2023年九年級數(shù)學中考綜合培優(yōu)測試卷《四邊形綜合》壓軸題【含答案】

2023年九年級數(shù)學中考綜合培優(yōu)測試卷《四邊形綜合》壓軸題1．如圖四邊形ABCD，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC，AC、BD交于點F，E是AD上一點，且CE⊥BD．（1）在圖1中找出與∠ABF相等的角，并證明你的結論（2）在圖1中設BD與CE交于點P，連接PA，探究PA、PB、PC三者之間的關系，并證明．（3）如圖2，若BD平分∠ABC，EC＝2，求EF的長．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．動點D從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿CA向點A運動，同時點E從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB向終點B運動，以DC、DE為鄰邊作平行四邊形DEFC，當點E到達點B時，點D也隨之停止運動，設點D運動的時間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示BE的長；（2）當DE∥BC時，求t的值；（3）當點F落在△ABC一邊的垂直平分線上時，直接寫出t的值．3．實踐與探究操作一：如圖①是一張矩形紙片，點E在邊AB上，把△BCE沿直線CE翻折，使點B落在對角線AC上的點F處，連結DF，且點E、F、D在同一直線上．（1）若∠CEB＝70°，則∠EDC＝°．（2）當AE＝2時，求BE的長．小明對求BE的長進行了解答，下面是部分解答過程：如圖①，設BE的長為x，則由折疊知，EF＝EB＝x，∠DEC＝∠BEC．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，DC＝AB＝2+x．∴∠DCE＝∠BEC，∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC＝2+x．∴DF＝2．請你補全余下的解答過程．操作二：如圖②，矩形紙片中，AB＝3，BC＝2，點G是BC的中點，點E是AB邊上的一動點，將△BGE沿EG所在直線翻折得到△FEG，連結DF，則線段DF的最小值是．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中點．動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒5個單位的速度向終點B運動．連結PD，當點P不與點A重合時，以PD、CD為鄰邊作平行四邊形CDPQ．設點P的運動時間為t（秒）．（1）BC的長是．（2）當DP⊥AB時，求t的值．（3）設平行四邊形CDPQ與Rt△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式．（4）若點N為線段AB中點，當△NCB的某一邊把平行四邊形CDPQ面積分為1：2兩部分時，直接寫出t的值．5．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．直線PE從B點出發(fā)，以2cm/s的速度向點A方向運動，并始終與BC平行，與AC交于點E．同時，點F從C點出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向點B運動，設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．（1）當t為何值時，四邊形PFCE是矩形？（2）設△PEF的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關系式；（3）連接BE，是否存在某一時刻t，使PF經(jīng)過BE的中點？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．6．如圖1，在一個平面直角三角形中的兩直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方．在△ABC中，∠C＝90°，則AC2+BC2＝AB2．我們定義為“商高定理”．（1）如圖1，在△ABC中，∠C＝90°中，若BC＝4，AB＝5，則AC＝；（2）如圖2，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊BC和斜邊AB為邊向外作正方形BCFG和正方形ABED，連結CE、AG、GE．①求證：△ABG≌△EBC．②當BC＝3，AB＝4時，則GE2的值是．7．在四邊形ABCD中．（1）如圖1，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠DAB，探究圖中EF，BE，DF之間的數(shù)量關系．小林同學探究此問題的方法是：延長CB到點G，使BG＝DF．連接AG，先對比△ABG與△ADF的關系，再對比△AEF與△AEG的關系，可得出EF、BE、DF之間的數(shù)量關系，他的結論是；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠DAB，則上述結論是否仍然成立，請說明理由．