反證法規(guī)律原理 孫賢忠

本文格式為Word版，下載可任意編輯——反證法規(guī)律原理孫賢忠反證法規(guī)律原理

即證“完備性前提下的原命題的逆否命題〞

：孫賢忠（湖南省長沙市第七中學(xué)郵編：410003）

：說明反證法的定義、規(guī)律依據(jù)、證明的一般步驟、種類，摸索其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。這實(shí)際上就是在證“完備性前提下的原命題的逆否命題〞了。一個(gè)命題：若A則B為真，這只是簡單的形式，由于若A則B為真，其本身就還含有所有的已知定義,定理,大家都知道的事實(shí)，乃至正確的規(guī)律推理等等一切必需為真的系統(tǒng)性條件為真，否則絕不可能推出結(jié)論B為真。

：反證法證明矛盾逆否命題一反證法出現(xiàn)

反證法（ProofsbyContradiction，又稱歸謬法、背理法），是一種論證方式，他首先假設(shè)某命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說明假設(shè)不成立，原命題得證。

反證法常稱作Reductioadabsurdum，是拉丁語中的“轉(zhuǎn)化為不可能〞，源自希臘語中的“?ει?τοαδυνατονπαγωγη〞，阿基米德經(jīng)常使用它。

二反證法所依據(jù)的規(guī)律思維規(guī)律

反證法所依據(jù)的是規(guī)律思維規(guī)律中的“矛盾律〞和“排中律〞。在同一思維過程中，兩個(gè)相互矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是規(guī)律思維中的“矛盾律〞；兩個(gè)相互矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡單地說“A或者非A〞，這就是規(guī)律思維中的“排中律〞。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律〞，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論〞必為假。再根據(jù)“排中律〞，結(jié)論與“否定的結(jié)論〞這一對(duì)立的相互否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以規(guī)律思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。

反證法是“間接證明法〞一類，是從反方向證明的證明方法，即：確定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若確定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾〞。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結(jié)論的否定當(dāng)作條件，使之得到與條件相矛盾，確定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。

在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)〞，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，假使欲證明的命題的方面狀況只有一種，那么只要將這種狀況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法〞；假使結(jié)論的方面狀況有多種，那么必需將所有的反面狀況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法〞。

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反證法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用。當(dāng)論題從正面不簡單或不能得到證明時(shí)，就需要運(yùn)用反證法，此即所謂\正難則反\。三反證法所依據(jù)的規(guī)律基礎(chǔ)

牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦花?。一般來講，反證法常用來證明正面證明有困難,狀況多或繁雜,而逆否命題則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分干脆。

反證法的證題可以簡要的概括為“否定→得出矛盾→否定〞。即從否定結(jié)論開始，得出矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定〞。應(yīng)用反證法的是：

欲證“若P則Q〞為真命題，從相反結(jié)論出發(fā)，得出矛盾，從而原命題為真命題。反證法的證明主要用到“一個(gè)命題與其逆否命題同真假〞的結(jié)論，為什么？這個(gè)結(jié)論可以用窮舉法證明：

某命題：若A則B，則此命題有4種狀況：

1.當(dāng)A為真，B為真，則A→B為真，﹁B→﹁A為真；2.當(dāng)A為真，B為假，則A→B為假，﹁B→﹁A為假；3.當(dāng)A為假，B為真，則A→B為真，﹁B→﹁A為真；4.當(dāng)A為假，B為假，則A→B為真，﹁B→﹁A為真；∴一個(gè)命題與其逆否命題同真假

與若A則B先等價(jià)的是它的逆否命題若﹁B則﹁A

假設(shè)﹁B,推出﹁A,就說明逆否命題是真的,那么原命題也是真的.

但實(shí)際推證的過程中,推出﹁A是相當(dāng)困難的,所以就轉(zhuǎn)化為了推出與﹁A一致效果的內(nèi)容即可,這個(gè)一致效果就是與A(已知條件)矛盾,或是與已知定義,定理,大家都知道的事實(shí)等矛盾.

