a????r?ar?a??2d[?Acos()]??dU11a?aAa?=(2)a???2??A???cos2drdraaaa????a2將上式代入本教材一維簡(jiǎn)單晶格的色散關(guān)系式（2-34）中，即??2得到：

1sinqa，m2???2A1/21()sinqaam2?/a（2）對(duì)于一維簡(jiǎn)單晶格，有

???D?D0?(?)d??????/a?(q)dq?N，q值分布密度?(q)?L/2?

LNadq?dq，所以：2?2?在波矢q?q?dq中的振動(dòng)模式數(shù)為?(q)dq???0?(?)?/a?/ad?d?dq???(?)dq???(q)dq

??/a??/adqdq所以，?(?)d???(q)dqd??qaaqaa?acos()??0[1?sin()2]1/2?(?02??2)1/2代入上式，有dqm2222?(?)??(q)(d??1Naa)?[(?02??2)1/2]?1dq2?2N1??(?02??2)1/2（3）利用教材其次章中的式（2-81），得CV?

??D0L??2e??/k0Tk0()??/k0T2a?k0T(e?1)2(?02??)1/2d?

2-9.有人說(shuō)，既然晶格獨(dú)立振動(dòng)頻率υ的數(shù)目是確定的(等于晶體的自由度數(shù))。而hυ代表一個(gè)聲子。因此，對(duì)于一給定的晶體，它必?fù)碛幸欢〝?shù)目的聲子。這種說(shuō)法是否正確?提醒：不正確，由于平均聲子數(shù)與與溫度有關(guān)。

2-10.應(yīng)用德拜模型，計(jì)算一維、二維狀況下晶格振動(dòng)的頻譜密度，德拜溫度，晶格比熱。解：（1）一維狀況下，q值分布密度?(q)?L/2?

由習(xí)題2-7（2）的結(jié)論可知：?(?)d?d???(q)，又由于vp?q??，所以?vpdqdq所以振動(dòng)頻譜密度?(?)??(q)L?vp2?vp德拜溫度?D???Dk0其中?D滿(mǎn)足

??D0?(?)d??2N?vpL?D?N，所以?D?L2?vp利用教材其次章中的式（2-81）

LCV?2?vpT?Nk0?D?0?D0??2e??/k0Tk0()d?k0T(e??/k0T?1)2exxdx?Tx2(e?1)2，其中x????D/T??k0T（2）二維狀況下

在波矢q?q?dq中的振動(dòng)模式數(shù)為

??SS?d?S??2?qdq????d?(2?)22?vpvp2?v2p與一維求解思路一致，但必需注意二維時(shí)需計(jì)及兩種彈性波（一個(gè)縱波和一個(gè)橫波），則

?(?)d??2?S?S?S?，所以振動(dòng)譜密度；d??d??(?)?2222?vp?vp?vp?DN?1/2??D)，德拜溫度?D?，其中?D滿(mǎn)足??(?)d??2N，所以?D?2vp(0Sk02?vpN?1/2?D?()；利用教材其次章中的式（2-81）

k0SSCV?2?vp?4Nk0(??D0??2e??/k0T?k0()d?k0T(e??/k0T?1)2xT2?D/T3e2)?xxdx?T?D0(e?1)2

2-11.簡(jiǎn)述絕緣體熱導(dǎo)在以下三個(gè)溫度范圍內(nèi)和溫度的關(guān)系，并說(shuō)明物理原因：

①T>>θD②T于T3。所以有

C?eV?22Nk0(T)?2.08T?10?3TFTF?1.96?104K

12?4TC?Nk0()3?2.57T3?10?35?DaV?D?91K

5.一維周期場(chǎng)中電子波函數(shù)?k?x?應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足布洛赫定理，若晶格常數(shù)是a，電子的波函數(shù)為

(a)?k?x??sin?a3?x(b)?k?x??icosa(c)?k?x??x

l????f?x?la?(f是某個(gè)確定的函數(shù))

?試求電子在這些狀態(tài)的波矢解:(a)?k?x??eikxuk(x)所以u(píng)k(x)?e?ikx?k?x?考慮到uk(x)?uk?x?a?則有e所以，e?ikxsin?ax?e?ik(x?a)sin2n?1?a?a(x?a)

n?0,?1,?2?，僅考慮第一布里淵區(qū)??ika??1,得k=?a?k??a，

k??a

（b）與（a）同樣方法，得

k?2n?1?a2n?an?0,?1,?2?，僅考慮第一布里淵區(qū)??a?k??a內(nèi)，k??a內(nèi)k??a

（c）與（a）同樣方法，得k?n?0,?1?,?2，僅考慮第一布里淵區(qū)??a?k??a內(nèi)，k?0

06.證明，當(dāng)k0T??EF時(shí)，電子數(shù)目每增加一個(gè)，則費(fèi)米能變化

0?EF?10g(EF)0其中g(shù)(EF)為費(fèi)米能級(jí)的能態(tài)密度。

解：由本教材第三章的式（3-21）知

h23n23?2NE?()?(3?2)23

2m8?2mV0F電子每增加一個(gè)，費(fèi)米能級(jí)的變化為

?23?22323?E?()[（N+1）-N23]