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點F在CB的延長線上，點E在CD的延長線上，若EF＝BF+DE，請寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關系，并給出證明過程．8．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE（A，P，E按逆時針排列），點E的位置隨點P的位置變化而變化．（1）如圖1，當點P在線段BD上，且點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接CE，則BP與CE的數(shù)量關系是，BC與CE的位置關系是；（2）如圖2，當點P在線段BD上，且點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；（3）當點P在直線BD上時，其他條件不變，連接BE．若AB＝2，BE＝2，請直接寫出△APE的面積．9．定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．根據(jù)以上定義，解決下列問題：（1）如圖1，正方形ABCD中E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉，使BC與BA重合，此時點E的對應點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF（填“是”或“不是”）“直等補”四邊形；（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，過點B作BE⊥AD于E．①過C作CF⊥BF于點F，試證明：BE＝DE，并求BE的長；②若M是AD邊上的動點，求△BCM周長的最小值．10．【問題發(fā)現(xiàn)】數(shù)學小組成員小明做作業(yè)時遇到以下問題：請你幫助解決（1）若四邊形ABCD是菱形，邊長為2，∠ABC＝60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，如圖1，連接CE、DE，則BP與CE的數(shù)量關系為，DE長度的最小值為．【類比探究】數(shù)學小組對該問題進一步探究，請你幫助解決：（2）如圖2，若四邊形ABCD是正方形，邊長為2，點O為BD中點，點P是射線BD上一動點，以AP為斜邊在AP邊的右側作等腰Rt△APE，∠AEP＝90°，連接OE、DE．求：①BP與OE的數(shù)量關系；②求DE長度的最小值．【拓展應用】（3）如圖3，在（2）的基礎上，當P是對角線BD的延長線上一動點時，以AP為直角邊在AP邊的右側作等腰Rt△APE，∠APE＝90°，連接BE，若AB＝2，BE＝6，求△BPE的面積．11．（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側作正方形CEFG，連接DG、BE，判斷線段DG與BE的數(shù)量關系并說明理由；（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝6，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，連接DG、BE．判斷線段DG與BE又有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，求2BG+BE的最小值．12．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點E是BD上任意一點，連接AE，將AE繞點A逆時針旋轉60°得到線段AF，連接EF，F(xiàn)D．（1）如圖1，當點F在BD上時，F(xiàn)D與EF的數(shù)量關系是；（2）如圖2，當點F在BD外時，（1）的結論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）當DE與AD滿足什么條件時，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形，直接寫出結論．13．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關系為，線段CF、BD的數(shù)量關系為；②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，并說明理由；如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明理由．14．將邊長為4的正方形ABCD與邊長為5的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上．將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉一周，直線EB與直線DG交于點P．（1）DG與BE的數(shù)量關系：；DG與BE的位置關系：．（2）如圖2，當點B在線段DG上時，求△ADG的面積．