這實(shí)際上就是在證“完備性前提下的原命題的逆否命題〞了。一個(gè)命題：若A則B為真，這只是簡單的形式，由于若A則B為真，其本身就還含有所有的已知定義,定理,大家都知道的事實(shí)，乃至正確的規(guī)律推理等等一切必需為真的系統(tǒng)性條件為真，否則絕不可能推出結(jié)論B為真。

這樣就有命題：若A則B為真，應(yīng)當(dāng)完備成命題：若A且C（定義）且D（定理）且E（正確的規(guī)律推理）且F(客觀事實(shí))以及且……則B。于是逆否命題就是:若﹁B,則﹁A或﹁C（定義）或﹁D（定理）或﹁E（正確的規(guī)律推理）或﹁F(客觀事實(shí))以及或﹁……，逆否命題至少有一個(gè)，證出一個(gè)就可以了。

在數(shù)學(xué)的證明中，經(jīng)常運(yùn)用反證法。在命題規(guī)律推理中，反證法是證明一個(gè)公式是某個(gè)前提集合的有效結(jié)論的逆否命題。設(shè)A1，A2，…，Am是命題公式，假使A1?A2?…?Am是可滿足的，稱A1，A2，…，Am是相容的。假使A1?A2?…?Am是矛盾式，

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稱A1，A2，…，Am是不相容的。假使要證A1?A2?…?Am?C

只需證明A1?A2?…?Am?C是重言式。而A1?A2?…?Am?C??(A1?A2?…?Am)?C??(A1?A2?…?Am??C)

由此可知A1?A2?…?Am?C為重言式，當(dāng)且僅當(dāng)A1?A2?…?Am??C是矛盾式。

從而得到如A1，A2，…，Am，?C不相容（即?C??(A1?A2?…?Am)這就是A1?A2?…?Am?C的逆否命題得證），則C是A1，A2，…，Am的有效結(jié)論。

因此我們可以把?C作為附加前提推出矛盾來，從而可以得到C是A1，A2，…，Am的有效結(jié)論。這種方法稱為反證法，也是反證法的規(guī)律基礎(chǔ)。

例如：﹁B→﹁A為真，就是﹁B且A且C（定義）且D（定理）且E（正確的規(guī)律推理）且F(客觀事實(shí))以及……→﹁A且C（定義）且D（定理）且E（正確的規(guī)律推理）且F(客觀事實(shí))以及……這就是推出與已知條件矛盾的情形，所以若A則B為真（即原命題為真），

當(dāng)然也可以是另外的情形，如：﹁B且A且C（定義）且D（定理）且E（正確的規(guī)律推理）且F(客觀事實(shí))以及……則A且C（定義）且﹁D（定理）且E（正確的規(guī)律推理）且F(客觀事實(shí))以及……，這就是推出與定理矛盾的情形，所以若A則B為真（即原命題為真）等等。四反證法步驟：

（1）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。（若﹁B為真）（2）從這個(gè)命題出發(fā)，經(jīng)過推理證明得出矛盾。（即推出﹁A或﹁C（定義）﹁

D（定理）或﹁E（正確的規(guī)律推理）或﹁F(客觀事實(shí))以及或﹁……為真）（3）由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而確定命題的結(jié)論正確。（即A→B為真）

五反證法在簡易規(guī)律中適用題型：

（1）唯一性命題（2）否定性題

（3）“至多〞，“至少〞型命題

⒈基本命題，即學(xué)科中的起始性命題。此類命題由于已知條件及能夠應(yīng)用的定理、

公式、法則較少，或由題設(shè)條件所能推得的結(jié)論很少，因而直接證明入手較難，此時(shí)應(yīng)用反證法簡單奏效。如平面幾何、立體幾何等，在依照公理

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化方法來建立起它的科學(xué)體系時(shí)，最初只是提出少量的定義、公理。因此，起始階段的一些性質(zhì)和定理很難直接推證，它們多數(shù)宜于用反證法來證明。例1求證兩條直線假使有公共點(diǎn)，最多只有一個(gè)。證明：假設(shè)它們有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，這兩點(diǎn)直分別是a，b那么A，B都屬于a，A，B也都屬于b，由于兩點(diǎn)決定一條直線，所以a，b重合（這否定了兩條直線這個(gè)條件）所以命題不成立，原命題正確，公共點(diǎn)最多只有一個(gè)。⒉否定式命題，即結(jié)論中含有“不是〞、“不可能〞、“不存在〞等詞語的命題。此類命題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法。例2AB、CD為圓兩條相交弦，且不全為直徑，求證：AB、CD不能相互平分。證明：假設(shè)弦AB、CD被P點(diǎn)平分，由于P點(diǎn)一定不是圓心，連接OP，則有OP?AB,OP?CD，即過一點(diǎn)P有兩條直線與OP垂直，這與垂線性質(zhì)矛盾（這否定了垂線性質(zhì)定理），所以弦AB、CD不能被P平分。例3證明函數(shù)y=cosx不是周期函數(shù)。證明：假設(shè)函數(shù)