2mV0F（N+1）?N注意到，

22232/3(1?2312/32)?N2/3(1?)，N3N2221343243所以?EF?0?3?232N?3?23??3?????()=()??112122mV3NV3N3m3m?N3?V3(3N)3?m?V332并由本教材第三章的式（3-14）可得到：

2m(2m)?Vm00122N132N13g(EF)?4?V(2)32(EF)?4?V???(3?)??(3?)hh3(2m)12V?2?2V?3???N?V?m(3N)?m?V?42213??V2???301323131323

所以?EF?10g(EF)7.試證明布洛赫函數(shù)不是動(dòng)量的本征函數(shù)

???p?即可，其中p?為動(dòng)量算符，?為布洛赫函數(shù)提醒：只要證明p8.電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能

12V?x??m?2?b2??x?la?????????la?b?x?la?b???2??????????0?????????????????????????????????????????l?1?a?b?x?la?b?且a=4b，ω是常數(shù)。試畫(huà)出此勢(shì)能曲線(xiàn)，并求此勢(shì)能的平均值。

解：V(x)曲線(xiàn)如下圖所示：

V(x)mω2b2/2-5b-4b-3b-2b-b0b2b3b4b5b

V(x)是以a為周期的周期函數(shù)，所以

V?x??11a?b1b1b1222V(x)dx?V(x)dx?V(x)dx?m?(b?x)dx????L?b?b?bLaaa2233m?2m?2b2b1??2b3????m?2?m?b22a2a33a6

第四章

4.當(dāng)E-EF分別為kT、4kT、7kT，用費(fèi)米分布和玻爾茲曼分布分別計(jì)算分布概率，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行探討。

解：電子的費(fèi)米分布fF?D?E??11?eE?EFk0T，玻爾茲曼近似為fM?B?E??e?E?EFk0T

（1）E-EF=kT時(shí)fF?D?E??1?0.26894，fM?B?E??e?1=0.367881?e1?0.01832，fM?B?E??e?4?0.0179941?e1?7?0.00091，fE?e?0.00091??M?B71?e（2）E-EF=4kT時(shí)fF?D?E??（3）E-EF=7kT時(shí)fF?D?E??E?EFk0T當(dāng)e遠(yuǎn)大于1時(shí)，就可以用較為簡(jiǎn)單的玻爾茲曼分布近似代替費(fèi)米狄拉克分布來(lái)計(jì)

算電子或空穴對(duì)能態(tài)的占據(jù)概率，此后題看出E-EF=4kT時(shí)，兩者區(qū)別已經(jīng)很小。5.設(shè)晶格常數(shù)為a的一維晶格，導(dǎo)帶微小值附近的能量Ec(k)和價(jià)帶極大值附近的能量Ev(k)分別為

?2k1?2k2?2?k?k1?3?2k2Ec?k???Ev?k???3mm6mm，

式中m為電子慣性質(zhì)量，k1??/a,a?3.14?,試求出：

22（1）禁帶寬度

（2）導(dǎo)帶底電子的有效質(zhì)量；（3）價(jià)帶頂空穴的有效質(zhì)量；

（4）導(dǎo)帶底的電子躍遷到價(jià)帶頂時(shí)準(zhǔn)動(dòng)量的改變量。

?Ec(k)2h2k2h2?k?k1??0即解：（1）令??0?k3m0m0得到導(dǎo)帶底相應(yīng)的k?3k14?Ev(k)6h2k?0即令?0?km0得到價(jià)帶頂相應(yīng)的k?0

故禁帶寬度

3??Eg?Ec?k?k1??Ev?k?0?4?????3???1??k?kk?k???1??1?3m0?4?m0?4?6m012m02222221221

?2?2將k1=π/a代入，得到Eg?212m0ad2EC3?m0（2）導(dǎo)帶底電子有效質(zhì)量m??/dk2821?2dEV?|m0（3）價(jià)帶頂空穴有效質(zhì)量mp?|?/dk26?3?3h3??（4）動(dòng)量變化為?p???k1?0???48a4a???n27.試證明半導(dǎo)體中當(dāng)

?n??p且電子濃度n0?ni?p?n;空穴濃度p0?ni?n?p時(shí)，

材料的電導(dǎo)率?最小，并求?min的表達(dá)式。試問(wèn)當(dāng)n0和p0（除了n0=p0=ni以外）為何值時(shí)，該晶體的電導(dǎo)率等于本征電導(dǎo)率？并分別求出n0和p0。已知

cm2/V?s,?n?3800cm2/V?sni?2.5?1013/cm3,?p?1900

ni2解：（1）??n0q?n?p0q?p?n0q?n?q?p

n0d?ni2由?0得n0?ni?p/?n，p0??ni?n/?pdn0n0d2?又?0，2dn0ni2?ni?n/?p時(shí)，???min?2niq?n?p所以當(dāng)n?ni?p/?n，p?n（2）當(dāng)材料的電導(dǎo)率等于本征電導(dǎo)率時(shí)，有：

ni2n0q?n?q?p?niq(?n??p)

n0即n0解得：n0?2?n?n0ni(?n??p)?ni2?p?0

ni(?n??p)?[ni2