（3）連接PF，當PE＝時，求PF的值．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A沿AB向點B以1cm/s的速度移動，同時點Q從點B沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．當其中一點達到終點時，另一點也隨之停止．設P，Q兩點移動的時間為xs，求：（1）當x為何值時，△PBQ為等腰三角形；（2）當x為何值時，△PBQ的面積為5cm2；（3）當x為何值時，△PDQ為等腰三角形．16．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．點E從點A出發(fā)沿AD向終點D運動，同時點F從點C出發(fā)沿CB向終點B運動，滿足AE＝CF＝a，點D'與點D關于直線EF對稱，DD'交直線CB于點G．（1）當點D'與點A重合時，求EF的長；（2）若點G在線段BC上；①請直接給出a的取值范圍；②當BG＝FC時，求GF的長；（3）以DD'為直徑作⊙O．則在點E，F(xiàn)運動過程中，點E是否有可能恰好在⊙O上？若可能，求出a的值；若不可能，請說明理由．17．利用“平行+垂直”作延長線或借助“平行+角平分線”構造等腰三角形是我們解決幾何問題的常用方法．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，AB∥CD，CB平分∠ACD，求證：△ABC是等腰三角形．（2）探究：如圖2，AD∥BC，BD平分∠ABC，BD⊥CD于D，若BC＝6，求AB．（3）應用：如圖3，在?ABCD中，點E在AD上，且BE平分∠ABC，過點E作EF⊥BE交BC的延長線于點F，交CD于點M，延長AB到N使BN＝DM，若AD＝7，CF＝3，tan∠EBF＝3，求MN．18．如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC、OB交于點E，點B的坐標為（12，6）．（1）E點的坐標是；（2）直線MN過點E，交BC于點M，交OA于點N；①把矩形OABC沿直線MN對折，使點A落在點C處，求CM的長；②若直線MN繞點E旋轉，連接OM，線段BC上是否存在點M，使得OM平分∠CMN？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．19．【操作與發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點A順時針旋轉90°，點D與點B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而可得：DM+BN＝MN．【實踐探究】（1）在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長是．（2）如圖②，在正方形ABCD中，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若，求證：M是CD的中點．【拓展】（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，則DM的長是．20．（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝12，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE（或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，體現(xiàn)了轉化和化歸的數(shù)學思想，利用三角形三邊的關系即可判斷．中線AD的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DM⊥DN于點D，DM交AB于點M，DN交AC于點N，連接MN，求證：BM+CN＞MN；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝110°，以C為頂點作一個55°角，角的兩邊分別交AB，AD于M、N兩點，連接MN，探索線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關系，并加以證明．參考答案1．解：（1）∠ABF＝∠ACE，理由如下：∵CE⊥BD，AB⊥AC，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠DBC+∠ECB，∴∠ABF+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠ACB+∠ACE，∴∠ABF＝∠ACE；（2）PB＝PC+PA，理由如下：如圖1，過點A作AH⊥AP，交BP于點H，∴∠PAH＝90°＝∠BAC，∴∠BAH＝∠CAP，又∵AB＝AC，∠ABF＝∠ACE，∴△ABH≌△ACP（ASA），∴AH＝AP，BH＝CP，∵AH＝AP，∠PAH＝90°，∴HP＝AP，∴BP＝BH+HP＝PC+AP；（3）如圖2，延長BA，CE交于點H，設BD與CE的交點為O，∵AB⊥AC，AB＝AC，∴∠BAC＝∠CAH＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，∴∠ABD＝∠ACE＝22.5°，∴∠H＝67.5°＝∠BCH，∴BC＝BH，∵CE⊥BD，∴CO＝HO，∵AD∥BC，∴∠HAD＝∠ABC＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°，∴∠DAH＝∠DAC＝45°，∵∠H＝67.5°，∴∠AEH＝67.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝∠CAH＝90°，∠ABF＝∠ACE，∴△ABF≌△ACH（ASA），∴AF＝AH，∠AFB＝∠H＝67.5°，又∵∠DAH＝∠DAC，AE＝AE，∴△AHE≌△AFE（SAS），∴EH＝EF，∠H＝∠AFE＝67.5°，∠AEH＝∠AEF＝67.5°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OE＝OF，∴EF＝OE，∵EC＝2，∴EO+CO＝2，∴EO+HO＝EO+EH+EO＝2EO+EF＝2EO+EO＝2，∴EO＝2﹣，∴EF＝2﹣2．2．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∴AE＝2t，∴BE＝AB﹣AE＝5﹣2t；（2）∵AE＝2t，CD＝t，∴AD＝3﹣t，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，解得：t＝；（3）∵四邊形DEFC是平行四邊形，∴EF∥AC，EF＝CD＝t，當點F在BC邊的垂直平分線上時，如圖1，延長EF交BC于點J，∴BJ＝CJ，∵EF∥AC，∴＝1，∴BE＝AE＝AB＝，∴2t＝，解得：t＝，當點F在AC邊的垂直平分線上時，如圖2，設AC邊的垂直平分線交AB，AC于點H，G，∴HG⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴HG∥BC，∴∠B＝∠EHF，＝＝1，∴BH＝AH＝AB＝，∵EF∥AC，∴∠HEF＝∠A，∴△EFH∽△ACB，∴，∴，解得：t＝，如圖3，點F在AB邊的垂直平分線上時，設AB邊的垂直平分線交AB于點K，∴FK⊥AB，BK＝AK＝AB＝，∴∠EKF＝∠ACB＝90°，∵EF∥AC，∴∠KEF＝∠A，∴△EFK∽△ABC，∴，∴，解得：t＝，綜上所述，當點F落在△ABC一邊的垂直平分線上時，t的值為或或．3．解：（1）∵把△BCE沿直線CE翻折，∴∠CEB＝∠DEC＝70°，∴∠DEB＝140°，∵AB∥CD，∴∠EDC+∠DEB＝180°，∴∠EDC＝40°，故答案為：40；（2）如圖①，設BE的長為x，則由折疊知，EF＝EB＝x，∠DEC＝∠BEC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，DC＝AB＝2+x，∴∠DCE＝∠BEC，∴∠DCE＝∠DEC，∴DE＝DC＝2+x．∴DF＝2，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴，∴＝，∴x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），∴BE的長為﹣1；（3）如圖②，連結DG，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝2，∴CD＝AB＝3，∠C＝90°，∵點G是BC的中點，∴BG＝CG＝BC＝1，∴DG＝＝＝，由翻折得FG＝BG＝1，∵DF+FG≥DG，∴DF+1≥，∴DF≥﹣1，∴DF的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．4．解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6．故答案為：6；（2）如圖1中，∵DP⊥AB，∴∠APD＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△APD∽△ACB，∴＝，∴＝，∴t＝；（3）如圖2﹣1中，當0＜t≤1時，重疊部分是四邊形CDPQ，過點P作PH⊥AC于點H．S＝CD?PH＝4×5t×＝12t．如圖2﹣2中，當1＜t≤2時，重疊部分是四邊形CDPT．S＝?（PT+CD）?PH＝?[（10﹣5t）+5]×3t＝﹣6t2+t．綜上所述，S＝；（4）如圖3﹣1中，設CN交PQ于點T．當TQ＝2PT時，滿足條件，∵PT∥AC，∴＝，∴＝，∴t＝．如圖3﹣2中，設CN交DP于點T，過點D作DG∥CN交AB于點G．當DT＝2PT時，滿足條件．∵AD＝DC，DG∥CN，∴AG＝GN＝2.5，∵TN∥DG，∴＝，∴＝，∴t＝．如圖3﹣3中，設BC交PQ于點K，當QK＝2PK時，滿足條件．∴＝（10﹣5t），∴t＝．綜上所述，滿足條件的t的值為或或．5．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵PE∥BC，∴＝＝，∴＝＝，∴PE＝（10﹣2t），AE＝（10﹣2t），當PE＝CF時，四邊形PECF是矩形，∴（10﹣2t）＝t，解得t＝．（2）S＝?PE?CE＝×（10﹣2t）×[8﹣（10﹣2t）]＝﹣t2+t．（3）當PE＝BF時，PF經(jīng)過BE的中點，則有（10﹣2t）＝6﹣t，解得t＝0，不合題意，∴不存在某一時刻t，使PF經(jīng)過BE的中點．6．（1）解：∵在△ABC中，∠C＝90°中，BC＝4，AB＝5，∴AC＝＝＝3，故答案為：3；（2）證明：在Rt△DOA中，∠DOA＝90°，∴OD2+OA2＝AD2，同理：OD2+OC2＝CD2，OB2+OC2＝BC2，OA2+OB2＝AB2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2＝OD2+OA2+OB2+OC2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解：連接CG、AE，設AG交CE于I，AB交CE于J，如圖3所示：∵四邊形BCFG和四邊形ABED都是正方形，∴∠GBC＝∠EBA＝90°，AB＝BE＝4，BG＝BC＝3，∴∠GBC+∠CBA＝∠EBA+∠CBA，∴∠ABG＝∠EBC，在△ABG和△EBC中，，∴△ABG≌△EBC（SAS），∴∠BAG＝∠BEC，∵∠AJI＝∠EJB，∴∠EBJ＝∠AIJ＝90°，∴AG⊥CE，由（2）可得：AC2+GE2＝CG2+AE2，在Rt△CBG中，CG2＝BC2+BG2，即CG2＝32+32＝18，在Rt△ABE中，AE2＝BE2+AB2，即AE2＝42+42＝32，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即42＝AC2+32，∴AC2＝7，∵AC2+GE2＝CG2+AE2，即7+GE2＝18+32，∴GE2＝43．7．解：（1）結論：EF＝BE+DF．理由：如圖1，延長CB到點G，使BG＝DF，連接AG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AF＝AG，∴∠FAG＝∠DAB，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠EAF＝∠EAG，在△AEF和△AEG中，，∴△AEF≌△AEG（SSS），∴EF＝EG＝BE+DF．故答案為：EF＝BE+DF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠FAG＝∠DAB，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠EAF＝∠EAG，在△AEF和△AEG中，，∴△AEF≌△AEG（SSS），∴EF＝EG＝BE+DF；（3）結論：∠EAF＝180°﹣∠DAB．理由：如圖3，在DC延長線上取一點G，使得DG＝BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE＝∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠FAE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．8．解：（1）如圖1，連接AC，延長CE交AD于點H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，∴∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；故答案為：BP＝CE，CE⊥BC；（2）（1）中的結論：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如圖2中，連接AC，設CE與AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD都是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°﹣∠DAP，∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠CAE＝60°+60°﹣∠DAP＝120°﹣∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，∴∠DCE＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠DCE+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CE⊥AD；∵AD∥BC，∴CE⊥BC．∴（1）中的結論：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立；（3）如圖3中，當點P在BD的延長線上時，連接AC交BD于點O，連接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BDBD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，∴BD＝6，由（2）知CE⊥AD，∵AD∥BC，∴CE⊥BC，∵BE＝2，BC＝AB＝2，∴CE＝＝8，由（2）知BP＝CE＝8，∴DP＝2，∴OP＝5，∴AP＝＝＝2，∵△APE是等邊三角形，∴S△AEP＝×（2）2＝7，如圖4中，當點P在DB的延長線上時，同法可得AP＝＝＝2，∴S△AEP＝×（2）2＝31，綜上所述，△AEP的面積為7或31．9．解：（1）∵將△BCE繞B點旋轉，BC與BA重合，點E的對應點F在DA的延長線上，∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∵∠EBF＝90°，BF＝BE，∴四邊形BEDF是“直等補”四邊形．故答案為：是；（2）①證明：∵四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴DE＝CF，EF＝CD＝2，∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∵DE＝CF，∴BE＝DE；∵四邊形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝2，∵△ABE≌△BCF，∴AE＝BF，∴AE＝BE﹣2，設BE＝x，則AE＝x﹣2，在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），∴BE的長是8；②∵△BCM周長＝BC+BM+CM，∴當BM+CM的值最小時，△BCM的周長最小，如圖，延長CD到點G，使DG＝CD，連接BG交AD于點M′，過點G作GH⊥BC，交BC的延長線于點H，∵∠ADC＝90°，∴點C與點G關于AD對稱，∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，∴當點M與M′重合時，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周長最小，在Rt△ABE中，AE＝＝＝6，∵四邊形ABCD是“直等補”四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠GCH＝180°，∴∠A＝∠GCH，∵∠AEB＝∠H＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴＝＝＝，即＝，∴GH＝，CH＝，∴BH＝BC+CH＝10+＝，∴BG＝＝＝2，∴△BCM周長的最小值為2+10．10．解：（1）連接AC，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°＝∠ADC，∴△ABC和△ADC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∠ABP＝∠ACE，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABP＝30°，∴∠ACE＝30°，延長CE交AD于K，則E在射線CK上運動，當DE⊥CK，即E與K重合時，DE取最小值，如圖：∵∠ACE＝30°＝∠DCK，∠ACD＝∠ADC＝60°，∴∠CKD＝90°，∴DK＝CD＝×2＝1，∴DE的最小值為1，故答案為：BP＝CE，1；（2）①連接AO，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，O是BD的中點，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°＝∠ABO，＝，∵△APE是等腰直角三角形，∴∠PAE＝45°，＝，∴∠BAO＝∠PAE，＝，∴∠BAP＝∠OAE，∴△ABP∽△AOE，∴＝＝，∠ABP＝∠AOE＝45°，∴BP＝EO；②延長OE交AD于T，如圖：∵∠AOE＝45°，∴E在射線OT上運動，當DE⊥OT，即E與T重合時，DE取最小值，∵正方形ABCD，∴∠ADB＝45°，∵∠DOT＝90°﹣∠AOT＝90°﹣45°＝45°，∴∠OTD＝90°，∵△AOD是等腰直角三角形，∴DT＝AD＝×2＝1，∴DE的最小值為1；（3）連接AC交BD于點F，過點E作EG⊥BP交直線BP于點G，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝2，∴BC＝AB＝2，∠BAD＝90°，AC⊥BD，∴∠ABD＝45°，∠AFB＝∠AFD＝90°，∴∠BAC＝45°，∠FAP+∠APF＝90°，∴AF＝BF，∴BF＝AF＝AB?sin45°＝，在Rt△APE中，∠APE＝90°，AP＝PE，∴∠APF+∠EPG＝90°，∴∠FAP＝∠EPG，∵EG⊥BG，∴∠AFP＝∠PGE＝90°，∴△FAP≌△GPE（AAS），∴FP＝EG，PG＝AF＝，在Rt△EGB中，由勾股定理得，BE2＝BG2+EG2，設FP＝EG＝x，∴62＝（2+x）2+x2，解得，x1＝4﹣，x2＝﹣4﹣（舍去），∴FP＝4﹣＝EG，BP＝FP+BF＝4﹣+＝4，∴S△BPE＝BP?EG＝×4×（4?）＝8﹣2．11．解：（1）DG＝BE．理由：∵正方形ABCD，∴CD＝CB∠BCD＝90°，∵正方形ECGF，∴CG＝CE∠ECG＝90°，∴∠ECG＝∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠BCE，在△DCG和△BCE中，，∴△DCG≌△BCE（SAS），∴DG＝BE．（2）DG＝BE．理由如下：延長BE、GD相交于點H．∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG＝∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠BCE，∵CD：CB＝3：6＝1：2，CG：CE＝1：2，∴CD：CB＝CG：CE，∵∠DCG＝∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC＝∠DGC，∴DG＝BE．（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M，∴∠ENC＝∠CMG＝90°．∵∠ECN+∠CEN＝90°，∠ECN+∠GCM＝90°，∴∠CEN＝∠GCM．∴△ECN∽△CGM，∴＝＝2，∵EN＝AB＝2，∴CM＝1，∴點G的運動軌跡是直線MG，作點D關于直線GM的對稱點G′，連接BG′交GM于G，此時BG+GD的值最小，最小值＝BG′．由（2）知，DG＝BE，∴BE＝2DG，∴2BG+BE＝2BG+2DG＝2（BG+DG），∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．∵BG′＝＝2，∴2BG+BE的最小值為4．12．解：（1）∵將AE繞點A逆時針旋轉60°得到線段AF，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AFE＝60°，EF＝AF，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADB＝∠ADC＝30°，∴∠DAF＝∠AFE﹣∠ADB＝60°﹣30°＝30°，∴∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴FD＝EF，故答案為：FD＝EF；（2）（1）中結論仍然成立，連接AC，CE，由（1）知，△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADC＝60°，BD垂直平分AC，∴△ACD是等邊三角形，∴CA＝AD，∠CAD＝∠EAF，∴∠EAC＝∠DAF，∴△AEC≌△AFD（SAS），∴CE＝DF，∵BD垂直平分AC，∴AE＝CF，∵AE＝EF，∴EF＝DF；（3）當點F在AD下方時，若四邊形AEFD是菱形，∴AD＝AE，∴∠ADB＝∠AED＝30°，∴DE＝，當點F在AD的上方時，如圖，同理可得∠AED＝120°，∴AD＝DE，綜上：DE＝AE或AD＝DE．13．（1）①證明：正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．故答案為：垂直，相等；②解：當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）解：當∠ACB＝45°時，CF⊥BD（如圖）．理由：過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，則∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．14．解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，在△ADG與△ABE中，，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE，在△ADG中∠AGD+∠ADG＝90°，∴∠AEB+∠ADG＝90°，在△DEP中，∠AEB+∠ADG+∠DPE＝180°，∴∠DPE＝90°，∴DG⊥BE；故答案為：相等，垂直；（2）如圖2，當B在線段DG上時，連接AC交于點O，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝90°，在Rt△AOD中，AD＝4，∴OD＝AO＝AD＝，在Rt△AOG中，AG＝5，∴OG＝＝，∴DG＝OG+OD＝，∴S△ADG＝（2+）×2＝4+；（3）如圖3，連接GE，則GE＝AE＝5，由（1）知，DG⊥BE，∴∠GPE＝90°，∴PG＝＝，延長PE至H．使EH＝PG，連接FH，∴PH＝PE+EH＝PE+PG＝7，∵∠GFE＝∠GPE＝90°，∴∠FGP+∠FEP＝180°，∵∠FEP+∠FEH＝180°，∴∠FGP＝∠FEH，∵FG＝FE，∴△FGP≌△FEH（SAS），∴FP＝FH，∠GFP＝∠EFH，∴∠PFH＝∠PFE+∠EFH＝∠PFE+∠GFP＝∠EFG＝90°，∴△PFH是等腰直角三角形，∴PF＝PH＝7．15．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，根據(jù)題意得：AP＝xcm，BQ＝2xcm∴BP＝（6﹣x）cm，CQ＝（12﹣2x）cm，當△PBQ為等腰三角形時，BP＝BQ，∴6﹣x＝2x，解得：x＝2，即當x＝2時，△PBQ是等腰三角形；（2）由題意得：（6﹣x）?2x＝5，整理得：x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，答：當x為1或5時，△PBQ的面積為5cm2；（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當DP＝DQ時，如圖1所示：在Rt△APD和Rt△CDQ中，由勾股定理得：DP2＝x2+122，DQ2＝62+（12﹣2x）2，∴x2+122＝62+（12﹣2x）2，解得：x＝8﹣2或x＝8+2（不合題意舍去），∴x＝8﹣2；②當QP＝DQ時，如圖2所示：在Rt△BPQ和Rt△CDQ中，PQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，DQ2＝62+（12﹣2x）2，∴（6﹣x）2+（2x）2＝62+（12﹣2x）2，解得：x＝6﹣18或x＝﹣6﹣18（不合題意舍去），∴x＝6﹣18．綜上所述，當x為（8﹣2）或（6﹣18）時，△PDQ是等腰三角形．16．解：設DD′與EF交于點N．（1）如圖1，由折疊的性質(zhì)可知AE＝DE，∠AEF＝∠DEF＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，∴四邊形ABFE是矩形，∴EF＝AB＝4；（2）①根據(jù)點E的運動，當點D與點D′重合時，此時a為滿足題意的最大值，如圖2﹣1，由折疊可知BE＝DE＝8﹣a，在Rt△ABE中，∠A＝90°，由勾股定理可知，AB2+AE2＝BE2，即42+a2＝（8﹣a）2，解得a＝5；當點E與點A重合時，a最小，如圖2﹣2，此時a＝0，故a的取值范圍為：0≤a≤5；故答案為：0≤a≤5；②如圖3，連接EG，∵AE∥BC，AE＝BG＝CF＝a，∴四邊形ABGF是平行四邊形，F(xiàn)G＝8﹣2a，DE＝8﹣a，∵∠A＝90°，∴平行四邊形ABGF是矩形，∴∠AEG＝∠BGE＝90°，EG＝AB＝4，∴∠DEG＝∠EGC＝90°，∴∠GEF+∠DEF＝90°，由折疊可知，∠END＝90°，∴∠EDN+∠DEF＝90°，∴∠GEF＝∠EDN，∴△DEG∽△EGF，∴DE：EG＝EG：GF，即（8﹣a）：4＝4：（8﹣2a），解得a＝6﹣2或a＝6+2＞8，舍；∴GF＝8﹣2a＝4﹣4；（3）可能，理由如下：如圖4﹣1，當點D′在BC的下方時，由題意可知，OD＝OE＝OD′，∠EOD＝∠EOD′＝90°，∴△EOD，△EOD′是等腰直角三角形，∴∠ODE＝∠DEO＝∠ED′D＝45°∴∠DED′＝90°，設ED′與BC交于點M，∵∠A＝∠B＝90°，∴四邊形ABME是矩形，∴AE＝BM＝a，AB＝EM＝4，∠EMF＝90°，∴△EMF是等腰直角三角形，∴EM＝MF＝4，∴BM＝CF＝2，即a＝2；如圖4﹣2，當點D′在BC的上方時，延長D′E交BC于點M，由題意可知，OD＝OE＝OD′，∠EOD＝∠EOD′＝90°，∴△EOD，△EOD′是等腰直角三角形，∴∠ODE＝∠DEO＝∠ED′D＝45°∴∠DED′＝∠AEM＝90°，∠FEM＝45°，∵∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴四邊形ABME，EMCD是矩形，∴AE＝BM＝a，AB＝EM＝4，∠EMF＝90°，DE＝CM＝8﹣a，∴△EMF是等腰直角三角形，∴EM＝MF＝4，∴BF+CM＝4，即8﹣a+8﹣a＝4，解得a＝6；綜上，點E是否有可能恰好在⊙O上，此時a的值為2或6．17．（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠B＝∠ACB，∴AC＝AB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：如圖2，延長BA、CD交于點E，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBC，∵BD⊥CD，∴∠BDE＝∠BDC＝90°，又∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDC（ASA），∴BE＝BC＝6，ED＝CD，∵AD∥BC，∴點A是BE的中點，∴AB＝BE＝3；（3）解：如圖3，延長BA、FE交于點G，連接BD，過點B作BH⊥AD于點H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，BC＝AD＝7，∴∠AEG＝∠F，BF＝BC+CF＝7+3＝10，∵BE平分∠ABC，∴∠GBE＝∠FBE，∵EF⊥BE，∴∠BEG＝∠BEF＝90°，又∵BE＝BE，∴△BEG≌△BEF（ASA），∴BG＝BF＝10，∠G＝∠F，∴∠G＝∠AEG，∴AE＝AG，同（1）得：AE＝AB，∴AE＝AB＝AG＝BG＝5，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝＝3，∴EF＝3BE，設BE＝a，則EF＝3a，在Rt△BEF中，由勾股定理得：a2+（3a）2＝102，解得：a＝（負值已舍去），∴BE＝，設AH＝m，則EH＝5﹣m，在Rt△ABH和Rt△BEH中，由勾股定理得：BH2＝AB2﹣AH2＝BE2﹣EH2，即52﹣m2＝（）2﹣（5﹣m）2，解得：m＝4，∴AH＝4，BH＝＝3，∴DH＝AD﹣AH＝7﹣4＝3，∴BD＝＝＝3，∵BN∥DM，BN＝DM，∴四邊形BDMN是平行四邊形，∴MN＝BD＝3．18．解：（1）在矩形OABC中，點E為對角線的交點，∴點E為OB的中點